专题02 角平分线与勾股定理（八大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题02 角平分线与勾股定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、角平分线的性质定理（重点） 1 题型二、角平分线的判定定理（重点） 3 题型三、角平分线的性质与判定综合应用（重点） 4 题型四、作角平分线（重点） 5 题型五、判断三边能否构成直角三角形（重点） 7 题型六、用勾股定理解三角形（难点） 8 题型七、勾股定理与网格问题（难点） 12 题型八、勾股定理与折叠问题（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、角平分线的性质定理 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 5．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ． 6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 7．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 题型二、角平分线的判定定理 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（        ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题 11．（22-23八年级上·上海·期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 题型三、角平分线的性质与判定综合应用 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度． 14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 15．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 题型四、作角平分线 16．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 17．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 18．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 19．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 20.作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 题型五、判断三边能否构成直角三角形 21．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 22．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知的三个顶点，，，则为 三角形． 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 25．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，直线，垂足为点D． (1)如果点E在直线l上，且点E到两边的距离相等（点E在的内部），试用直尺和圆规作出满足上述条件的点E（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点E）； (2)在第（1）题的条件下，连结和，若，请判断的形状，并说明理由． 题型六、用勾股定理解三角形 26．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，在中，，，，点在边上，且，则的长为 ． 27．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ． 28．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 29．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，中，，，，平分交于D．求的长． 30．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 31．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，点、在边上，满足，那么线段、、是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 32．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：． (2)若厘米，厘米，求的长． 33．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． (1)求证：平分； (2)如果是中点，，求长度． 34．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 题型七、勾股定理与网格问题 35．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 36．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 37．（23-24七年级下·上海普陀·期中）我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 题型八、勾股定理与折叠问题 38．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 39.如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是 ． 40.在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝ ． 41．如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么 ． 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列三角形中，非直角三角形的是（   ） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为 D．三边之比为 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点、，连接，则的长度为 ． 4．（24-25八年级上·上海·期末）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 5．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，，点E在边上，联结．将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是 ． 6.已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的面积 ． 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 10．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 11.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知为的一边上一点，． (1)如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点）； (2)在第（1）题的条件下，连接，如果，求点到直线的距离． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 15．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  17．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 18．（24-25八年级上·上海·期末）把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 19．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角平分线与勾股定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、角平分线的性质定理（重点） 1 题型二、角平分线的判定定理（重点） 9 题型三、角平分线的性质与判定综合应用（重点） 11 题型四、作角平分线（重点） 13 题型五、判断三边能否构成直角三角形（重点） 16 题型六、用勾股定理解三角形（难点） 19 题型七、勾股定理与网格问题（难点） 28 题型八、勾股定理与折叠问题（难点） 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、角平分线的性质定理 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作于P，于M，根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质可得，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作于P，于M，如下图， ∵的面积为30，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴四个选项中只有4不可能． 故选：A． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先利用角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】是中的角平分线，于点，于点，， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【分析】如图1过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，故①正确；根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故②错误；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故④正确． 【详解】解：如图1过作于， 平分，， ， ，故①正确； ， ， 、分别平分、，且、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ，故②错误； 在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 故④正确， 故选：A． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，先由角平分线的定义和性质得到，，再由三角形周长计算公式得到；接着证明得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的角平分线交于点，，， ∴，， ∵与的周长分别为13和3， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 5．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明 得到，然后计算即可； 本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分；也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 7．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 9．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两部分知识、构造全等三角形是解题的关键； （1）过点A作交延长线于点F，由角平分线的性质定理得，再证明即可得； （2）证明，得，则． 【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点F， ∵平分，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二、角平分线的判定定理 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（        ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题 【答案】C 【分析】根据逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：不是每个定理都有逆定理，A错误，故不符合要求； 真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，B错误，故不符合要求； 任何命题都有逆命题，C正确，故符合要求； “在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理等知识．熟练掌握各知识是解题的关键． 11．（22-23八年级上·上海·期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判断定理逐项判断即可． 【详解】解：①角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该项错误； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，故该说法正确； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故该项错误； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等，故该项正确． 故选：B． 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，， 再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）过点分别作于点，于点Q，先根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌ （2）证明：过点分别作与点，于点，   ≌， ， 而， ， 为的角平分线． 题型三、角平分线的性质与判定综合应用 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度． 【答案】 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得． 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 15．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 【答案】26°/26度 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 题型四、作角平分线 16．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 又 ∴， ∴，，故A正确； ∵， ∴垂直平分，则，， 故B，C选项正确， 没有条件能得出， 故选：D． 17．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 18．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 19．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，根据点P满足，得到点 P在线段的垂直平分线上， 又P到两边的距离相等 ，得到点P在的角平分线上，作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 20.作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 【答案】图见解析． 【分析】根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可． 【详解】如图，先作的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与角平分线的交点即为点P． 题型五、判断三边能否构成直角三角形 21．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 22．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，分别为，和的对边，在下列条件中，无法判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据三角形的内角和，勾股定理逆定理即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及三角形的内角和定理的应用． 【详解】、设三角形的三角分别为，，，，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由得，， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 、由，设，，，则， ∴是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：． 23．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知的三个顶点，，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，再根据勾股定理的逆定理进行分析即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，连接，令中点为点E，连接，先根据勾股定理可得，再得出，通过证明为等边三角形，得出，根据勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：连接，令中点为点E，连接， ∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∵中点为点E，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，则， ∴． 25．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，直线，垂足为点D． (1)如果点E在直线l上，且点E到两边的距离相等（点E在的内部），试用直尺和圆规作出满足上述条件的点E（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点E）； (2)在第（1）题的条件下，连结和，若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理． （1）作的平分线交直线l于E点，根据角平分线的性质可判断E点满足条件； （2）利用三角形面积公式可得到，即，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】（1）解：如图，点E为所作； （2）解：为直角三角形． 理由如下： ∵，点E到两边的距离相等， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 题型六、用勾股定理解三角形 26．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，在中，，，，点在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，依题意得，根据得，则是等腰直角三角形，由此得，然后根据即可得出答案．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， 点在边上，且， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理用表示出，据此根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得垂直平分，则，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再用分别表示出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，中，，，，平分交于D．求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各性质是解题的关键． 过D作于点E，根据勾股定理求得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再设，则，在中，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】解：过D作于点E． ∵中，，，， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：． 故的长是5． 30．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 31．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，点、在边上，满足，那么线段、、是否有可能使等式成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】等式成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理和三角形内角和定理，过点A作使得，连接，先求出，再证明，得到，进一步证明，得到，在中，由勾股定理得，则． 【详解】解：等式成立，证明如下： 如图所示，过点A作使得，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 32．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：． (2)若厘米，厘米，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，从而得出，，由角平分线的定义可得，即可得证； （2）结合对顶角相等可得，由等角对等边可得厘米，由角平分线的性质定理可得厘米，再由勾股定理可得厘米，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴厘米， ∵平分，，， ∴厘米， ∵， ∴， ∴， ∴厘米， ∴厘米． 33．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． (1)求证：平分； (2)如果是中点，，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由全等得到，利用勾股定理求出解得，则，设，则，则，得到，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵恰好垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴ 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得 即长度为1． 34．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）需要先证明，得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得， ∴， 设，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 题型七、勾股定理与网格问题 35．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，取格点，，，，分别连接，，，，，，，，由可得，，，，即可得出答案，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，，，，分别连接，，，，，，，， 由图可知，， ， ， ， ， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理：，，， ∴共有个与全等， 故选：B． 36．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键． 根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可． 【详解】解：若，如图1所示； 则； 若，如图2所示， 则． 故答案为：或1． 37．（23-24七年级下·上海普陀·期中）我们知道，许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示．请回答下列问题： (1)如图1，每一个小方格的边长为1，顺次连接方格四条边的中点，那么就能得到正方形，它的边长为______．观察正方形，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． (2)如图2，在数轴上找出表示数0的点O，以点O为顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴于A、B两点，那么点A表示的数为______，点B表示的数为______． (3)如图3，请借鉴（2）中的方法，先在的方格中画出面积为5的正方形（正方形的顶点均在格点上），并在数轴上画出表示的点P．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)； (3)所画正方形见解析；点P见解析 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； （1）由勾股定理即可求解； （2）由勾股定理得，由画图知，则由即可得A、B两点表示的数； （3）由，即可画出面积为5的正方形；在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点，那么点P表示的数即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， 由画图知， ∴， ∴A点表示的数为；B点表示的数为； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴所画正方形的边长为，其面积为5； 如图，在数轴上找出表示数0的点O，数表示的点为M，以点O为直角顶点，为一边，在数轴上方画直角三角形，使另一直角边．以点M为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于P点， ∵， ∴， ∴ RN5点P表示的数为． 题型八、勾股定理与折叠问题 38．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，过点D作与点H，根据等边对等角得出，进而得出，分别根据勾股定理得出长度，设，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】过点A作于点G，过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵将沿某直线翻折使得点与点重合， ∴垂直平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 39.如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是 ． 【答案】 【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案. 【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3， 由折叠可得： 故答案为： 40.在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝ ． 【答案】6或6+9 【分析】分两种情况：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，先求出三角形AEG的AE边上的高GQ和三角形ADE的AD边上的高，根据S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分别求出答案． 【详解】解：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q， ∵AB＝12，点E是AB的中点， ∴AE＝AB＝6， ∵EH⊥AC， ∴∠AHE＝90°， ∵∠A＝30°，AE＝6， ∴AH＝＝＝3， ∵DE＝3， ∴DH＝＝＝3， ∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3， ∴∠EDH＝45°， ∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°， 由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°， ∴∠AEG＝2∠AED＝30°， ∴∠AEG＝∠A， ∴AG＝GE， ∵GQ⊥AE， ∴AQ＝AE＝3， ∵∠A＝30°， ∴GQ＝AG， ∴GQ2+32＝（2GQ）2， ∴GQ＝． ∵S△AED＝S△FED， ∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG， ∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9． ②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q， ∵AB＝12，点E是AB的中点， ∴AE＝AB＝6， ∵EH⊥AC， ∴∠AHE＝90°， 同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3， ∴∠DEH＝45°， ∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°， 由折叠的性质可得出∠DEF＝∠AED＝105°， ∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°， ∴∠AEG＝∠A， ∴AG＝GE， 同①求出GQ＝， ∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG， ∴S△DGF＝2×﹣＝6+9． 故答案为：6或6+9． 41．如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么 ． 【答案】/1.8/ 【分析】先证明，，结合得到，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，∵是由翻折， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴， 解得：． 在中，． 故答案为：． 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】1或 【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴的面积是：； 当时， 如图，过A作于H，设， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的面积是：．． 故答案为：1或． 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列三角形中，非直角三角形的是（   ） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为 D．三边之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，等边对等角，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可即可判断A、D；根据三角形内角和定理即可判断C；如图，中，是中线且，则，根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得，即，即可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为11，，，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、如图，中，是中线且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、由题意得，最大的内角度数为，则三个内角之比为的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、设三边长分别为 ∵， ∴三边之比为，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点、，连接，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·上海·期末）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 5．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，，点E在边上，联结．将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．由题意作图，过点P作于点M，延长，交于点N，根据长方形的性质和折叠性质推导出，进而根据含30度直角三角形的性质和勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点P作于点M，延长，交于点N，则， 在长方形中，，，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6.已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的面积 ． 【答案】或 【分析】折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质、折叠前后图形的形状和大小不变． 【详解】解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合， DE =BE， D为AC的中点 设CE=x 在中， 解得 如图，当锐角A翻折时，点A与点D重合， DE=AE， D为BC的中点 设CE=x 在中， 解得 故答案为：或． 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 【答案】12或 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形， 则， 又是等腰直角三角形， 属于， 所以； ②当时，如图， 设，则，， 由折叠可知，， 由题意可知，， ， ， 即是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：12或． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 10．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，尺规作的平分线，与直线交于点； （2）过点作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出，结合，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）为直角三角形， 理由如下：过点作于． 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形． 11.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P； （2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求； （2）解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F ∵CP平分∠ACB， ∴PE=PF， ∴ ∵=15 ∴ ∴=25． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，已知为的一边上一点，． (1)如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点）； (2)在第（1）题的条件下，连接，如果，求点到直线的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)4.8 【分析】本题考查尺规作图—作线段，等边对等角，勾股定理： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交分别于点； （2）等边对等角求出，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点到直线的距离为． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据勾股逆定理即可求证； （）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴线段能组成直角三角形； （2）解：． 理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， 【分析】（1）根据中垂线性质可知，作的垂直平分线，与交于点，则满足，在中，用勾股定理计算出，再用表示出，则，在中，利用勾股定理建立方程求； （2）过作于点，作出的角平分线，由角平分线性质可得，由题意，则，在中，利用勾股定理建立方程求. 【详解】（1）作的垂直平分线，与交于点，与交于点， 是的垂直平分线， ， ， ， 由题意，， ， ． （2）作的平分线，过作于点，如图所示， 平分，，， 在和中， ， ， 由题意，则， 在Rt△ABD中，， ， ． 15．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②． 【分析】（1）根据，，得，从而； （2）①由角平分线的性质知，由（1）知，则，再利用证明，得，即可证明； ②由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵平分，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 17．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 【答案】(1)三线合一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解； （2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证； （3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（三线合一）， 故答案为：三线合一； （2）过点作，垂足分别为，连接 ∵平分，是的平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3） ∵是的平分线， ∴， 设， ∵， ∵， ∴， ∴ ， 如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴是的角平分线， 又， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即． 18．（24-25八年级上·上海·期末）把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为 【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据求解即可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的长，由此即可得； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，从而可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 由题意得：， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点是线段的中点，， ∴， 当点在线段的垂直平分线上时，则， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， 所以的值为． （3）解：当点运动到边上，停止运动时，， ∴， 如图，是以为底的等腰三角形，过点作于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题意， 所以在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为． 19．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $