精品解析：甘肃省平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

文萃中学2025~2026学年高二第一学期第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案签在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第3章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角的定义求解即可. 【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D. 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】依题意，直线为， 所以两平行直线与之间的距离． 故选：C 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质及前项和求解． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 6. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，然后求出圆心距，再与两圆的半径和与差比较大小即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为， 所以圆与圆外切． 故选：D． 7. 设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】方程，即， 依题意可得，解得且， 即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意. 故选：AC 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 11. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13. 关于直线对称的圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心关于已知直线对称点坐标即可. 【详解】设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. 【小问1详解】 由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． 【小问2详解】 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 17. 已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. （1）求的方程； （2）若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得的坐标，设的方程为，将三点代入求解即可； （2）求出的圆心和半径，先判断点在内部，然后求出最长弦长和最短弦长，即可求解面积. 【小问1详解】 对于二次函数， 令，得，所以或， 不妨假设在左侧，则， 令，得，所以， 设的方程为， 将三点代入，得，解得 所以的方程为. 【小问2详解】 的方程可化为， 所以的圆心，半径， 因为，所以点在内部， 所以过点的最长弦为的直径，所以. 设圆心到任意一条弦的距离为，则该弦弦长为， 所以当最大时，弦长最短. 因为，所以最短弦长， 此时，即， 所以四边形的面积为. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 【点睛】 19. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 【答案】（1）直线与的方程为或. （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, 【小问1详解】 可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. 【小问2详解】 由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以. 【小问3详解】 的圆心，半径；的圆心，半径. 因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学2025~2026学年高二第一学期第二次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案签在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第3章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 7. 设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为椭圆的方程，则的值可以为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 1 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 13. 关于直线对称的圆的方程为__________. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 16. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. （1）求的方程； （2）若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 19. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $