专项突破02 全等三角形的解题模型（期末复习-知识回顾+18个重难点培优题型+真题演练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

专项突破02 全等三角形的解题模型 （知识回顾+18种重难点培优题型+真题演练 共51题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 【模型1】倍长中线模型 2 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 2 【模型3】手拉手模型 3 【模型4】截长补短模型 4 【模型5】半角模型 4 【模型6】胖瘦模型 4 【模型7】婆罗摩笈多模型 5 重点难点 培优讲练 5 题型1 公共边模型 5 题型2 公共角模型 6 题型3 х模型 7 题型4 角平分线模型 9 题型5 垂直模型 10 题型6 —线三等角模型 11 题型7 手拉手模型 11 题型8 半角模型 13 题型9 边边角模型（胖瘦模型） 14 题型10 等腰旋转 14 题型11 双等腰旋转 16 题型12 互补型旋转 18 题型13 作平行线法 19 题型14 作垂线法 21 题型15 倍长中线 22 题型16 截长补短 25 题型17 补全图形法 27 题型18 旋转法 28 期末真题 实战演练 29 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 题型1 公共边模型 【精讲】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【变式】如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 题型2 公共角模型 【精讲】（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【变式】已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． （2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数． 题型3 х模型 【精讲】如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【变式】【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 题型4 角平分线模型 【精讲】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 【变式】如图，在四边形中，，若平分，求证：．    题型5 垂直模型 【精讲】（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【变式】（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3） 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． （4） 题型6 —线三等角模型 【精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于 ． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型7 手拉手模型 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． 【变式】（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且 ，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，， ，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 题型8 半角模型 【精讲】（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 题型9 边边角模型（胖瘦模型） 【精讲】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【变式】如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 题型10 等腰旋转 【精讲】已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D． (1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形； ①求证：∠BDP=∠PCB； ②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明； (2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系． 【变式】如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）． 题型11 双等腰旋转 【精讲】如图①，，，，相交于点M，连接．    (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【变式】（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    题型12 互补型旋转 【精讲】问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【变式】和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由. 题型13 作平行线法 【精讲】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 题型14 作垂线法 【精讲】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【变式】（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 题型15 倍长中线 【精讲】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【变式】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 题型16 截长补短 【精讲】数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【变式】（22-23七年级下·广东深圳·期末）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 题型17 补全图形法 【精讲】（21-22八年级下·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 【变式】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 题型18 旋转法 【精讲】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【变式】（21-22八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·浙江温州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 5．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 的关键． 6．（21-22八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 7．（21-22八年级上·广西贵港·期末）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 8．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是 ．（填序号） 9．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 10．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 12．（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 13．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 14．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：垂直平分． 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破02 全等三角形的解题模型 （知识回顾+18种重难点培优题型+真题演练 共51题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 【模型1】倍长中线模型 2 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 2 【模型3】手拉手模型 3 【模型4】截长补短模型 4 【模型5】半角模型 4 【模型6】胖瘦模型 4 【模型7】婆罗摩笈多模型 5 重点难点 培优讲练 5 题型1 公共边模型 5 题型2 公共角模型 9 题型3 х模型 11 题型4 角平分线模型 15 题型5 垂直模型 17 题型6 —线三等角模型 21 题型7 手拉手模型 23 题型8 半角模型 28 题型9 边边角模型（胖瘦模型） 31 题型10 等腰旋转 32 题型11 双等腰旋转 38 题型12 互补型旋转 43 题型13 作平行线法 48 题型14 作垂线法 52 题型15 倍长中线 57 题型16 截长补短 62 题型17 补全图形法 67 题型18 旋转法 70 期末真题 实战演练 75 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 题型1 公共边模型 【精讲】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）通过 SSS 证明三角形全等，结合等腰三角形三线合一证明垂直平分线； （2）先证是等边三角形，再利用平行线的性质得角相等，进而证明三个角均为； （3）利用平行线的性质、等边三角形的性质，结合直角三角形的边角关系求CF的长． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵，，； ； ； 垂直平分(等腰三角形三线合一）; ∴直线是线段的垂直平分线； （2）证明：，， 是等边三角形． ． ， ，， ， 是等边三角形； （3）解：如图所示， ，， 是的垂直平分线， 即． ，， ． ， ， ， ． 是等边三角形， ， ． 【考点剖析】本题考查垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，解题中用到的思想有转化思想（将垂直平分线的证明转化为三角形全等与等腰三角形性质）、数形结合思想（结合图形推导角的关系）；方法技巧是利用全等三角形证角相等、利用平行线的性质转移角的度数、利用等边三角形的角特征判定图形形状．解题关键是熟练掌握垂直平分线的判定条件、等边三角形的判定定理，准确推导角与边的关系．易错点是在证明等边三角形时忽略角的推导过程，或在求线段长度时未能准确利用直角三角形的边角关系． 【变式】如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【思路引导】（1）延长CE交AB于点G，证明 ，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形 （2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据 ，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证 【规范解答】（1）证明：延长CE交AB于点G ∵AECE ∴ 在和 ∴ ∴GE=EC ∵BD=CD ∴DE为的中位线 ∴DEAB ∵DE=BF ∴四边形BDEF是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点 ∴BF=DE=BG ∵ ∴AG=AC BF=（AB-AG）=（AB-AC）． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键． 题型2 公共角模型 【精讲】（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【规范解答】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【考点剖析】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式】已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． （2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数． 【答案】（1）不变，60°；（2）或；（3）120°． 【思路引导】（1）通过证△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°； （2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况； （3）通过证△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°． 【规范解答】（1）不变．在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°； （2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t， ①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°， ∴PB=2BQ， ∴4-t=2t，； ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°， ∴BQ=2BP， ∴ t=2（4-t），t=； ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形； （3）在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°． 【考点剖析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型3 х模型 【精讲】如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)若，则四边形是矩形，证明见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2）解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【变式】【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【答案】（1）（2）C（3）见解析 【思路引导】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，由三角形三边关系得到，即可求出； （3）延长到点M，使，连接，证明，得到，由得到 ，进而推出，即可证明． 【规范解答】解：（1）如图2，延长到点E，使，连接． ∵为的中线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：C； （3）证明：延长到点M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型4 角平分线模型 【精讲】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; （2）解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 【变式】如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查的是全等三角形判定与性质，在上截取，使，连接，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由等量代换可得，继而可得，由于，可证； 【规范解答】解：在上截取，使，连接，     是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 题型5 垂直模型 【精讲】（25-26八年级上·天津宁河·阶段练习）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【变式】（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），证明见详解；（3） 【思路引导】（1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，由题意易证，则有，同理可得，然后可得，进而可得，最后根据线段的等量关系可进行求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 题型6 —线三等角模型 【精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），直角三角形的两个锐角互余，求其他不规则图形的面积等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，由此可以证明≌，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【规范解答】解：且，， ， ， ， ，， ， 同理可证， ，， ， ， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【规范解答】（1）证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． 题型7 手拉手模型 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题发现】 （1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）， 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形三边关系等． （1）通过和中满足“边角边”条件，即，，，得出，进而得出； （2）延长到点，使，连接，证明和满足“边角边”条件，即，，，得出，所以，即证； （3）以为一边，在的右侧作等边，连接，证明和满足“边角边”，即，，，得出，根据全等三角形的对应边相等，，根据“两点之间线段最短”得，当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为，此时，的最大值为，． 【规范解答】（1）与之间的数量关系是：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）线段，，之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， 是等边三角形， ，， 在四边形中， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即； （3）如图，以为一边，在的右侧作等边，连接， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 当最大时，为最大， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，在同一条直线上时，为最大，最大值为， 的最大值为，此时，，在同一条直线上，如下图所示， ， 的最大值为，． 【变式】（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且 ，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，， ，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型8 半角模型 【精讲】（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【规范解答】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 题型9 边边角模型（胖瘦模型） 【精讲】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见解析. 【思路引导】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【规范解答】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 【变式】如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 【答案】见解析 【规范解答】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD． 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 题型10 等腰旋转 【精讲】已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D． (1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形； ①求证：∠BDP=∠PCB； ②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明； (2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②BC=BD+BP，证明见解析 (2)BC=BD−BP 【思路引导】（1）①根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出∠DPE=∠CPE=60°，进而可得结论； ②在BC上取一点Q使得BQ=BP，证明△PBQ是等边三角形，再证明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP； （2）在BD上取一点E使得BE=BP，证明△PBE是等边三角形，再证明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD−BP． 【规范解答】（1）①补全图形如图所示， 证明：设PD交BC于点E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°， ∴∠DPC=60°， ∵l//AC， ∴∠DBE=∠ACB=60°， ∴∠DBE=∠CPE=60°， ∵∠BED=∠PEC， ∴∠BDP=∠PCB； 解：②BC=BD+BP，理由如下： 在BC上取一点Q使得BQ=BP，连接PQ， ∵∠ABC=60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PB=PQ，∠BPQ=60°， ∴∠BPD=∠CPQ， 又∵∠BDP=∠PCB， ∴△PBD≌△PQC， ∴BD=QC， ∵BC=BQ+QC， ∴BC=BD+BP； （2）解：BC=BD−BP，理由如下： 在BD上取一点E使得BE=BP，连接PE， ∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC， ∴∠DBC=∠ACB=60°， ∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°， ∴△PBE是等边三角形， ∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°， ∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°， ∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD， ∴△CBP≌△DEP， ∴BC=DE， ∵BD=BE+ED， ∴BC=BD-BP． 【考点剖析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【变式】如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）． 【答案】（1）25；（2），理由见详解；（3），，， 【思路引导】（1）由平角的定义先求出∠BOC的度数，然后由角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据角的和差关系可求解； （2）根据题意得出∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，然后两式相减即可求解； （3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的度数为vt°，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论即可求解问题． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； 故答案为25； （2）与之间的关系为，理由如下： ∵， ∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°， ∴两式相减得：； （3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周， ∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°， ①当三角板转到如图所示时，， ∵，， ∴， ∴； ②当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； ③当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； ④当三角板转到如图所示时，， ∵， ∴， ∴； 综上所述：t的值为，，，； 故答案为，，，． 【考点剖析】本题主要考查角的和差关系，关键是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作． 题型11 双等腰旋转 【精讲】如图①，，，，相交于点M，连接．    (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为等腰直角三角形．证明见解析 【思路引导】（1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【规范解答】（1）证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，∵， ， 在中，， = ， 在中， ． （3）解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【考点剖析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键． 【变式】（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【答案】（1）①60°；②；（2）；（3）的度数是或 【思路引导】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数． ②由①得，即可得出． （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形可求，从而由勾股定理得出结论． （3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠． 【规范解答】解：（1）①如图，    和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴ ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为． ②≌， ． 故答案为． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （3）如图，由（1）知，    ， ， ， 如图，同理求得    ∴， ， 的度数是或 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出是解本题的关键． 题型12 互补型旋转 【精讲】问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【思路引导】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【规范解答】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式】和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由. 【答案】且 【思路引导】由已知条件可证明，再根据全等三角形的性质，得到   ，在中，又，可得：，即可证明且. 【规范解答】解： 和是直角三角形 则 即 在与中     在中 又 则中，即，， 综上所述，且. 【考点剖析】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键. 题型13 作平行线法 【精讲】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析． (2)①图见解析，②． 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是利用对称和全等转化线段关系从而证明结论． （1）连接，结合对称可得，进而证明，可得，由四边形内角和等于即可得出结论， （2）①按要求作图即可，②延长交于，连接，过点作交于点，证明，得出，，进而证明，可得，进而证明，再证明，利用等角对等边证明，从而证明，由此得出结论． 【规范解答】（1）证明：连接， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， （2）①如图， ②延长交于，连接，过点作交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【规范解答】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 题型14 作垂线法 【精讲】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【考点剖析】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 【变式】（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． (2)成立，证明见解析． 【思路引导】（1）根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，由此即可得出结论； （2）成立，过点A作，，构造全等三角形即可证明，从而得出结论成立． 【规范解答】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， 又∵，， ∴平分， 故（1）结论正确． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定、角平分线判定定理是解题的关键． 题型15 倍长中线 【精讲】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【答案】；；；；；； 【思路引导】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【规范解答】解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴①， 在和中， ②，，． ∴（③）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 故答案为：；；；；；；． 【变式】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【思路引导】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【规范解答】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型16 截长补短 【精讲】数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【思路引导】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【规范解答】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【变式】（22-23七年级下·广东深圳·期末）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，或 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）作于点，然后证明，即可得出结论； （2）分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可； （3）当与夹角为时．，在上截取点G．使．连接，分别证明，，进而得出结论． 【规范解答】（1）解：结论：， 理由如下：作于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴； （2）不成立， 如下图，结论：，    理由：延长角于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 如下图：    同理可证：； （3）当与夹角为时．， 证明： ∵，分别平分、， ∴， ∴， 在上截取点G．使．连接，    在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理结合“截长补短法”构造全等三角形是解本题的关键． 题型17 补全图形法 【精讲】（21-22八年级下·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段； （2）已知：如图，是直角三角形，，． 求证：． 解法一：如图，在上截取一点，使得，连接． ∵，，∴． ∵，∴是等边三角形． ∴，． ∵，∴． ∴．∴． ∵，∴． 解法二：如图，延长至点，使，连接． ∵，， ∴，， ∵，，， ∴．∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵，∴． 【考点剖析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键． 【变式】已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【思路引导】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【规范解答】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【考点剖析】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 题型18 旋转法 【精讲】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当，即是中点时，、、在同一条直线上． 【思路引导】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，由旋转全等模型的构造证明全等是解题关键． （1）根据菱形性质，证明即可； （2）连接，证明即可； （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上．将逆时针旋转到如图位置，先证明，再证明，从而可得，进而证明，，由即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 【变式】（21-22八年级下·四川·期中）已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路引导】（1）利用旋转的性质，证明即可； （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应到，证明即可求得． 【规范解答】（1）证明：如图1中，    由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， ，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：结论：， 理由：如图2中，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应， ， ，    同（1）可证得， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，，再利用梯形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵于F，于G，于H，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 梯形的面积为：， 三角形的面积为：， 三角形的面积为：， 实线围成的面积为： ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长到点，使，连接，再得出，证明，即可作答． 【规范解答】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【规范解答】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 4．（21-22八年级上·浙江温州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【思路引导】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【规范解答】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 5．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题． 【规范解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝2， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜2AD＜6， 解得1＜AD＜3， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键． 6．（21-22八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【思路引导】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 故答案为：6． 【考点剖析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键． 7．（21-22八年级上·广西贵港·期末）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 【答案】13 【思路引导】先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可． 【规范解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB ∴∠DAC=∠ECB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CE=AD=5，CD=BE=8， ∴DE=CD+CE=13， 故答案为：13． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 8．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】利用等边三角形的性质证明可判断①，利用，可得利用三角形的外角的性质可得 从而可判断③， 再结合等边三角形的性质证明可判断②， 由可得：，结合可得，从而可判断④． 【规范解答】解：如图，记与的交点为， ∵与都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60° ∵点B、C、E在同一条直线上， ∴∠ACD=60°， ∴∠BCD=∠ACE=120° 在和中， ∴， 所以结论①正确； ∵， ∴∠BDC=∠CEA， ∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°， 所以③错误； 在和中， ， ∴， ∴所以②正确； ， ∵CG=CF，∠ACD=60°， ∴∠GFC=60， 又∵∠DCE=60°， ∴∠GFC=∠DCE， ∴GF∥BC，所以④正确． 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件． 9．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【规范解答】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 10．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ． 【答案】19 【思路引导】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，则可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【规范解答】解：∵在等边中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：19． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【规范解答】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 12．（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 【规范解答】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【规范解答】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 14．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆． （1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形； （2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分； 【规范解答】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵在与中， ∴ ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵，， ∴． ∴在与中， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上． ∵两确定一条直线， ∴垂直平分． 15．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． （3）不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $