24.1 圆的有关性质 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径· ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆·大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧· ④能够重合的两个圆叫做等圆·在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧_· 当堂练习 1.下列语句不正确的有 (B) ①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心 的距离都相等；④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，图中弦的条数有 (B) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 D (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于 点D,则∠ACD的度数为10°· 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则AC的长为53· 5.如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AB上，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,以点D 为圆心的圆过点B,E.如果∠A=57°，那么∠ABC的度数为22°， ·28· 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. ②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条孤.平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 当堂练习 1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是 (B) A.CE-DE B.AE-OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE D (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在的圆的圆心，AB=40m,点 C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为(A) A.25m B.24m C.30m D.60m 3.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心 为圆心· 4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm, DE=2cm,则EF的长为6cm. 5.如图，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=4. 求OP的长， 解：过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连接OD,OB, 则AE=BE=3AB=3X4=2,DF=CF=CD=3×4=2. 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE=√OB2-BE=√/（√5）2-22=1. 同理可得OF=1. .AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∴.∠EPF=∠PEO=∠OFP=90°， ∴.四边形OEPF为矩形，∴.OE=PF=1. 在Rt△OFP中，由勾股定理，得OP=√OF+PF产=√+1严=√2. ·29· 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①顶点在圆心的角叫做圆心角. ②弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等；在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量也都相等. 当堂练习 1.如图，下列各角是圆心角的是 (B) A.∠ABC B.∠AOB C.∠OAB D.∠OBC B B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上的点D处，折痕交OA于点C,则AD所对的圆心角的度数为 (A) A.40° B.50 C.60° D.70° 3.如图，在⊙0中，AB=AC,∠A=45°，则∠B的度数为67.5°： 4.如图，C,D为半圆的三等分点，AB为直径，则下列说法：①AD=CD=BC:②∠AOD= ∠DOC=∠BOC;③AD=CD=BC;④△AOD沿OD翻折能与△COD重合.其中，正确 的有①②③④.（填序号） 5.如图，在⊙O中，AB是直径，COLAB,点D是CO的中点，DE∥AB. 求证：EC=2BE. 证明：，DE∥AB,CO⊥AB,∴.DE⊥CO. ,D是CO的中点，∴.DE垂直平分CO, ..CE=OE. 又OE=OC,OE=OC=CE, .△COE是等边三角形，.∠COE=60° ,CO⊥AB,∴.∠COB=90°， ∴.∠EOB=90°-∠DOE=90°-60°=30°， ∴.∠COE=2∠EOB, ∴.EC=2BE. ·30· 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半· 3同弧或等弧所对的圆周角相等· ④半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径· 当堂练习 1.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC=24°，则∠AOB的度数是 (C A.24 B.26 C.48° D.66° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°，OC=6,则CD的长 为 (A) A.6√2 B.3√2 C.6 D.12 3.如图，A,B,C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 (B) A.35° B.55° C.60° D.70° 4.如图，BC是半圆O的直径，D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD, OE.如果∠DOE=40°，那么∠A的度数为 (D) A.35 B.40° C.60° D.70° D B (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，△ABC内接于⊙O,点P是AC上的任意一点（点P不与点A,C重合），∠ABC= 55°，则∠POC的取值范围是0°<∠POC<110°· 6.如图，AB是⊙O的直径，AB=8,点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，P是直 径AB上的一动点，则点P到点M,N的距离之和的最小值为4· ·31 第2课时圆内接四边形 知识梳理 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个 圆叫做这个多边形的外接圆·圆内接四边形的对角互补： 当堂练习 1.如图，等边三角形ABC的顶点A在⊙O上，边AB,AC与⊙O分别交于点D,E,点F是 劣弧DE上一点，且与D,E不重合，连接DF,EF,则∠DFE的度数为 (C) A.115° B.118 C.120° D.125° D B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD,BD.若∠C=110°，则∠OBD的度数 是 (B) A.15° B.20° C.25 D.30° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的 延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为 (B) A.45° B.50° C.55° D.60° 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB,交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE, AD=5,CE=√13，则AE的长为 (D) A.3 B.3√2 C.45 D.23 EB (第4题图) (第5题图) 5.如图，在⊙O中，点A,B,C在⊙O上，且∠ACB=100°，则∠α的度数为160° ·32·