24.1 圆的有关性质 同步测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 一、单选题 1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是(　  ) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 3．如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．圆有无数条对称轴 C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径 D．度数相等的弧是等弧 5．已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是(　　) A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′ C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定 6．如图，的半径为，圆心到弦的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的是（     ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的弧相等 8．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的直径，点C为上一点，若，则为 度．    10．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 11．如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= ． 12．已知：如图，在中，弦、相交于点，，，，则 ． 13．如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ． 三、解答题 14．如图，点，，，，，分别在上，，，连接，．与全等吗？为什么？ 15．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 16．如图，的半径为1，A、B、C是上的三个点，点P在劣弧AB上，，PC平分． (1)求证：； (2)当点P位于什么位置时，的面积最大？求出最大面积． 17．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． 18．如图，已知内接于，是直径，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当点在左侧半圆上运动时，探究： ①当 度时，四边形是菱形； ②当与相切时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据平行四边形和圆内接四边形的性质分析判断． 【详解】解：如图，的四个顶点在上，    四边形是平行四边形， ，， 是的内接四边形， ，， ， 四边形是矩形，不一定是正方形， 故选C． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 2．B 【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数． 【详解】∵∠A与∠BOC都对 ， ∴∠BOC＝2∠A＝2×64°＝128°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝（180°﹣128°）＝26°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．D 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，   半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 4．B 【分析】利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意； B、圆有无数条对称轴，故正确，符合题意； C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意； D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，掌握圆的性质是解题的关键. 5．D 【详解】解:由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系. 点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等的弦所对的圆心角才相等”，从而选择A，而忽略了这一命题成立的前提是“在同圆和等圆中”. 6．D 【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB=2CA，代入求出即可. 【详解】过点O作OC⊥AB于C，连接OA， 则OC=6，OA=10，由勾股定理得： ， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴AB=2AC=16， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键. 7．C 【分析】首先要明确是否同圆或者等圆，其次还要明确优弧还是劣弧. 【详解】A、B选项中的结论必须要有“同圆或等圆”的前提，故均错误；D选项除了要明确“同圆或等圆”外，还要明确是优弧还是劣弧，故也错误； 故选择C. 【点睛】对于定理，一定不能忽略它的前提和一些限制条件. 8．A 【分析】如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB，利用垂径定理可得BF＝BC＝1，OE＝1，设AE＝x，则OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，计算求出满足要求的，根据OA＝AE+OE，求出的值即可． 【详解】解：如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB， 在等腰梯形ABCD中， ∵OF⊥CB， ∴BF＝BC＝1， ∴OE＝1， 设AE＝x， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OB＝OA＝x+1， 由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12， 整理得2x2+2x﹣1＝0， 解得或（不合题意，舍去） ∴OA＝AE+OE＝+1＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰梯形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于利用垂径定理构造直角三角形． 9．67 【分析】根据直径所对的圆周角是直角计算即可． 【详解】解：∵是的直径 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；解题的关键是见直径想直角． 10．/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．25° 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴， ∴∠ADC=∠AOB= ×50°=25° 12．7 【分析】连结AC、DB，证△ACP∽△DBP，根据相似三角形对应成比例得到PD的长，进而得到CD的长. 【详解】如图，连结AC、DB， 根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACP＝∠DBP， 又因为∠APC＝∠DPB， 因此△ACP∽△DBP， 故PA：PC＝PD：PB， 因此PD＝4， 故CD＝PC＋PD ＝7. 【点睛】本题主要考查同弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握并活用这些知识点是解答此题的关键. 13． 【分析】过点作，交于点，根据圆内接四边形的对角互补，得到，推出是等边三角形，证明，得到，推出，进而求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点， ∵在圆内接四边形在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握圆内接四边形的内对角互补，证明三角形全等，是解题的关键． 14．与全等，见解析 【分析】由AC＝BD，CE＝DF，根据弦与弧的关系，可得，，则可证得，继而可得AE＝BF，然后利用SSS证得△ACE与△BDF全等． 【详解】理由：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴． 【点睛】此题考查了弦与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 15．（1）见解析；（2）3 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【详解】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6， 则 　① BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， 则 　② ②－①得： 把代入①得：（舍） ∴BC＝2a＝3． 【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大， 【分析】（1）在PC上截取，连接AD，先根据角平分线的定得到，则由圆周角定理得到，，即可证明为等边三角形，△ABC是等边三角形 ，  得到，，，再证明    得到，即可证明； （2）由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO，利用等边三角形的性质求出，则，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，在PC上截取，连接AD PC平分，且， ， ∴，， 为等边三角形，△ABC是等边三角形 ，   ，，，               （2）解：由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO： 由（1）可知，当P为劣弧AB的中点时，        为的直径，设PC与AB交于点E， 又的半径为1， ∴， ∴， ， ∴的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 17．（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． （Ⅰ）先求出弧的度数，再根据圆周角定理可得，由此即可得； （Ⅱ）连接，先求出，从而可得，再根据垂径定理可得，然后设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（Ⅰ）∵为的直径，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 18．（1）证明见解析 （2）①；② 【分析】（1）已知AD=OC，利用平行四边形的判定，只需证明OC∥AD即可， （2）①当∠B=30°时，证得AC=AO=OC，根据（1）结论和菱形的判定定理即可得出结论； ②由切线定理得∠OAD=90°，由OC∥AD证得∠COA=90°,进而求得∠B的度数． 【详解】解：（1）∵内接于，是直径， ∴，， ∵， ∴，． 又，∴． 即， ∴． ∴． 又． ∴ 四边形是平行四边形． （2）① ∠B=，理由： ∵AB是直径， ∴∠ACB=90° ∵∠B=30° ∴AC=AB=OA，又OA=OC， ∴AC=OC， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 故答案为：30°； ② ∵ 当与相切时， ，， ∵， ∴，又OC=OB ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质、切线性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形性质、等腰三角形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握它们的性质及其运用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $