专题01 将军饮马之线段和最小值（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 将军饮马之线段和最小值 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（线段和的最小值） 4 9 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 条件：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 例2（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的． (2)在网格中画出△ABC关于直线m成轴对称的． (3)在直线m上画一点P，使得的值最小． 例3（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）； (2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）． 例4（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 例5（24-25七年级下·山东·期中）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 例6（24-25广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 1．（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级·河北·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 3．（24-25·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    5.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 6.（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将下述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积．（3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小．（在图上直接标记出点P的位置） 8．（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)求出的面积． (3)在直线l上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短．（2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 11．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．(1)在图中画出关于直线成轴对称的； (2)求的面积；(3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线成轴对称；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使点到点A、B的距离之和最短，标出点（保留作图痕迹）． 13．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 将军饮马之线段和最小值 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（线段和的最小值） 4 9 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择． ∵点E与点关于对称，∴，∴， 由两点之间线段最短可知此时的值最小．故选C． 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 条件：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短． 例2（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的． (2)在网格中画出△ABC关于直线m成轴对称的． (3)在直线m上画一点P，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析 【详解】（1）解：如图所示：即为所作； （2）解：如图所示：即为所作； （3）解：如图所示：点P即为所作，使得的值最小． 例3（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）； (2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：所作图形如图所示；    （2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值， ∴的周长为，∴当、、共线时，的周长最小． （3）的面积． 例4（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵B、C关于直线EF对称，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 例5（24-25七年级下·山东·期中）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，，， 在中，，； （3）如图所示，，，则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 例6（24-25广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D． 1．（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线的对称点，连接，则， ∴，连结，则线段的长度即为的最小值， 这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短．故选：A． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称，∴，， ∵，∴，∴， ∴三点共线，∴，∴当最小时，最小， ∵点M是上一点，∴时，最小，此时：， ∴，∴，∴的最小值为，故选C． 3．（24-25·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 【答案】15°##15度 【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD， ∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°， ∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形， ∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    【答案】/90度 【详解】∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，    ∴，即：此时，取得最小值， ∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：． 5.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接， ∵等边中，于点H，∴点关于对称，∴，∴， ∵点D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴m的最小值为4；故答案为：4． 6.（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将下述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 【答案】见解析 【详解】如图所示，作出点关于河岸的对称点，连接，交于河岸于点，连接，则点能满足最小，理由：，三角形任意两边之和大于第三边，当点在的连线上时，最小． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积．（3）在直线L上找出一点P，使得PA+PC的值最小．（在图上直接标记出点P的位置） 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析． 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）△ABC的面积为：2×2＝2． （3）如图，点P即为所求． 8．（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)求出的面积． (3)在直线l上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析(2)3.5(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． （3）解：根据两点间线段最短及轴对称可确定点，如图，点即为所求． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1)见解析(2)的面积为8(3)见解析 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：；（3）解：点P即为所求作： 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短．（2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①画图见解析，②P点见解析；（2）作图见解析 【详解】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接，交直线于点，连接， 此时，此时为最小值，则点即为所求． （2）如图所示：则点即为所求． 11．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．(1)在图中画出关于直线成轴对称的； (2)求的面积；(3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置． 【答案】(1)见解析(2)的面积为(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所作的三角形； （2）解：的面积为； （3）解：如图，点即为所标出的点． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线成轴对称；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使点到点A、B的距离之和最短，标出点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作， ； ． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求， 13．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1)(2)最短路径如图，理由见详解 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴，∴，∴铺设管道最短的是选项，故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得：，∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短(2)见解析(3)6 【详解】（1）连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图，点即为所求． （3）如图2，作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N，则的周长最小， 连接、，∵点C和点Q关于对称，∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴为等边三角形，∴，∴的周长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$