专题26.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第1课时） 教学目标 1. 学会二次函数一般式与顶点式的相互联系； 2. 知道二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质； 3. 掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与性质的应用。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax2+bx+c与y=a（x+m）2+k（a≠0）之间的相互关系； （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质； （3）二次函数y=ax2+bx+c的参数问题； 2.难点 （1）新定义题；最值问题等； （2）二次函数y=ax2+bx+c的几何应用。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 一、二次函数与y=a（x+m）2+k（a≠0）之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式y=a（x+m）2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(-m，k)，所以我们称y=a（x+m）2+k为顶点式，将顶点式y=a（x+m）2+k去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照y=a（x+m）2+k，可知m=，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即学即练】 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) ； (2) ； (3) ． 2．二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是 ． 4．如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 5．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型01 画出二次函数y=ax2+bx+c的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 【变式1】．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 【变式2】．已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 化为顶点式 【典例1】．将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 题型03 平移问题 【典例1】．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为 ． 【变式1】．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 题型04 根据二次函数的性质比较大小 【典例1】．如果二次函数的图像经过点，，那么 （填“”，“”或“”）． 【变式1】．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型05 按要求解二次函数解析式 【典例1】．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 题型06 二次函数的图像特点与性质综合辨析 【典例1】．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 题型07 根据二次函数的图像辨析 【典例1】．二次函数 的图像大致是（　　） A．B． C． D． 【变式1】．已知二次函数如图所示，那么的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【变式2】．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，下列说法正确的是（   ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C． 时，y的值随x值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【变式4】．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 题型08 求参数问题 【典例1】．若二次函数的对称轴为直线，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【变式1】．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【变式3】．已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型09 表格题 【典例1】．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（    ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．的最大值为 【变式1】．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下 题型10 二次函数与一元二次方程 【典例1】．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ． 【变式1】．若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【变式2】．如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【变式3】．抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为 ． 题型11 解答题 【典例1】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【变式1】．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 【变式2】．抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 【变式3】．已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【变式4】．已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 【变式5】．已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 一、单选题 1．二次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．把抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（    ）． A． B． C． D． 4．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．当二次函数有最大值时，可能是（    ） A．1 B．2 C． D．3 6．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 8．如图，二次函数的图象如图所示，则反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（        ）． A．B．C． D． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 10．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 二、填空题 11．抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为 ． 12．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 13．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为 ． 14．已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是 ． 15．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 17．已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 18．定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为 ． 三、解答题 19．已知二次函数y＝x2﹣3x+． (1)请把二次函数的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点坐标和对称轴； (2)请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）． 20．已知二次函数的图象与轴有公共点． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求此时二次函数与轴的交点坐标． 21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．    (1)求点的坐标与的值； (2)求的面积． 22．已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 23．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式． (3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值． 25．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第1课时） 教学目标 1. 学会二次函数一般式与顶点式的相互联系； 2. 知道二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质； 3. 掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与性质的应用。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax2+bx+c与y=a（x+m）2+k（a≠0）之间的相互关系； （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质； （3）二次函数y=ax2+bx+c的参数问题； 2.难点 （1）新定义题；最值问题等； （2）二次函数y=ax2+bx+c的几何应用。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 一、二次函数与y=a（x+m）2+k（a≠0）之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式y=a（x+m）2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(-m，k)，所以我们称y=a（x+m）2+k为顶点式，将顶点式y=a（x+m）2+k去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照y=a（x+m）2+k，可知m=，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即学即练】 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． （1）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答； （2）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答； （3）利用二次函数的顶点坐标公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵ ∴，，， ∴，， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 2．二次函数的顶点在第________象限？ A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，判断点所在象限，熟练掌握顶点式二次函数的性质是银题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，再写出顶点坐标，然后根据坐标符号判断其所在象限即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在第一象限． 故选：A． 3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方以及二次函数的平移，需要熟悉“左加右减上加下减”． 先对抛物线的表达式进行配方，配成顶点式，然后根据“左加右减上加下减” 进行平移，最后得出新的表达式即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 根据左加右减上加下减的平移特性， 平移后为：， 顶点为：， 故答案为：． 4．如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 5．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点，结合系数符号判断其经过的象限． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 题型01 画出二次函数y=ax2+bx+c的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1 【分析】（1）把对应的x值代入求出对应的y值填表即可； （2）根据表中的数值描点、连线即可； （3）根据画的图象回答问题即可． 【详解】解：（1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … 0 -3 -4 -3 0 … （2）描点、连线，函数图像如图所示： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）； ②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）； ③当-3<x<1 时，y＜0； ④它的对称轴是直线x=-1； ⑤当x<-1时，随的增大而减小． 故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法和二次函数图象的性质，解题关键是正确画出函数图象，利用数形结合思想准确解题． 【变式1】．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）开口向上，x ＝ 1，（1， 3）；（2）开口向下，x ＝ 1，（1，－2）；（3）开口向上，x ＝ ，（ ， ）；（4）开口向下，x ＝ －1，（－1，1）；（5）开口向下，x ＝ 2，（2，0） 【解析】略 【变式1】．已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．表示出顶点坐标，判断横纵坐标的符号即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的顶点在第三象限． 故选：C． 题型02 化为顶点式 【典例1】．将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 【详解】解：． 故选：A 【变式1】．把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【详解】． 故选：B． 题型03 平移问题 【典例1】．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题关键．先将抛物线化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式1】．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：根据题意可知将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线， 原抛物线解析式为， 整理，得：，即， ∴． 故答案为：12． 题型04 根据二次函数的性质比较大小 【典例1】．如果二次函数的图像经过点，，那么 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，分别将，代入求解比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】．已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．解题的关键是根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性，增减性． 根据，两点的函数值相同，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性质，比较函数值大小即可． 【详解】解：抛物线过，两点， 对称轴为直线． ，开口向上， 当时，随的增大而减小， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 题型05 按要求解二次函数解析式 【典例1】．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答． 【详解】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的； C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的； 故选：B 【变式1】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 将函数图象绕其顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线绕顶点旋转180°后的图象的表达式为． 故选：B． 题型06 二次函数的图像特点与性质综合辨析 【典例1】．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线，可知： ，抛物线开口向上，因此A选项正确； 抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确； 当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确； 因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式1】．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 题型07 根据二次函数的图像辨析 【典例1】．二次函数 的图像大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像，根据解析式得到顶点，与y轴的交点判断即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时， ， ∴抛物线过点， 故选：A． 【变式1】．已知二次函数如图所示，那么的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知二次函数的图象，得出，进而判断的图象，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象，开口向下，对称轴在轴左侧，则， ∴， ∴ 则的图象，开口向上，对称轴为直线，与轴交于点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【变式2】．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 【变式3】．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，下列说法正确的是（   ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C． 时，y的值随x值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【分析】先利用交点式写出抛物线解析式，再把解析式化为一般式，从而可对选项进行判断；然后把一般式配成顶点式，从而根据二次函数的性质可对B、C、D选项进行判断．本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， 即， ，所以A选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，所以B选项符合题意，C、D选项不符合题意． 故选：B． 【变式4】．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x＝＞0， ∴a、b异号，即b＞0． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数一般形式y=ax2+bx+c中各系数的意义，掌握a，b，c意义是解题关键. 题型08 求参数问题 【典例1】．若二次函数的对称轴为直线，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得. 故选：D． 【变式1】．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 【变式2】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 【变式3】．已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∵二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D． 题型09 表格题 【典例1】．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（    ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．的最大值为 【答案】C 【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断． 【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴A选项不符合题意； ∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小， ∴B选项不符合题意； ∵当时，；当时，， 又∵抛物线的对称轴为， 当时，， 又∵， ∴当时，， ∴C选项符合题意； ∵抛物线的解析式为， ∴当时，抛物线取得最大值， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式． 【变式1】．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值，即可求解． 【详解】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线， ∴顶点为， ∵数据从到1对应的y值不断减小， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，函数有最小值， 故选项A，B，D都错误． 故选：C． 题型10 二次函数与一元二次方程 【典例1】．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，由条件可求得抛物线与轴的两个交点的横坐标，再利用对称性可求得抛物线线的对称轴，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】方程的两根为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∴抛物线对称轴， 故答案为：． 【变式1】．若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先根据二次函数与x轴有两个交点，可知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的判别式可得，注意二次项系数不为0，解不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：此函数是二次函数， ， 二次函数与x轴有两个交点， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式2】．如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 【变式3】．抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意：令时，则有，设为该方程的两个根， ∵， ∴， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为， 解得：， 故答案为：0或2． 题型11 解答题 【典例1】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【答案】（1）；（2）直线 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；     ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5． （2）二次函数图象的对称轴为直线； 故二次函数的对称轴为：直线； 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式． 【变式1】．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点A、B坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可令进行求解即可； （3）由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：二次函数， ∴当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （3）解：由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 在时，随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴此时函数值的范围为； 在时，随的增大而减小， 当，则；当时，； 此时函数值的范围为； 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】．抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）由（1）知抛物线的表达式是，设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线的表达式是， 设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点， 则抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴平移后得到的抛物线的表达式是． 【变式3】．已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 【变式4】．已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，将已知点代入，化简求值，即可解答． （1）将，代入二次函数的解析式，即可解答． （2）将点代入二次函数的解析式，得，即，由，可得，再将t代入，化简，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式中， 得， ∴； （2）∵函数图象经过点， ∴将该点坐标代入，得，即， ∴，即， ，即， 又∵，， ∴，，解得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5】．已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 一、单选题 1．二次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴对称轴直线为原点的右边， 当时，， ∴抛物线与轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C． 2．把抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将抛物线化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线化成顶点式为， 将抛物线向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为， 即， 抛物线的解析式为， ，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 3．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到，，的大小关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 5．当二次函数有最大值时，可能是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据二次函数有最大值，即可得出结论． 【详解】解：二次函数有最大值， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线，可知： ，抛物线开口向上，因此A选项正确； 抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确； 当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确； 因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共解即可． 【详解】依题意得： ，解得， ， 解得， 故选：A． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 8．如图，二次函数的图象如图所示，则反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（        ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，然后对照四个选项中的图象判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出， 所以一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限． A. 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，不符合题意； B. 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，不符合题意； C. 一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，符合题意； D. 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可得开口方向、与轴交点坐标、与轴的交点坐标，由此可求对称轴和对应方程的解． 【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确； B.由图象得：与轴的交点坐标为，，所以方程的解为，，故此结论正确； C.，解得，所以抛物线对称轴为直线，故此结论正确； D.由图象得：顶点坐标为，可设，，解得， 抛物线与y轴交点坐标为，故此结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解题的关键． 10．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 二、填空题 11．抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为 ． 【答案】(1，2) 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式． 12．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质得出，求一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 13．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上得到，解得m的值即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， 故m的值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义和性质、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题的关键． 14．已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标的特征，先判断抛物线的开口方向和对称轴，再求出函数值即可得到结论． 【详解】解：二次函数的对称轴为： 又当时，随着的增大而增大， 所以，该函数的图象开口向上， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质以及解直角三角形，先求出新抛物线表达式为，即可求得，过点作轴，垂足为，即可得出． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线为，即 ， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，． 故答案为：． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意． 首先配方得到，求出，，然后根据题意得到，求出或，然后结合得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴， 根据题意得， 整理得， 解得或 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴抛物线的“开口大小”为2． 故答案为：2． 18．定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点P的相关函数．如果当时，函数关于点的相关函数的最大值为8，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出该函数顶点坐标，再根据题目所给新定义和旋转的性质，求出其相关函数的表达式，最后根据对称轴的不同位置，进行分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数顶点坐标为， 设该函数关于点的相关函数顶点坐标为， ∴，， 解得：，， ∴设该函数关于点的相关函数顶点坐标为， ∴设该函数关于点的相关函数为； ①当时，， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值，， 解得：，（舍）； ②当时，时， 当时，y有最大值，， 解得：（舍），（舍）， ③当时，， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值，， 解得：（舍），（舍）； 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，解题的关键是根据他题意得出该函数以及其相对函数的顶点坐标连线中点为，根据对称轴的不同位置进行分类讨论． 三、解答题 19．已知二次函数y＝x2﹣3x+． (1)请把二次函数的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点坐标和对称轴； (2)请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）． 【答案】(1)y＝（x−3）2−2，顶点坐标为（3，−2），对称轴为直线x＝3； (2)见解析 【分析】（1）利用配方法得到y＝（x−3）2−2，然后根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标、对称轴； （2）求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标，结合抛物线的顶点坐标，描点后画出二次函数的图象即可． 【详解】（1）解：∵y＝x2−3x＋＝（x−3）2−2， ∴抛物线的顶点坐标为（3，−2），对称轴为直线x＝3； （2）当y＝0时，即x2−3x＋＝0， 解得x1＝1，x2＝5， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）， 当x＝0时，y＝， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，）， 又∵抛物线的顶点坐标为（3，−2）， ∴函数图象如图， 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出二次函数顶点坐标是解题关键． 20．已知二次函数的图象与轴有公共点． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求此时二次函数与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）和 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（2m-2）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）根据（1）中的m的取值范围，可以取m=1，然后由二次函数解析式得到x2-2x=0，由此求得该抛物线与x轴交点的横坐标． 【详解】解：（1）二次函数与轴有公共点 （2）为正整数 令 二次函数与轴的交点坐标为和． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．    (1)求点的坐标与的值； (2)求的面积． 【答案】(1)；3 (2)3 【分析】（1）根据所给的二次函数解析式，易求顶点的横坐标为1，再把代入，可求，于是可得顶点的坐标是，再把代入，易求； （2）画图后，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， 此函数的顶点的横坐标， 把代入，可得， 二次函数顶点的坐标是， 把代入，可得 ， 解得， 当时，，解得， 点坐标是； （2）解：如图， ．    【点睛】本题考查了二次函数的顶点、一次函数图象上点的特征、二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点点的坐标． 22．已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的配方求顶点和待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出顶点和与轴的交点坐标，利用两点间距离公式解题即可； （2）先设解析式为，然后写出与轴两交点的坐标，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； （2）解：设平移后的解析式为， ∵与轴两交点间的距离为4， ∴与轴两交点为和， 把代入得， 解得， ∴平移后所得抛物线的表达式为． 23．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得，    根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 24．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式． (3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可； （2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可； （3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分 、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， ∴当，时，该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象经过点， ∴，则， ∵该二次函数图象的顶点坐标是， ∴，， ∴，， ∴，即； （3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下， ∵， ∴当即时，该函数的最大值为，即， 解得，，不合题意，舍去； 当即时，时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去； 当即时，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 解得，符合题意， 综上，满足条件的c的值为2． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键． 25．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，解一元二次方程，二次函数的最值，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）由得或，故点的坐标分别为，，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，面积，然后通过二次函数的性质即可求解； （）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $