第14章 图形的运动（复习讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义围绕图形的运动构建“三种运动形式+对应特征”的知识框架，系统梳理平移、旋转、翻折（轴对称）及中心对称的定义、性质，通过对比表格呈现中心对称与中心对称图形的区别联系，清晰呈现知识脉络与内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖图形识别、性质应用、作图操作等题型，如折叠问题结合几何直观培养空间观念，旋转性质题提升推理意识。基础巩固与能力提升题梯度分明，助力不同层次学生掌握，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

第14章 图形的运动（复习讲义） 1.梳理图形平移、旋转、翻折的定义、性质及区别，构建 “三种运动形式 + 对应特征” 的知识框架，能准确辨识具体图形的运动类型。 2.掌握图形运动的作图方法（平移作图、旋转作图、翻折作图），能结合运动性质解决线段相等、角相等、图形全等相关的计算与证明问题。 3.形成图形运动的转化思想，能运用运动视角分析复杂图形的构成，提升空间想象能力和几何直观素养，为后续几何证明奠定基础。 知识点01.平移 1、平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 4.平移的性质 (1)图形平移后，每组对应点之间的距离相等； (2)对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)且相等； (3)对应角的大小相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (4)平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离. 知识点02.旋转 1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 2.图形的旋转的性质 旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 知识点03.轴对称 1.轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 3.画轴对称图形 例 如图,画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 知识点04.中心对称 1.中心对称图形：如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 2.中心对称：在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 4.画中心对称图形 例 如图，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 题型一 图形的识别 【例1-1】（平移）（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（轴对称）（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（中心对称图形）（23-24七年级上·上海·期末）下列图形中，是中心对称图形的有（    ）个． ①正方形，②长方形，③等腰三角形，④线段，⑤等腰梯形，⑥平行四边形 A．5 B．2 C．3 D．4 【例1-4】（轴对称图形与中心对称图形）（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 18．（旋转）（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·月考）2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 【变式1-5】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 题型二 利用平移的性质求解 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 【变式2-4】（24-25七年级上·上海静安·期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 ． 题型三 旋转问题 【例3】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式3-1】在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形． 【变式3-2】（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 题型四 根据旋转的性质求解 【例4-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【例4-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【例4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 【例4-4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点， ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 【变式4-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 【变式4-5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3） 如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 题型五 轴对称问题 【例5】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 题型六 折叠问题 【例6-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期末）如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 【例6-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，点在长方形纸片的边上，点,分别在射线,上．将沿翻折，点的对应点为点，将沿翻折，点的对应点是点．如果点在内部，且，那么 ．（用含的代数式表示） 【变式6-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 题型七 中心对称问题 【例7】（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 【变式7】（22-23七年级上·上海徐汇·期末）在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 题型八 作图问题 【例8-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 【例8-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【例8-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【例8-4】（23-24七年级上·上海闵行·期末）在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将绕点逆时针方向旋转后的； (3)求点绕点旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【例8-5】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海·期末）按要求作图： (1)在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，并且画出该轴对称图形的一条对称轴；（画出符合题意的一种情况即可） (2)已知在平面直角坐标系中的位置如图2所示，画出绕点C按顺时针方向旋转后的． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 【变式8-4】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法）： (1)将点A向右平移3个单位可到达点B，将点A向上平移2个单位可到达点C，标出点B、点C，并连接、、和； (2)在方格图中分别画出四边形和四边形，使四边形和四边形关于直线成轴对称；四边形和四边形关于点O成中心对称； (3)四边形和四边形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 基础巩固通关测 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列关于如图中所给的图形的说法中，正确的是（    ） A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形 D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）平行四边形、等边三角形、正方形、圆、矩形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海·期末）下列说法正确的有（    ）个． （1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等 （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形关于这条直线对称 （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点 （4）正n边形一定是中心对称图形 （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是 （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 6．（22-23七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 9．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 10．（22-23七年级上·上海青浦·期末）如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ． 11．已知线段的长为厘米，将它向左平移厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段 厘米． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 °． 13．（24-25七年级上·上海·月考）在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 14．（24-25七年级上·上海·月考）已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 16．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列说法中正确的是（    ） A．对应线段的夹角等于旋转角 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．平移的对应点之间的距离是一样的，并且对应点的连线一定平行 D．经过平移和旋转后的图形的形状和大小是不变的 2．（22-23七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    5．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 7．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 10．（23-24七年级上·上海黄浦·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 11．（24-25七年级上·上海·期末）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 12．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，已知三角形，按下列要求画出图形（不用写画法，保留作图痕迹，书写结论）； (1)在图（1）中画出三角形关于点成中心对称的三角形； (2)在图（2）中画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 13．（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 14．（23-24七年级上·上海闵行·期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 15．（24-25七年级上·上海·期末）已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图1、图2、图3的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 18．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 图形的运动（复习讲义） 1.梳理图形平移、旋转、翻折的定义、性质及区别，构建 “三种运动形式 + 对应特征” 的知识框架，能准确辨识具体图形的运动类型。 2.掌握图形运动的作图方法（平移作图、旋转作图、翻折作图），能结合运动性质解决线段相等、角相等、图形全等相关的计算与证明问题。 3.形成图形运动的转化思想，能运用运动视角分析复杂图形的构成，提升空间想象能力和几何直观素养，为后续几何证明奠定基础。 知识点01.平移 1、平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 4.平移的性质 (1)图形平移后，每组对应点之间的距离相等； (2)对应点所连接的线段平行(或在同一直线上)且相等； (3)对应角的大小相等；对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (4)平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离. 知识点02.旋转 1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 2.图形的旋转的性质 旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 知识点03.轴对称 1.轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴.翻折后能够重合的点叫作对称点. 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 3.画轴对称图形 例 如图,画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形.分析利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”,即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)过点A画直线l的垂线AO,垂足为0.延长AO到点A₁,使OA₁=OA,就得到点A关于直线l的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-3-9(2)所示.四边形A₁B₁C₁D₁就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形. 知识点04.中心对称 1.中心对称图形：如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 2.中心对称：在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 4.画中心对称图形 例 如图，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 题型一 图形的识别 【例1-1】（平移）（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 【例1-2】（轴对称）（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【例1-3】（中心对称图形）（23-24七年级上·上海·期末）下列图形中，是中心对称图形的有（    ）个． ①正方形，②长方形，③等腰三角形，④线段，⑤等腰梯形，⑥平行四边形 A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①正方形，②长方形，④线段，⑥平行四边形是中心对称图形， 故选：D． 【例1-4】（轴对称图形与中心对称图形）（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意； B选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项不合题意； C选项：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意； 故选：C． 18．（旋转）（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·月考）2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移的现象．“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解． 【详解】 解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是， 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】第二个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共1个． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断． 【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图， ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； 故选：D． 【变式1-5】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 题型二 利用平移的性质求解 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形沿射线的方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，将周长为17的沿平移得到．平移后，如果四边形的周长是21，那么平移的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质． 由平移可知四边形的周长，根据平移可知．再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则 ； 故答案为． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图所示，线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿 方向平移了 cm． 【答案】 4 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的方向和距离确定平移的结果即可． 【详解】解∶ 线段经过平移后得到线段，，，那么线段沿方向平移了． 故答案为；4． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 【答案】同时 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移， 则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边． 又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边， 所以甲、乙所走路程相等． 又因为它们爬行的速度相等， 所以它们同时回到洞中． 故答案为：同时． 【变式2-4】（24-25七年级上·上海静安·期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，然后根据E是的三等分点得到，进而求解即可． 【详解】由平移得， ∵E是的三等分点 ∴ ∴． 故答案为：8． 题型三 旋转问题 【例3】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【变式3-1】在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形． 【答案】4 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可． 【详解】解：在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有线段，五角星、圆、平行四边形是旋转对称图形． ∴旋转对称图形一共有4个， 故答案为：4． 【变式3-2】（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【答案】3 【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案． 【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合； 以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合； 则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个． 故答案为：3 题型四 根据旋转的性质求解 【例4-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 【例4-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 【例4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，如果正方形的边长是5，那么四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，解题即可． 【详解】解：由旋转可得， 故答案为：． 【例4-4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点， ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，线段的和差，分点在上或的延长线上，分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵将绕着点旋转，使点落在直线上的点， ∴， 如图所示，当点在上， ； 当点在的延长线上时， ， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答． 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把每行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到． 【详解】解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移． 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据图形和旋转的性质，根据旋转的性质得出，，根据中点的定义可得，则．熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∵点C恰好成为的中点， ∴，则． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是 ． 【答案】或/12或24 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求； ∵E是的中点 ∴ 由旋转的性质可得：，， 当为绕点顺时针旋转所得时； ， ； 当为绕点逆时针旋转所得时； ， 综上，的面积为或． 故答案为：或． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或； 故答案为：或． 【变式4-5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 【答案】（1）；（2）①，②，（3）存在，t的值为或秒． 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有，即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 题型五 轴对称问题 【例5】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 题型六 折叠问题 【例6-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，动手操作判断即可． 【详解】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是： ． 故选：B． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·期末）如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．由折叠性质得，先根据已知求得，进而根据平角定义求解即可． 【详解】解：由折叠性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例6-3】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，点在长方形纸片的边上，点,分别在射线,上．将沿翻折，点的对应点为点，将沿翻折，点的对应点是点．如果点在内部，且，那么 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查折叠的性质及角的计算问题，分在内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解：①当在外部时，如图， ∴， 由折叠得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在内部时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 【答案】30° 【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质， 先根据折叠的性质得，再根据正方形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，，则，由此即可得； （2）根据折叠的性质可得，，再根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解； 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：若点落在线段上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若点落在线段的延长线上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或； （3）解：如图所示，过点作于， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 题型七 中心对称问题 【例7】（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 【变式7】（22-23七年级上·上海徐汇·期末）在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再连接即可得到； （2）结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图形可得：重合的面积是中间的小正方形， ∵网格边长为1， 故重合面积为4． 题型八 作图问题 【例8-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 【答案】(1)作图见详解； (2)作图见详解． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作图—平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． （1）利用网格作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用平移的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接，即为所作， （2）解：如图，找出将各顶点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点，再顺次连接各点，即为所作；平移方向如图所示． 【例8-2】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求： （2）解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： 或或或 （答案不唯一，言之成理即可） 【例8-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)三角形和三角形关于直线成轴对称 【分析】本题考查了作图—旋转变换：中心对称和轴对称，找到对应点，顺次连接得出旋转和轴对称后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和轴对称的性质、中心对称的性质画图； （3）根据轴对称的性质得到答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：三角形和三角形关于直线成轴对称． 【例8-4】（23-24七年级上·上海闵行·期末）在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）． (1)先画出该三角形关于直线l成轴对称的； (2)再画将绕点逆时针方向旋转后的； (3)求点绕点旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查了轴对称变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据旋转的性质，利用圆的周长公式结合网格即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 点绕点旋转到点所经过的路线是以为圆心，3为半径的圆周长的， 点绕点旋转到点所经过的路线长为：． 【例8-5】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，图形旋转的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的基本概念与操作方法，能够准确找出对应点的位置来绘制图形，并依据旋转的角度关系判断图形是否重合． （1）根据中心对称的性质，连接三角形各顶点与对称中心并延长相同长度，确定对应点，，的位置，从而画出三角形． （2）依据图形旋转的性质，以点为旋转中心，将三角形的各顶点绕点逆时针旋转，找到对应点，进而画出三角形． （3）分析两次旋转的角度关系，由于顺时针旋转后再逆时针旋转，且，相当于整体顺时针旋转了，判断这个角度下三角形能否与三角形重合． 【详解】（1）连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 依次连接，得到三角形，此此三角形关于点成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将点绕点逆时针旋转，得到点， 同样方法，将点绕点逆时针旋转得到点， 将点绕点逆时针旋转得到点， 依次连接，画出三角形； （3）因为三角形绕点顺时针旋转得到三角形，再将三角形绕点逆时针旋转，所以三角形相对于初始位置顺时针旋转了， 而三角形直接绕点顺时针旋转后，其位置与经过两次旋转得到的三角形位置相同（根据旋转的性质，旋转角度相同，旋转中心相同，图形的最终位置相同）， 所以小明的观点正确，即三角形经过一次运动（绕点顺时针旋转）就能和三角形重合． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称作图及轴对称作图 （1）根据轴对称的性质找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称的性质找到各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【变式8-2】（24-25七年级上·上海·期末）按要求作图： (1)在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，并且画出该轴对称图形的一条对称轴；（画出符合题意的一种情况即可） (2)已知在平面直角坐标系中的位置如图2所示，画出绕点C按顺时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称的概念以及图形的旋转变换与画图的综合能力， （1）可画出一个等腰梯形或A点关于的对称点，则是轴对称图形； （2）根据旋转中心是点C，旋转角，旋转方向顺时针方向，在网格中找出对应点得出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，画中心对称图形： （1）根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）连接，利用网格的特点找到的中点位置即为点O的位置，进而根据点O的位置找到的位置即可； （3）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式8-4】（24-25七年级上·上海黄浦·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法）： (1)将点A向右平移3个单位可到达点B，将点A向上平移2个单位可到达点C，标出点B、点C，并连接、、和； (2)在方格图中分别画出四边形和四边形，使四边形和四边形关于直线成轴对称；四边形和四边形关于点O成中心对称； (3)四边形和四边形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形和四边形关于直线成轴对称 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画图即可． （2）根据轴对称的性质、中心对称的性质分别作图即可． （3）结合轴对称的性质可知，四边形和四边形关于直线成轴对称． 【详解】（1）解：如图，点B、点C，、、和即为所求． （2）解：如图，四边形和四边形即为所求． （3）解：由图可知，四边形和四边形关于直线成轴对称． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列关于如图中所给的图形的说法中，正确的是（    ） A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形 D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：如图，该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）平行四边形、等边三角形、正方形、圆、矩形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形， 正方形，圆和矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有1个， 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项进行判断即可求解． 【详解】解：A、绕中心点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿任意一条直线折叠，直线两旁的部分都不能够互相重合，不是轴对称图形，故选项A不符合题意， B、绕中心点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿过中心点的竖直直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故选项B符合题意， C、绕中心点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿任意一条直线折叠，直线两旁的部分都不能够互相重合，不是轴对称图形，故选项C不符合题意， D、绕任意点旋转后，都不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿过中心点的竖直直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故选项D不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级上·上海·期末）下列说法正确的有（    ）个． （1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等 （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形关于这条直线对称 （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点 （4）正n边形一定是中心对称图形 （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是 （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的性质，平移性质，旋转性质解答即可． 本题考查了中心对称图形的性质，平移性质，旋转性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等，正确； （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形不一定关于这条直线对称，错误； （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点，正确； （4）正n边形不一定是中心对称图形，错误； （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是，正确； （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时或，错误． 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．（22-23七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可． 【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误； （2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误； （3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它有可能是中心对称图形，此说法错误； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故此说法正确； 说法正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 7．（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平移重合图形的识别，正确理解平移重合图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，只有平行四边形是平移重合图形， 故答案为：②． 9．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 10．（22-23七年级上·上海青浦·期末）如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ． 【答案】118 【分析】利用邻补角的定义计算出，然后根据旋转的性质确定旋转角的大小． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转到， ∴∠CAC′等于旋转角， ∵，点B、点B、点在同一直线上， ∴， 即旋转角为． 故答案为：118． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 11．已知线段的长为厘米，将它向左平移厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段 厘米． 【答案】2 【分析】本题考查了图形的变化—平移，理解题意和掌握规律是解题的关键． 根据对应点的连线的长度等于平移的距离可得答案． 【详解】解：根据题意可画图，如图所示， ∵向左平移了厘米， ∴厘米， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到， 又， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海·月考）在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 【答案】见解析 【分析】本题考查了画图形的旋转；分别确定三点旋转后的对应点，再依次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 14．（24-25七年级上·上海·月考）已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画对称轴，理解轴对称图形的性质是解题的关键． （1）直线是线段的垂直平分线，画出线段的垂直平分线即可； （2）作出A、B两点关于直线对称的对应点，依次连接四个对应点即可． 【详解】（1）解：画出线段的垂直平分线如下： （2）解：所画的轴对称图形如下： 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画中心对称图形和画轴对称图形： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （2）由中心对称图形的性质可得O是的中点，据此确定点O的位置，再连接并延长到使得，同理作出 ，再顺次连接； （3）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，描出并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 16．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)中心 【分析】本题考查了平移、旋转作图，熟练掌握各作图方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接点即可得； （3）根据三角形的位置确定位置关系是中心对称． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由和的位置可得，位置关系是中心对称． 故答案为：中心． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列说法中正确的是（    ） A．对应线段的夹角等于旋转角 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．平移的对应点之间的距离是一样的，并且对应点的连线一定平行 D．经过平移和旋转后的图形的形状和大小是不变的 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质等知识．因为有时对应线段并没有交点，所以“对应线段的夹角等于旋转角”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；旋转的性质是对应点到旋转中心的距离相等，而不是图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等，可判断B不符合题意；因为平移的对应点的连接有时在同一条直线上，所以“平移的对应点之间的距离是一样的，并且对应点的连接一定平行”这一说法是错误的，可判断C不符合题意；由经过平移和旋转得到的图形与原来的图形全等，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵有时对应线段并没有交点， ∴“对应线段的夹角等于旋转角”这一说法是错误的，故A不符合题意； ∵“旋转的性质是对应点到旋转中心的距离相等”， ∴“而不是图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等”，可判断B不符合题意； ∵平移的对应点的连接有时在同一条直线上， ∴“平移的对应点之间的距离是一样的，并且对应点的连接一定平行”这一说法是错误的，可判断C不符合题意； ∵“经过平移和旋转得到的图形与原来的图形全等”， ∴经过平移和旋转后的图形的形状和大小是不变的，故D符合题意， 故选：D． 2．（22-23七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到，再由四边形周长计算公式推出，进一步由折叠的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵四边形的周长是10， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，根据题意可得，则边扫过的面积是以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵直角将绕点A顺时针旋转到直角的位置． ∴， ∴边扫过的面积是 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：将一个周长为a厘米的沿射线方向平移后得到， ，， 的周长为a厘米， ， 四边形的周长为b厘米， ，即， ， 即平移的距离是， 故答案为： 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．根据题意分类讨论，画出图形即可直观解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 7．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的面积公式、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 由点在边上，，得，再分两种情况讨论，一是落在线段上，则，，因为，，所以，求得；二是点落在线段上，则，，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点在边上，， ∴， 如图，点落在线段上， 由旋转得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，点落在线段上， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的面积等于或， 故答案为：或． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是对轴对称，中心对称作图的考查，熟练掌握轴对称，中心对称知识是解决本题的关键， （1）分别作出A，B，C，D关于直线MN的对称点，然后依次连接即可； （2）分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）连接，作的中垂线，即为所求； 【详解】（1）解：如下图所示：四边形即为所求； （2）解：如下图所示：四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形与四边形关于成轴对称，即为所求． 10．（23-24七年级上·上海黄浦·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)是，画图见详解 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 11．（24-25七年级上·上海·期末）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)否；可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合 【分析】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质可判断三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，再根据旋转性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：如图所示，三角形即为所求； （3）解：三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合， 故答案为：否． 12．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，已知三角形，按下列要求画出图形（不用写画法，保留作图痕迹，书写结论）； (1)在图（1）中画出三角形关于点成中心对称的三角形； (2)在图（2）中画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解决问题的关键．也考查了轴对称变换． （1）延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取，然后、、，从而得到； （2）过点直线于点，再在的延长线上截取，同样方法作出点、，从而得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形为所作； （2）解：如图2，三角形为所作． 13．（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【答案】(1)平移，画图见解析 (2)两次轴对称 (3)顺，，逆，，画图见解析 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的性质与画图． （1）根据平移与轴对称的性质进行解答与画图． （2）根据轴对称的性质解答即可． （3）根据旋转的性质进行解答与画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次平移得到； 三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，画图如下： 故答案为：平移； （2）解：通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过两次轴对称来实现， 故答案为：两次轴对称； （3）解：如图，三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点顺时针旋转．得到三角形④：再将三角形④绕着点逆时针旋转．得到三角形⑤．画图如下： 故答案为：顺，，逆，． 14．（23-24七年级上·上海闵行·期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 【答案】(1)或 (2)①②； 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“互优角”的定义结合已知条件可知分两种情况当和时利用翻折的性质结合平角的定义求解即可． （2）①根据“互优角”的定义可得出，由，则可得出，由折叠的性质可得出，再根据平角的定义可得出代入求出，进而可得出． ②如图3，当线段落在外部时，由折叠的性质可知：，，由“互优角”的定义得出即．同理可求出当线段落在内部时，． 【详解】（1）解：∵与互为“互优角”， 当时， 则， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，可得． 故答案为：或 （2）解：①∵点E、、P在同一直线上，且与互为“互优角”， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 则， ∴ ②当线段落在外部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角” ∴， 即． 当线段落在内部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 即， ， ∵， ∴， 则 15．（24-25七年级上·上海·期末）已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图1、图2、图3的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 【答案】(1)图见解析 图见解析 图见解析 (2) 【分析】（1）分别按照平移（作图）、画轴对称图形、画旋转图形的方法作出相应的图形即可； （2）由轴对称的性质可得，进而求得，由列方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； ； ③如图，点即为旋转中心，即为所求作； （2）解：如图， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)①；②2 (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质，完全平方公式的变形求值，解二元一次方程组： （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）①证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；②根据题意可得，，再根据完全平方公式的变形得到，，则，解方程组即可得到答案； （3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①由平移的性质可得，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； ②∵四边形的面积为20，的面积为6， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离为2； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 18．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $