精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 一、单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果. 【详解】易知两点间的斜率， 设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得， 故该直线的倾斜角为135°. 故选：C. 2. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程易得. 【详解】圆心为，半径为3的圆的方程为. 故选：C. 3. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）． A. 3 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案 【详解】圆的圆心为，半径，则 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为， 故选：B 4. 方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的定义计算判断. 【详解】因为方程表示圆， 则或. 故选：A. 5. 在四面体中，点满足，为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 6. 已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长. 【详解】圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为， 由于圆的圆心到直线的距离为1，且圆的半径为2， 故公共弦的长为， 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，弦长，重点考查计算能力，属于基础题型. 7. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值． 详解：∵OA⊥OB，OA=OB， ∴△AOB为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=2， ∴AB=. ∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=AB==， ∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为C． 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理. 8. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若向量，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. ∥ D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算判断A；求出两向量的模，判断B；根据向量平线的定义判断C；求出两向量的数量积，判断D. 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 10. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程. 【详解】若截距都为0，则直线为； 若截距不为0，令直线为，则， 所以直线为； 综上，所求直线方程为或. 故选：AC 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于， ， 所以，选项错误； 对于 ，所以，即， ，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确； 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误； 对于， 所以， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项正确． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线和互相垂直，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 13. 若圆与圆外切，则值为________； 【答案】4 【解析】 【分析】根据两圆外切列方程，解方程即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为且， 圆即，圆心为，半径为4， 因为两圆外切，所以，解得. 故答案为：4. 14. 直线与圆：交于，两点，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设出，坐标，根据数量积关系与勾股定理即可求解. 【详解】设、，线段的中点坐标为， 则， 且∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 故答案为：. 四、解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行性质，设出直线后代入点计算即可得. 【小问1详解】 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问2详解】 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问3详解】 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）焦距为4，且经过点； （3）经过点，的椭圆标准方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解. （2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解. （3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解. 【小问1详解】 不妨设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以, 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，所以，分以下两种情形来讨论， 情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 综上所述，椭圆的标准方程为或. 【小问3详解】 由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点， 所以，所以，且长轴端点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 17. 已知圆：，点是圆上一动点，点，点是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与曲线相交，被曲线截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先设线段中点为，点，然后利用相关点法求解即可；（2）先讨论直线斜率不存在，然后斜率存在利用截距式计算弦长等于，求解即可. 【小问1详解】 设线段中点为，点，由， ∴，， 又因为点在圆上， ∴ ∴， 即点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由，得，或， 即直线与圆相交所得弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由于圆到的距离，所以，解得， 所以，即， 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）存在点，此时 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 一、单项选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）． A. 3 B. 5 C. D. 4. 方程表示圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，点满足，为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 8. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若向量，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. ∥ D. 10. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线和互相垂直，则实数__________. 13. 若圆与圆外切，则值为________； 14. 直线与圆：交于，两点，若，则________. 四、解答题：本体共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）焦距为4，且经过点； （3）经过点，的椭圆标准方程. 17. 已知圆：，点是圆上一动点，点，点是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与曲线相交，被曲线截得的弦长为2，求直线的方程. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $