专题04 分式全章6大常考题型汇总（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 分式 题型1 分式的意义（常考点） 题型4 分式的加减（重点） 题型2 分式的基本性质（易错点） 题型5 可以化成一元一次方程的分式方程（难点） 题型3 分式的乘除（重点） 题型6 整数指数幂及其运算（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的意义（共10小题） 1．（23-24七年级上·上海普陀·期末）下列判断中错误的是（    ） A．与是同类项 B．是三次三项式 C．单项式的系数是 D．是分式 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）在，，0，1中选一个x值求的值，合适的是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）对于分式，当 时，该分式有意义． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）当 时，分式无意义． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 7．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 9．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 题型二 分式的基本性质（共8小题） 11．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果（都不为零，且），那么可以是（    ） A．； B．； C．； D．． 12．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列分式化简正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 16．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 17．（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 18．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 题型三 分式的乘除（共5小题） 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 21．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 22．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 23．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： 题型四 分式的加减（共16小题） 24．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）甲、乙两水管向水池中注水，单独开甲管要小时注满水池，单独开乙管要小时注满水池，若两管同时打开要（　　）小时注满水池． A． B． C． D． 25．（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 26．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 27．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 28．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 29．（23-24七年级上·上海闵行·期末）已知，那么的值是 ． 30．（24-25七年级上·上海宝山·期末）一份数学小报由小海单独做，需天完成；由小海、小天两人合作，则3天完成，那么小天单独完成这份数学小报需要的天数是 ．（结果用含的代数式表示） 31．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 32．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 33．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 35．（24-25七年级上·上海青浦·期末）先化简，在求值：，其中． 36．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 37．（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 38．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 39．（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 题型五 可以化成一元一次方程的分式方程（共16小题） 40．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 43．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 44．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 45．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 46．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 47．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 48．（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程：． 49．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 50．（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 51．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 52．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 53．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店经销一种图书，11月份的销售额为2000元，为扩大销售量，12月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加20本，销售额增加700元． (1)求书店11月份该图书的售价； (2)若11月份书店销售该图书获利元，那么该图书每本成本______元（用含的代数式表示）． 54．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 55．（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 题型六 整数指数幂及其运算（共11小题） 56．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）下列代数式中，代数式的值可以等于零的是（    ） A． B． C． D． 57．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知，下列关于a的叙述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 58．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）若，则 59．（23-24七年级上·上海闵行·期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈现皇冠的形状，它的大小为毫米，毫米用科学记数法记作 毫米． 60．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 61．（22-23七年级上·上海·期末）计算：． 62．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 63．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 64．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算：． 65．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 66．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算：． $专题04 分式 题型1 分式的意义（常考点） 题型4 分式的加减（重点） 题型2 分式的基本性质（易错点） 题型5 可以化成一元一次方程的分式方程（难点） 题型3 分式的乘除（重点） 题型6 整数指数幂及其运算（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的意义（共10小题） 1．（23-24七年级上·上海普陀·期末）下列判断中错误的是（    ） A．与是同类项 B．是三次三项式 C．单项式的系数是 D．是分式 【答案】D 【知识点】同类项的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数、分式的判断 【分析】本题主要考查了整式以及分式的有关概念．根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念，分式的定义，分析判断． 【详解】A. 与是同类项，故该选项正确，不符合题意；     B. 是三次三项式，故该选项正确，不符合题意； C. 单项式的系数是，故该选项正确，不符合题意；     D. 是整式，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）在，，0，1中选一个x值求的值，合适的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握“分式有意义的条件是．”是解题的关键． 【详解】解：要使得原式有意义，则需要满足 且， 解得：且， 在，，0，1中， 的值合适的是0， 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）对于分式，当 时，该分式有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0．根据分式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得， 所以时分式有意义． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，先根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则称为分式，根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式． 【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）若，则分式 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据条件式得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴所有满足的整数x的值的和为， 故答案为：． 题型二 分式的基本性质（共8小题） 11．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果（都不为零，且），那么可以是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键， 根据分式的基本性质，进行判断作答即可． 【详解】解：由分式的基本性质可得，， ∴可以是，C符合要求； 故选：C． 12．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式的定义，利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、分子、分母不含有公因式，所以是最简分式，符合题意； B、分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； C、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； D、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 13．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 14．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列分式化简正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】此题主要考查了分式的混合运算．首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、不能约分，故本选项不符合题意； 故选：B． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分， 先确定公因式，再约分即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答即可． 【详解】解∶ 分式和的最简公分母是， 故答案为∶ ． 17．（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】/ 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 题型三 分式的乘除（共5小题） 19．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式除法 【分析】本题主要考查了分式的除法，运用平方差公式和完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： 故选：C． 20．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键． 21．（23-24七年级上·上海金山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式的乘法法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘法法则． 22．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键． 根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 23．（21-22七年级上·上海金山·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则． 题型四 分式的加减（共16小题） 24．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）甲、乙两水管向水池中注水，单独开甲管要小时注满水池，单独开乙管要小时注满水池，若两管同时打开要（　　）小时注满水池． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】注满空池的时间工作总量甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲、乙的工作效率，然后求共同工作的时间． 【详解】解：设工作量为1，乙的工作效率分别为、， 根据题意得小时． 故选：D． 【点睛】此题考查列代数式，读懂题意，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 25．（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算即可． 【详解】解∶ 故答案为： 26．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．本题先化为同分母分式，再进行同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 27．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算．先用分数线表示除号，再约分，然后进行同分母的减法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握如何利用求分式倒数的方法求出分式的值，先根据已知条件，求出的值，从而求出，再求出，最后求出的值，从而求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵ ， ∴， 故答案为：． 29．（23-24七年级上·上海闵行·期末）已知，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握等式性质及完全平方公式是解题的关键． 先根据题意得出，，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 30．（24-25七年级上·上海宝山·期末）一份数学小报由小海单独做，需天完成；由小海、小天两人合作，则3天完成，那么小天单独完成这份数学小报需要的天数是 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】列代数式、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查列分式以及分式的混合运算，设总工作量为单位“”，由工作效率工作总量工作时间可求得两人的合作效率，然后求得小天的工作效率，从而求解． 【详解】解：小天单独完成这份数学小报需要的天数是天， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 32．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】2 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再约分即可． 【详解】解： ． 33．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 【答案】1 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法、加减消元法 【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 34．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后进行同分后进行同分母的加法运算． 【详解】解：原式• • • ． 35．（24-25七年级上·上海青浦·期末）先化简，在求值：，其中． 【答案】，9 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再将代入即可得出答案． 【详解】解∶ ， 当时，原式． 36．（23-24七年级上·上海宝山·期末）在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【答案】(1)，，；且 (2) 【知识点】数字类规律探索、分式加减混合运算 【分析】本题属于数字类规律探索题，考查分式的加减运算，找出这组数据的变化规律是解题的关键． （1）根据逐项计算即可，根据分母不能为0得出的取值范围； （2）根据（1）中结论得出这组数据的变化规律，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 37．（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 【答案】；4 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定出符合题意的x的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 由题意得，， 代入，原式． 38．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】(1)不是 (2) 【知识点】分式乘法、异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 39．（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【知识点】分式加减混合运算、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 题型五 可以化成一元一次方程的分式方程（共16小题） 40．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 41．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 42．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，去分母，化分式方程为整式方程，由分式方程产生增根， 可知，然后把代入整式方程即可求得a的值． 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 43．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果是关于的方程的增根，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 把代入得：， 故答案为：． 44．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 【答案】25 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 45．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 46．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可． 【详解】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 由题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 47．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程． 先将分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可． 【详解】解： 解得， 当时，， ∴原方程无解． 49．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 50．（23-24七年级上·上海普陀·期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 51．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程的应用，设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元，根据打折后90元买到比打折前108元还多1瓶的牛奶列方程求解，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 52．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 53．（22-23七年级上·上海青浦·期末）某书店经销一种图书，11月份的销售额为2000元，为扩大销售量，12月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加20本，销售额增加700元． (1)求书店11月份该图书的售价； (2)若11月份书店销售该图书获利元，那么该图书每本成本______元（用含的代数式表示）． 【答案】(1)50 (2) 【知识点】列代数式、分式方程的经济问题 【分析】（1）设书店月份该图书的售价为x元，根据销售量增加本建立方程求解即可； （2）依据由月份书店销售该图书获利元，利用售价减去每本获得的利润即可求解． 【详解】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得： ， 解得， 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知，月销量为（本）， 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的成本为：元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式． 54．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【答案】(1)400套 (2)13000元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具套，根据购进第二批这种玩具的进价比第一批每套进价多了10元，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出玩具的进价和售价，再列式计算即可． 【详解】（1）解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； （2）解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 55．（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【知识点】分式加减混合运算、分式方程无解问题 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 题型六 整数指数幂及其运算（共11小题） 56．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）下列代数式中，代数式的值可以等于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值非负性 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、时，，当时，无意义，不符合题意； B、，则的结果不能为0，不符合题意； C、∵，∴，即的结果不能为0不符合题意； D、当时，，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 57．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知，下列关于a的叙述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：已知， 则， 故选：B． 58．（22-23七年级上·上海徐汇·期末）若，则 【答案】 【知识点】零指数幂、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据零指数幂的意义可得，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查了零指数幂运算的应用，解方程，熟练掌握以上相关知识点是解题的关键． 59．（23-24七年级上·上海闵行·期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈现皇冠的形状，它的大小为毫米，毫米用科学记数法记作 毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故答案为： 60．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方； 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 61．（22-23七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式除法 【分析】先把负整数指数幂化为分式的形式，再去括号进行除法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 62．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、负整数指数幂、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式及分式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 63．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查含乘方的有理数运算、负整数指数幂、零指数幂，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 64．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、最简分式、负整数指数幂 【分析】分式的分子、分母同乘以，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简，负整数指数幂，同底数幂的乘法，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 65．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、分式乘除混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 66．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． $