期末复习 八年级数学上学期期末复习案(2) (1.4-1.5) 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

八年级数学上学期期末复习案(2):(1.4--1.5)

【学习目标】

1、理解角平分线和垂直平分线的性质与判定，并能解决实际问题；

2、掌握等腰三角形（等边三角形）的性质与判定方法，并能解决相关问题.

【学习重点】角平分线和垂直平分线的性质定理与判定定理的综合运用.

【学习难点】角平分线和垂直平分线的性质定理与判定定理的综合运用.

【学习过程】

一、本章知识点：

知识点01 角平分线与垂直平分线的性质与判定

角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

知识点02 等腰三角形、等边三角形的性质与判定

等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）；

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（“三线合一”）。

等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）.

等边三角形的性质：等边三角形的内角都等于60°

等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

二、例题讲解

1、讲解例1（2025春•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE．

求证：BD＝CE．

 

 

 

 

2、讲解例2（2025秋•武汉）已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE交于点F．

求证：AF平分∠BAC．

 

 

 

 

3、尝试练习

(1)（2025秋•江阴市期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到AB、AC两条道路的距离相等，而且要使PM＝PN，请你用尺规作图的方法找出P点（不写画法，但保留作图痕迹）

 

 

 

(2)（2025秋•大丰区校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．

（1）求证：AC是∠BAD的平分线．

（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．

 

 

 

 

 

4、讲解例3（2025秋•新吴区期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝80°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝40°，连接DE．

（1）求∠EAD的度数；

（2）证明：DE平分∠ADC；

（3）若AB＝5，AD＝3，CD＝6，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为       　 ．

 

 

 

 

 

 

5、讲解例4（2024秋•安庆期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．

（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；

（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．

①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；

②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

 

 

 

 

6、尝试练习

(1)（2025秋•前郭县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．

（1）当∠A＝36°时，∠BPD的度数是　      　 ；

（2）设∠A＝α，∠EPC＝β，用含α的代数式表示β；

（3）当△EPC是等腰三角形时，直接写出∠A的度数．

 

 

八年级数学上学期期末复习案(2):(1.4--1.5)(答案)

1、讲解例1（2025春•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE．

求证：BD＝CE．

证明：作AF⊥BC，垂足为F，

因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BF＝CF

因为AD＝AE，AF⊥BC，所以DF＝EF

所以BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE

2、讲解例2（2025秋•武汉）已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE交于点F．

求证：AF平分∠BAC．

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDF＝∠BEF＝90°，

∵∠DFC＝∠EFB，CD＝BE，∴△DFC≌△EFB（AAS），∴DF＝EF，

∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC．

 

3、尝试练习

(1)（2025秋•江阴市期中）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到AB、AC两条道路的距离相等，而且要使PM＝PN，请你用尺规作图的方法找出P点（不写画法，但保留作图痕迹）

 

 

 

(2)（2025秋•大丰区校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．

（1）求证：AC是∠BAD的平分线．

（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．

证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示：

∵△ADC的面积为14，AD＝7，∴AD•CF＝14，∴CF4，

∵CE＝4，∴CF＝CE＝4，

又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部，

∴点C在∠BAD的平分线上，

∴AC是∠BAD的平分线；

（2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：

∵AB＝13，∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，

∵AB﹣AD＝2BE，∴2BE＝6，∴BE＝3，∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，∴EH＝BH＝3，