精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级数学期中试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，再利用向量平行的坐标条件列出方程，即可求解. 【详解】由已知，，则，又，所以，解得. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若，则，即. 若，则，则. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指对数函数的单调性得到的范围即可. 【详解】因为，，，所以 . 故选：D 5. 若 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 分子分母同时除以，即得：. 故选D. 6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 7. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，， 得，整理得，解得 ， 所以. 故选：C 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.） 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解. 【详解】选项A：的定义域为，为奇函数不是增函数，故A不符合题意； 选项B：函数的定义域为R，设， 则，所以为奇函数， 又为增函数，所以为增函数，故B符合题意； 选项C：函数的定义域为R，为奇函数和增函数，故C符合题意； 选项D：函数的定义域为，不是奇函数，故D不符合题意. 故选：BC. 10. 先将函数 图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 时， D. 其图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，根据可判断A；利用整体代换的方法，根据的范围，求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点对称，的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D. 【详解】将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到 ， 再把图象向右平移个单位长度，得到， 最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到. 对于A，，故A正确； 对于B，因为在单调递增， 当时，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C正确； 对于D，当时，函数满足， 所以函数关于点对称， 所以关于点对称，故D错误. 故选：AC 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有个零点 C. 若在上的最大值为，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，借助函数的单调性、极值及，可判定C正确；D选项，求得，令，求得，得出，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】A选项，由函数， 可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增，当时，取得极大值， 极大值为，所以极大值点为，A错误； B选项，由A知，当 时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，， 所以函数有3个零点，所以B正确； C选项，， 由A、B可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，， 所以，在上的最大值为，则，C正确； D选项，由，可得， 令，可得， 又由， 所以点是函数的对称中心； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以，即， 所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 13. 函数在___处取得极小值，且极小值为___. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】利用导数求得的单调性，进而依据函数极值的定义求得极小值点和极小值. 【详解】，则， 当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 则 时取得极小值，且极小值为 故答案为：2， 14. 若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先对的解析式进行化简，进而得到是的一个零点，然后将含参数的式子分离，通过分析的图象特征得到参数的取值范围. 【详解】 ， 令，可得或， 所以是的一个零点，此外在上有两个解， 即在上有两个解， 令， 即的图象和在上有两个交点， 由在上的图象可得：， 解得：. 故答案为：. 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为 的三个内角的对边，且． （1）求 的值； （2）若 ，且 的面积为，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得 ，由余弦定理，可得，从而可得答案. 【小问1详解】 在 中，由正弦定理得：， ∴可等价转化为， 其中，故 ． ∴， 即， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 ， 由余弦定理可得 即，所以， 所以. 16. 已知函数． （1）求 ； （2）设函数，求的递增区间． （3）当时，求函数值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用以及可求； （2）利用辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性以及复合函数的单调性求解； （3）利用正弦函数的图象和性质可求. 【小问1详解】 因，，则； 【小问2详解】 ， 则， 令，得， 故的递增区间为； 【小问3详解】 ，则，则， 故函数值域为. 17. 已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量计算可得，根据前项和和通项的关系及等比数列的定义与通项公式计算可得； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，由题意得 ； 当时，则，， 当时，则，，， 是以1为首项，3为公比的等比数列， ； 【小问2详解】 由（1）得， ，① ，② ①－②得， . 18. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 （1）试列出列联表，并依据 的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ （2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望； ②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取 ． 若，则 ， ． ． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1） 列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. （2）①的分布列为 1 2 3 ； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）①根据题意结合超几何分布求分布列和期望；②根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 依据小概率值 的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. 【小问2详解】 由题意可知：抽取的5人中数学等第优秀的有3人，非优秀的有2人， 则的可能取值为1，2，3，可得： ， 所以的分布列为 1 2 3 的期望； 由题意可得：物理成绩的平均分为 （分）； 方差 ， 结合题意可知：，即 ，则 ， 可得 ， 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A， 可得 ， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为 . 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当 时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明：． 令 ，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于 时，趋近于 ， 又因 ，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由 得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由 即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当 时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级数学期中试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若 ，则 A. B. C. D. 6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 7. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.） 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 先将函数 图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 时， D. 其图象关于点对称 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有个零点 C. 若在上的最大值为，则 D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 函数在___处取得极小值，且极小值为___. 14. 若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是_____. 四、解答题：（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为的三个内角的对边，且． （1）求的值； （2）若 ，且的面积为，求 ． 16. 已知函数． （1）求 ； （2）设函数，求的递增区间． （3）当时，求函数值域. 17. 已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 （1）试列出列联表，并依据 的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ （2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望； ②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取 ． 若，则 ， ． ． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当 时，证明：有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $