专题10 概率与统计（必备知识+5大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题10 概率与统计 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：随机抽样与分层抽样 5 考点二：样本的数字特征与百分位数（常考点） 6 考点三：统计图表与分布直方图（重点） 9 考点四：随机事件的概率（难点） 12 考点五：互斥事件与对立事件的概率 14 实战精练与提升 16 考情解读 1、 考试要求 熟练掌握抽签法、随机数法两种抽样方法；掌握古典概型的概念及特征，能计算古典概型中简单随机事件的概率。掌握统计图表的绘制方法与应用场景，能通过样本数据估计总体取值规律理解概率的基本性质，熟练运用随机事件概率的运算法则。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 统计图表与计算 5年4考 统计图表与计算 预测2026年在选择题中考查统计图表与计算 样本数字特征 5年3考 统计图表与计算 预测2026年在选择题中考查统计图表与计算 随机事件概率 5年4考 随机事件概率 预测2026年在选择随机事件概率 知识梳理 知识点1 简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 知识点2 分层抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 知识点3 用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3.总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 知识点4 样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 知识点5 频率分布直方图中的数据计算 1．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,以各个小长方形的面积表现相应各组的频率,各个小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1. 2．频率分布直方图中的平均数:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 3．频率分布直方图中的百分位数:在频率分布直方图中,我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上.设为第组数据的频率,在计算第百分位数时,由确定第百分位数在第组,设第组所对应的区间为,第百分位数为,则 即直线左侧所有小长方形的面积之和为. 4．频率分布直方图中的方差:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 知识点6 古典概型 1试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 3 概率的性质 （1）：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； （2）：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质2：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. （3）：互斥事件的概率加法公式 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. （3）：对立事件的概率 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； （4）：概率的一般加法公式 性质5：设，是一个随机试验中的两个事件，有 考点精讲 考点一 随机抽样和分层抽样 解题策略 简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法 在分层随机抽样中,如果每层样本量与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 例1某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（    ） A．15 B．20 C．30 D．40 例2某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式训练1】某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为 ． 【变式训练2】某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 考点二 样本的数字特征和百分位数 解题策略 计算一组个数据的第百分位数的步骤 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 例1甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（   ） A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3 C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为3 例2 2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 例3（多选）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续天的日平均温度均超过.现将连续天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．众数为，极差为 D．平均数为，方差为 【变式训练1】一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（   ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 【变式训练2】已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】某同学记录了以下数据，分别为12，10，13，11，6，8，16，14，则该组数据的第80百分位数为（    ） A．10 B．13 C．13.5 D．14 【变式训练4】已知一组数据，则这组数据的分位数是 . 考点三 统计图表与分布直方图 解题策略 计算在频率分布直方图中的平均数和方差 在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 例1（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 例2某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【变式训练1】（多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（     ） A．男、女员工得分在A区间的占比相同 B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C．得分在C区间的员工最多 D．得分在D区间的员工占总人数的19% 【变式训练2】某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（   ）    A．26 B．23 C．21 D．19 考点四 随机事件的概率 解题策略 计算随机事件的概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 例1从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 例2甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 例3盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 【变式训练2】甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 考点五 互斥随机事件与对立事件 解题策略 计算互斥事件和对立事件的概率 1如果事件与事件互斥，那么； 2如果事件与事件互为对立事件，那么 3设，是一个随机试验中的两个事件，有 例1 “黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则（    ） A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件 C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件 例2已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则___________. 【变式训练1】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（    ） A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互为对立 D．A与D互斥 【变式训练2】已知某电脑卖家只卖甲､乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占，甲品牌的电脑中，优质率为；乙品牌的电脑中，优质率为，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为___________. 【变式训练3】产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________. 实战训练 1、已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 2、某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 3、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 4、为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________. 5、已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是 . 6、产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________. 7、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 8、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 9、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 10、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 11、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件B．事件与为互斥事件C．事件与事件相等 D．事件与相互独立 12、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 概率与统计 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：随机抽样与分层抽样 5 考点二：样本的数字特征与百分位数（常考点） 6 考点三：统计图表与分布直方图（重点） 9 考点四：随机事件的概率（难点） 13 考点五：互斥事件与对立事件的概率 15 实战精练与提升 17 考情解读 1、 考试要求 熟练掌握抽签法、随机数法两种抽样方法；掌握古典概型的概念及特征，能计算古典概型中简单随机事件的概率。掌握统计图表的绘制方法与应用场景，能通过样本数据估计总体取值规律理解概率的基本性质，熟练运用随机事件概率的运算法则。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 统计图表与计算 5年4考 统计图表与计算 预测2026年在选择题中考查统计图表与计算 样本数字特征 5年3考 统计图表与计算 预测2026年在选择题中考查统计图表与计算 随机事件概率 5年4考 随机事件概率 预测2026年在选择随机事件概率 知识梳理 知识点1 简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 知识点2 分层抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 知识点3 用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3.总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 知识点4 样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 知识点5 频率分布直方图中的数据计算 1．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,以各个小长方形的面积表现相应各组的频率,各个小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1. 2．频率分布直方图中的平均数:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 3．频率分布直方图中的百分位数:在频率分布直方图中,我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上.设为第组数据的频率,在计算第百分位数时,由确定第百分位数在第组,设第组所对应的区间为,第百分位数为,则 即直线左侧所有小长方形的面积之和为. 4．频率分布直方图中的方差:在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 知识点6 古典概型 1试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 3 概率的性质 （1）：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； （2）：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质2：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. （3）：互斥事件的概率加法公式 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. （3）：对立事件的概率 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； （4）：概率的一般加法公式 性质5：设，是一个随机试验中的两个事件，有 考点精讲 考点一 随机抽样和分层抽样 解题策略 简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法 在分层随机抽样中,如果每层样本量与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 例1某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（    ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【详解】分层抽样的抽取比例为， 所以幼儿园应抽取的学生人数为：人， 故选：A. 例2某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【详解】由抽取男生人数16人，所以抽取比例为，所以抽取人数为， 故选：B. 【变式训练1】某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为 ． 【答案】 【详解】由题意，设该林区总共抽取的树种数量为， 因为针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域的面积占比为， 所以针叶林区域占比为， 又因为从针叶林区域抽取了株样树， 所以，解得， 故该林区总共抽取的树种数量为. 故答案为：. 【变式训练2】某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为， 故选：D. 考点二 样本的数字特征和百分位数 解题策略 计算一组个数据的第百分位数的步骤 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 例1甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（   ） A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3 C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为3 【答案】B 【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11， 则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A； 对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差， 由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B； 对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C； 对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得， 若存在数12，则 ，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D； 故选：B. 例2 2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 【答案】B 【详解】由题设，数据从小到大为，且， 所以数据的上四分位数为. 故选：B 例3（多选）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续天的日平均温度均超过.现将连续天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．众数为，极差为 D．平均数为，方差为 【答案】ABD 【详解】“连续天的日平均温度均超过”，将天数据从小到大排序为：、、、、， A选项，因为这五个数据的平均数为， 则， 又因为这五个数据的极差为，则，可得， 若，则，则，所以A选项正确； B选项，因为这五个数据的中位数是，众数是， 所以将数据从小到大排序后，第个数是，第、个数为， 所以个数据都超过，所以B选项正确. C选项，因为这五个数据的众数是，极差为， 如、、、、，第天低于，不符合，所以C选项错误. D选项，因为这五个数据的平均数为， 则 方差为， 所以，， 若，则，矛盾，所以D选项正确. 故选：ABD. 【变式训练1】一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（   ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 【答案】C 【详解】样本数据从小到大排列为， 则极差为，A选项错误； 中位数是，B选项错误； 平均数是，C选项正确； 众数不是8，D选项错误； 故选：C. 【变式训练2】已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴这组数据按从小到大顺序排列后，第65百分位数是第6个数，因此 不小于50，即， 故选：A． 【变式训练3】某同学记录了以下数据，分别为12，10，13，11，6，8，16，14，则该组数据的第80百分位数为（    ） A．10 B．13 C．13.5 D．14 【答案】D 【详解】根据定义，这些数据由小到大的排序为6，8，10，11，12，13，14，16， 因为，所以第80百分位数为第7个数14. 故选：D 【变式训练4】已知一组数据，则这组数据的分位数是 . 【答案】13 【详解】由题意得数据共个数， 由百分位数位置公式得，而不是整数，向上取整为， 而的第个数是13，则这组数据的分位数是13. 故答案为：13 考点三 统计图表与分布直方图 解题策略 计算在频率分布直方图中的平均数和方差 在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,则样本平均数为 在频率分布直方图中,设和为第组数据的组中值和频率,为平均数,则方差为 例1（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】ACD 【详解】选项A：由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为， 由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200， 故该校高一学生总人数为，选项A正确； 选项B：由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160， 则选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等， 因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为， 故选科是物化政这种组合的学生人数为，选项B错误； 选项C：该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：， 该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，， 故该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故选项C正确； 选项D：选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 故生史地组合应抽取人，选择D正确. 故选：ACD. 例2某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 频率之和为1，故，即，解得， 故. （2）因为，， 所以这50名学生的数学成绩的第80百分位数在内，设为， 则，，， 解得， 故这50名学生的数学成绩的第80百分位数为. （3）这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为： . 【变式训练1】（多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占则下列结论正确的是（     ） A．男、女员工得分在A区间的占比相同 B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C．得分在C区间的员工最多 D．得分在D区间的员工占总人数的19% 【答案】AD 【详解】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人）， 所以，解得， 所以男员工人数为（人）， 对于A，女员工得分在区间的占比为， 男员工得分在区间的占比为， 即男、女员工得分在A区间的占比相同，故A正确； 对于B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人， 男员工在区间有（人），区间有（人）， 区间有（人），区间有（人）， 所以区间男员工少于女员工，故B错误； 对于C，区间有（人），区间有（人）， 所以区间人数比C区间多，故C错误； 对于D，区间有（人）， 所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确． 故选：AD 【变式训练2】某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（   ）    A．26 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【详解】由频率分布直方图知， ，所以. 设销售价格的分位数为， 因为，1， 所以销售价格的分位数在内. 由，得. 故选：C. 考点四 随机事件的概率 解题策略 计算随机事件的概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 例1从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】记正品为，次品为，从中任取件，基本事件有： ，共种， 其中全是正品的是，共种， 所以取出的产品全是正品的概率是. 故选：C 例2甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 例3盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 【变式训练1】天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 【答案】D 【分析】根据题意，先求出两地均不下雨的概率，在结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，且两地是否降雨相互独立， 所以甲乙两地均不下雨的概率为， 所以，这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为. 故选：D. 【变式训练2】甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有基本事件，并确定满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件； 甲排在末位的概率. 故选：B. 【变式训练3】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 【答案】C 【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数， 可能有个奇数和个偶数， 个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， 即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误； “恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误； 同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误； “至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “全都是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确； 故选：C 考点五 互斥随机事件与对立事件 解题策略 计算互斥事件和对立事件的概率 1如果事件与事件互斥，那么； 2如果事件与事件互为对立事件，那么 3设，是一个随机试验中的两个事件，有 例1 “黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则（    ） A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件 C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件 【答案】D 【解析】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”； 事件B为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”， 或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”； 事件C为“至多研究一个黑厘子”， 包含“研究驾驶舱语音记录器”或 “研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究； 事件D为“两个黑厘子都研究”. 即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”； 所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确； 对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确； 对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确； 对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件. 故选：D. 例2已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则___________. 【答案】0.4【解析】∵A与B互斥， ∴, ∵A与B相互独立， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式训练1】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（    ） A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互为对立 D．A与D互斥 【答案】A 【解析】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误， 对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误， 故选：A 【变式训练2】已知某电脑卖家只卖甲､乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占，甲品牌的电脑中，优质率为；乙品牌的电脑中，优质率为，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为___________. 【答案】 【解析】随机购买一台电脑，买到甲品牌优质电脑的概率为， 随机购买一台电脑，买到乙品牌优质电脑的概率为， 则买到优质电脑的概率为 故答案为： 【变式训练3】产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________. 【答案】 【解析】设：第次通过，：第次通过. 由题意知， 即， 解得或（舍去）. 故答案为：. 实战训练 1、已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（    ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【答案】B 【分析】根据平均数的概念运算得解. 【详解】该同学周一至周五的平均日睡眠时间为. 故选：B. 2、某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】计算，代入数据可得下四分位数，从而可求均值. 【详解】，故下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 3、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 4、为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________. 【答案】 【解析】设第一人抛出虎的图案的事件为A事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件， 则，， 所以， 即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为. 故答案为： 5、已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是 . 【答案】6.5/ 【详解】对原始数据从小到大排序为： 因为， 所以第75百分位数为第6个和第7个的平均数，即， 所以这组数据的第75百分位数是， 故答案：. 6、产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________. 【答案】 【解析】设：第次通过，：第次通过. 由题意知， 即， 解得或（舍去）. 故答案为：. 7、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 8、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 9、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥 C． D． 【答案】A 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可. 【详解】对于选项A：设样本空间为，则， 即该试验的样本空间共有36个样本点，故A正确； 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：A. 10、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件及相等事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 11、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（    ） A．事件与互为对立事件B．事件与为互斥事件C．事件与事件相等 D．事件与相互独立 【答案】D 【分析】事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，从而事件与事件相互独立． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币， 设事件 “第一枚硬币正面向上”， 设事件 “第二枚硬币正面向上”， 事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关， 事件与事件相互独立． 故选：． 【点睛】本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 12、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 1 / 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