26.2特殊二次函数的图像（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦特殊二次函数的图像这一核心知识点，系统梳理了顶点在原点、顶点在y轴上、顶点在x轴上及顶点为(h,k)的四种特殊形式，从基础到进阶搭建学习支架，帮助学生逐步掌握图像特征与性质。 资料融入思维导图辅助几何直观，通过分类型练习题强化推理意识，符号描述与图像分析结合提升数学语言表达。课中助力教师清晰授课，课后针对性练习帮助学生查漏补缺，有效落实核心素养培养。

26.3特殊二次函数的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 特殊形式一：（顶点在原点，对称轴是y轴） 1. 顶点坐标：抛物线的顶点位于坐标原点 ((0, 0))。 2. 对称轴：对称轴为 ( y ) 轴（即直线 ( x = 0 )）。 3. 图像特征： · 当 ( a > 0 ) 时，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点，函数在 ( x < 0 ) 时随 ( x ) 的增大而减小，在 ( x > 0 ) 时随 ( x ) 的增大而增大。 · 当 ( a < 0 ) 时，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点，函数在 ( x < 0 ) 时随 ( x ) 的增大而增大，在 ( x > 0 ) 时随 ( x ) 的增大而减小。 4. 与坐标轴交点：只与原点 ((0, 0)) 相交，既是与 ( x ) 轴的交点也是与 ( y ) 轴的交点。 特殊形式二：（顶点在y轴上，对称轴是y轴） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((0, k))，是由的图像沿 ( y ) 轴向上（当 ( k > 0 ) 时）或向下（当 ( k < 0 ) 时）平移 ( |k| ) 个单位得到。 2. 对称轴：对称轴仍为 ( y ) 轴（直线 ( x = 0 )）。 3. 图像特征： · 开口方向与相同，由 ( a ) 的符号决定。 · 当 ( a > 0 ) 时，顶点 ((0, k)) 是最低点；当 ( a < 0 ) 时，顶点 ((0, k)) 是最高点。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( y ) 轴交点为 ((0, k))。 · 与 ( x ) 轴交点：令 ( y = 0 )，即，解得（当时，有两个交点；当时，有一个交点；当时，无交点）。 特殊形式三：（顶点在x轴上，对称轴是平行于y轴的直线x=h） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((h, 0))，是由的图像沿 ( x ) 轴向右（当 ( h > 0 ) 时）或向左（当 ( h < 0 ) 时）平移 ( |h| ) 个单位得到。 2. 对称轴：对称轴为直线 ( x = h )。 3. 图像特征： · 开口方向由 ( a ) 的符号决定，与相同。 · 当 ( a > 0 ) 时，顶点 ((h, 0)) 是最低点；当 ( a < 0 ) 时，顶点 ((h, 0)) 是最高点。 · 当 ( a > 0 ) 时，在对称轴左侧（( x < h )）函数随 ( x ) 的增大而减小，在对称轴右侧（( x > h )）函数随 ( x ) 的增大而增大；当 ( a < 0 ) 时，在对称轴左侧（( x < h )）函数随 ( x ) 的增大而增大，在对称轴右侧（( x > h )）函数随 ( x ) 的增大而减小。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( x ) 轴交点为 ((h, 0))。 · 与 ( y ) 轴交点：令 ( x = 0 )，得，交点坐标为。 特殊形式四：（顶点式，顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((h, k))，是二次函数图像的“顶点式”，可由的图像先沿 ( x ) 轴平移 ( |h| ) 个单位（( h > 0 ) 向右，( h < 0 ) 向左），再沿 ( y ) 轴平移 ( |k| ) 个单位（( k > 0 ) 向上，( k < 0 ) 向下）得到。 2. 对称轴：对称轴为直线 ( x = h )。 3. 图像特征： · 开口方向由 ( a ) 的符号决定，( a > 0 ) 开口向上，( a < 0 ) 开口向下。 · 顶点 ((h, k)) 是函数的最值点，当 ( a > 0 ) 时，函数有最小值 ( k )；当 ( a < 0 ) 时，函数有最大值 ( k )。 · 函数的增减性以对称轴 ( x = h ) 为界，具体与的增减性类似，取决于 ( a ) 的符号。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( y ) 轴交点：令 ( x = 0 )，得，交点坐标为。 · 与 ( x ) 轴交点：令 ( y = 0 )，即，变形为，当时，有两个交点；当时，有一个交点 ( x = h )；当时，无交点。 型 习 练 题 的图像和性质 1．若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 直接计算各点的函数值，再比较值大小即可． 【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上， ∴ , , ， 故 ， 故选：A． 2．关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A 3．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：C． 4．已知函数，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数（）的性质进行判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 故选：B ． 5．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 的图像和性质 6．二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 7．对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．最小值是1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵ 对称轴为 ，且开口向下， ∴ 当时，随增大而减小，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为 ，故C正确，不符合题意； ∵ 开口向下，函数有最大值1，没有最小值，故D错误，符合题意， 故选：D． 8．二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查比较函数值的大小，通过直接代入函数计算，的值，然后比较大小． 【详解】解：将、代入，得： ， ， ， ， 故选：B． 9．小马同学在绘制抛物线的图象时，将“3”看成了“”，则图象发生改变的是（    ）． A．对称轴 B．开口方向 C．开口大小 D．与y轴的交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数与错误函数的对称轴均为轴， 对称轴不变，故此选项不符合题意； B、原函数的开口向上，错误函数为开口向下， 开口方向发生改变，故此选项符合题意； C、原函数与错误函数的开口大小均由决定， 开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为， 与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：B． 10．抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过分析三条抛物线的对称轴，开口方向和增减性，判断共有的特征即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， 由得，开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，对称轴为轴， 由知，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，对称轴为轴， ∴抛物线，，共有的特征是对称轴是轴， 故选：． 的图像和性质 11．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则或， 故A、B选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 12．已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先理解题意，再直接计算出各点的函数值，最后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象上有，，三点， ∴对于点：； ∴对于点：； ∴对于点：； ∵， ∴， 故选：C． 13．若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小． 【详解】解：二次函数为 ， 当时，； 当时，； 当 时，； ，，， 故 ． 故选． 14．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此结合题意求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：C． 15．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口向上，且对称轴为，对此一一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上，且对称轴为． 对于选项A：， ∵，抛物线开口向上，对称轴， ∴符合题意． 选项B：对称轴，不符合题意； 选项C和D：，开口向下，不符合题意． 故选A． 的图像和性质 16．对于抛物线，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．最小值是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用顶点式可直接得出相关特征． 根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和最值． 【详解】解：∵抛物线是顶点式，其中，，， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最小值． 故A错误（开口向上），B错误（对称轴），C错误（顶点），D正确． 故选：D． 17．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式的顶点坐标公式直接求解 【详解】∵ 抛物线的顶点坐标为， 且给定抛物线为， ∴顶点坐标为, 故选：B 18．二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据，可得函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的单调性，在对称轴右侧随增大而增大． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向上， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若随的增大而增大，则的取值范围是． 故选：B． 19．已知抛物线的表达式为，下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点坐标是 D．y有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点和最值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴其开口向上， ∴有最小值，且最小值为， 综上所述，可知选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 20．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； B、的顶点坐标为，故本选项符合题意； C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3特殊二次函数的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 特殊形式一：（顶点在原点，对称轴是y轴） 1. 顶点坐标：抛物线的顶点位于坐标原点 ((0, 0))。 2. 对称轴：对称轴为 ( y ) 轴（即直线 ( x = 0 )）。 3. 图像特征： · 当 ( a > 0 ) 时，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点，函数在 ( x < 0 ) 时随 ( x ) 的增大而减小，在 ( x > 0 ) 时随 ( x ) 的增大而增大。 · 当 ( a < 0 ) 时，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点，函数在 ( x < 0 ) 时随 ( x ) 的增大而增大，在 ( x > 0 ) 时随 ( x ) 的增大而减小。 4. 与坐标轴交点：只与原点 ((0, 0)) 相交，既是与 ( x ) 轴的交点也是与 ( y ) 轴的交点。 特殊形式二：（顶点在y轴上，对称轴是y轴） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((0, k))，是由的图像沿 ( y ) 轴向上（当 ( k > 0 ) 时）或向下（当 ( k < 0 ) 时）平移 ( |k| ) 个单位得到。 2. 对称轴：对称轴仍为 ( y ) 轴（直线 ( x = 0 )）。 3. 图像特征： · 开口方向与相同，由 ( a ) 的符号决定。 · 当 ( a > 0 ) 时，顶点 ((0, k)) 是最低点；当 ( a < 0 ) 时，顶点 ((0, k)) 是最高点。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( y ) 轴交点为 ((0, k))。 · 与 ( x ) 轴交点：令 ( y = 0 )，即，解得（当时，有两个交点；当时，有一个交点；当时，无交点）。 特殊形式三：（顶点在x轴上，对称轴是平行于y轴的直线x=h） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((h, 0))，是由的图像沿 ( x ) 轴向右（当 ( h > 0 ) 时）或向左（当 ( h < 0 ) 时）平移 ( |h| ) 个单位得到。 2. 对称轴：对称轴为直线 ( x = h )。 3. 图像特征： · 开口方向由 ( a ) 的符号决定，与相同。 · 当 ( a > 0 ) 时，顶点 ((h, 0)) 是最低点；当 ( a < 0 ) 时，顶点 ((h, 0)) 是最高点。 · 当 ( a > 0 ) 时，在对称轴左侧（( x < h )）函数随 ( x ) 的增大而减小，在对称轴右侧（( x > h )）函数随 ( x ) 的增大而增大；当 ( a < 0 ) 时，在对称轴左侧（( x < h )）函数随 ( x ) 的增大而增大，在对称轴右侧（( x > h )）函数随 ( x ) 的增大而减小。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( x ) 轴交点为 ((h, 0))。 · 与 ( y ) 轴交点：令 ( x = 0 )，得，交点坐标为。 特殊形式四：（顶点式，顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h） 1. 顶点坐标：顶点坐标为 ((h, k))，是二次函数图像的“顶点式”，可由的图像先沿 ( x ) 轴平移 ( |h| ) 个单位（( h > 0 ) 向右，( h < 0 ) 向左），再沿 ( y ) 轴平移 ( |k| ) 个单位（( k > 0 ) 向上，( k < 0 ) 向下）得到。 2. 对称轴：对称轴为直线 ( x = h )。 3. 图像特征： · 开口方向由 ( a ) 的符号决定，( a > 0 ) 开口向上，( a < 0 ) 开口向下。 · 顶点 ((h, k)) 是函数的最值点，当 ( a > 0 ) 时，函数有最小值 ( k )；当 ( a < 0 ) 时，函数有最大值 ( k )。 · 函数的增减性以对称轴 ( x = h ) 为界，具体与的增减性类似，取决于 ( a ) 的符号。 4. 与坐标轴交点： · 与 ( y ) 轴交点：令 ( x = 0 )，得，交点坐标为。 · 与 ( x ) 轴交点：令 ( y = 0 )，即，变形为，当时，有两个交点；当时，有一个交点 ( x = h )；当时，无交点。 型 习 练 题 的图像和性质 1．若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 3．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 的图像和性质 6．二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．最小值是1 8．二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 9．小马同学在绘制抛物线的图象时，将“3”看成了“”，则图象发生改变的是（    ）． A．对称轴 B．开口方向 C．开口大小 D．与y轴的交点 10．抛物线，，共有的特征是（   ） A．开口向上 B．随的增大而减小 C．都有最低点 D．对称轴是轴 的图像和性质 11．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知二次函数的图象上有，，三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 13．若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 14．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 的图像和性质 16．对于抛物线，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．最小值是 17．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 18．二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知抛物线的表达式为，下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点坐标是 D．y有最小值 20．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $