精品解析：山东省济宁市任城区2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试题 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，须用黑色签字笔将答案写在答题卡指定的区域内相应位置上；写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程确定斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】由直线知，该直线斜率为1， 结合倾斜角与斜率关系及其范围知，该直线倾斜角为. 故选：A 2. 空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称性求出，再根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】点关于坐标平面对称的点为， 所以. 故选：D 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】求得两圆的圆心距与半径和和半径差作比较可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由圆，可得圆心，半径为， 由，所以圆与圆的外切. 故选：C. 4. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 10 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标关系求解即可． 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：B. 5. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为随机事件和相互独立，且， 所以. 故选：D. 6. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 7. “点在圆外部”是“，或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【详解】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为3 C. 若直线与平行，则与之间的距离为 D. 过点，且在轴截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程确定所过定点和截距判断A、B，应用直线平行的判定列方程求参数，再应用平行线的距离公式求距离判断C，截距为0满足题设，写出此时对应直线方程判断D. 【详解】A：由，其过定点，对， B：对于，令，则，故在轴上的截距为，错， C：由平行，则，可得，故，所以之间的距离为，对， D：若在轴截距为0，且过，此时对应方程为，错. 故选：AC 10. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，等它停止后，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件，则下列说法正确的是（ ） A. 相互独立 B. 相互独立 C. 相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知及古典概型的概率求法求对应事件的概率，结合独立事件的判定判断各项的正误. 【详解】由题设，且，，，， 所以， 所以， 综上，不相互独立，、分别相互独立，A错，B、C、D对， 故选：BCD 11. 棱长为2的正方体分别是的中点，为棱上的动点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值的最大值为 D. 平面与正方体侧面的交线扫过的区域面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，所以为的中点，可得四边形是平行四边形判断A；建立空间直角坐标系，用向量法求得直线与所成角的余弦值判断B；用向量法求得平面与平面夹角的余弦值的最大值判断C；求得平面与正方体侧面的交线扫过的区域面积判断D. 【详解】对于A，当时，所以为的中点， 又是的中点，且，， 则且，所以四边形是平行四边形， 所以，故A正确； 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，则， 则， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 设平面的一个法向量为， 又是平面的一个法向量， 所以 又，所以当时，的最小值为， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为，故C正确； 对于D，设直线与直线交于点，过作交于点， 因为，，所以， 所以平面与平面的交线， 当在时，在；当在时，在； 设，由相似三角形可知，点是线段的靠近点的三等分点， 所以交线NH扫过的图形就是直角， 而， 所以平面MEF与正方体侧面的交线扫过的区域面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】由直线的方向向量为，则其斜率. 故答案为： 13. 已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知画出示意图，且、，取得最大值化为取最小，进而求出的最大值，即可求三角形面积. 【详解】由，则，故，半径， 如上图示，，且，则， 要使最大，即最大，故只需最小， 而，故只需最小， 由图知，要使最小，即轴，此时，则， 所以，在中，最大，即 ，故最大， 所以取得最大值时，是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 14. 已知线段，在平面内，，，且，，，与的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知证明、平面，将几何体补全为长方体，应用长方体的结构特征求异面直线的距离即可. 【详解】由题设，可得如下示意图，，则，， 又，且且平面，则平面， 所以三棱锥可以补全为如下长方体，如下图示， 由，平面，平面，则平面， 对于异面直线， 平面， 所以与的距离，即到平面的距离，即到平面的距离， 过作，又平面，平面，则， 由，平面，故平面， 所以到平面的距离， 由等面积法有，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点是的外接圆上的一个动点，且． （1）求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； （2）若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. 【小问2详解】 设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为. 16. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 17. 某工厂生产长度为的金属棒，抽样检查40根，测得每根长度（单位：）如下： 其中长度在区间内的金属棒为一等品，其余长度的金属棒为二等品． （1）从上述40根金属棒中，随机抽取1根，求这根金属棒为一等品的概率； （2）从二等品的金属棒中，随机抽取2根． （i）列出所有可能的抽取结果（可简要编号，如长度均为6.04的金属棒可编为、、……）； （ii）求这2根金属棒长度不相等的概率． 【答案】（1）0.8 （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的计算公式即可求解概率； （2）根据列举法即可逐一列出所有基本事件，由古典概型概率公式即可求解. 【小问1详解】 记“从上述40根金属棒中，随机抽取1根为一等品”为事件， 统计长度在区间内的金属棒共计32根，. 根据古典概型概率公式得， 故从上述40根金属棒中，随机抽取1根为一等品概率为0.8 【小问2详解】 （i）二等品中，长度为5.96的2根，分别记为；长度为5.97的2根，分别记为；长度为6.04的4根，分别记为， 从8根二等品的金属棒中，随机抽取2根的所有结果如下： 共28种. （ii）由（i）长度不相等的情况有 共20种. 记“从二等品的金属棒中，随机抽取2根金属棒长度不相等”为事件， 根据古典概型概率公式可得. 故从二等品的金属棒中，随机抽取2根金属棒长度不相等的概率为. 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为，为中点，． （1）当时， （i）求的长； （ii）求点到平面的距离； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）（i）3；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，（i）由，应用向量数量积的运算律求模长即可；（ii）连接，相交于点，连接，进而构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求点面距离； （2）应用向量数量积的运算律及向量垂直的关系得、，再由线面垂直的判定证明平面，进而得到平面的法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 设，且，， 所以，，， （i）当时，. （ii）连接，相交于点，连接， 因为，底面是正方形，所以四棱锥为正四棱锥， 分别以为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 设是平面的一个法向量，则，令得， 所以，即点到平面的距离为； 【小问2详解】 因为，所以； 又，所以， 由，且平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量，又， 所以， ， ， 所以，故与平面所成角的正弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，过点作直线交圆于不同的两点． （1）若直线的斜率为1，求弦的长； （2）求面积的最大值； （3）若点是以为一棱的正方体表面上的动点，且满足，求动点的轨迹长度． 附 ：空间直角坐标系中，以为球心，半径为的球面方程为 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用点线距离公式及弦长的几何求法求弦的长； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，应用点线距离、弦长公式及三角形面积公式得到面积关于的表达式，进而得到最大面积； （3）在空间直角坐标系中，以为棱的正方体，棱在轴上，设并标注出相关点坐标，应用空间直观想象确定动点轨迹，结合已知求出轨迹长度. 【小问1详解】 由题设，当直线的斜率为1时，， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以； 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，，则， 面积为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 由直线与圆交于不同的两点，所以，即，此不等式恒成立， ， 原点到直线的距离， 面积为， 令，则， 所以， 令，所以， 当时，， 综上所述，当直线的斜率不存在时，面积的最大值为； 【小问3详解】 在空间直角坐标系中，以为棱的正方体，棱在轴上， 所以，设， 由，得，化简得， 即点到的距离为2，设， 所以动点在球心为，半径的球面上， 所以动点的轨迹是球的表面与正方体表面的交线. 如图所示，点位于轴上，以为球心，2为半径作球， 球面与正方体的棱分别交于点， 所以球的表面与正方体表面的交线分别是劣弧， 在直角中，，所以， 的长度为，同理可得，的长度为， 因为，所以的长度为， 所以动点的轨迹长度是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试题 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，须用黑色签字笔将答案写在答题卡指定的区域内相应位置上；写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 4. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 10 B. 4 C. D. 5. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. “点在圆外部”是“，或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为3 C. 若直线与平行，则与之间的距离为 D. 过点，且在轴截距相等的直线方程为 10. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，等它停止后，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件，则下列说法正确的是（ ） A. 相互独立 B. 相互独立 C. 相互独立 D. 11. 棱长为2的正方体分别是的中点，为棱上的动点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值的最大值为 D. 平面与正方体侧面的交线扫过的区域面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 13. 已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为___________． 14. 已知线段，在平面内，，，且，，，与的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点是的外接圆上的一个动点，且． （1）求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； （2）若，为的中点，求动点的轨迹方程． 16. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17. 某工厂生产长度为的金属棒，抽样检查40根，测得每根长度（单位：）如下： 其中长度在区间内的金属棒为一等品，其余长度的金属棒为二等品． （1）从上述40根金属棒中，随机抽取1根，求这根金属棒为一等品的概率； （2）从二等品的金属棒中，随机抽取2根． （i）列出所有可能的抽取结果（可简要编号，如长度均为6.04的金属棒可编为、、……）； （ii）求这2根金属棒长度不相等的概率． 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为，为中点，． （1）当时， （i）求的长； （ii）求点到平面的距离； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，过点作直线交圆于不同的两点． （1）若直线的斜率为1，求弦的长； （2）求面积的最大值； （3）若点是以为一棱的正方体表面上的动点，且满足，求动点的轨迹长度． 附 ：空间直角坐标系中，以为球心，半径为的球面方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $