专题09 立体几何（必备知识+6大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

该高中数学讲义聚焦立体几何高考核心考点，涵盖空间几何体结构、位置关系、空间角、表面积体积等内容，按“基础-重点-难点”逻辑构建知识体系，通过考情解读、知识梳理、考点精讲（含解题策略、例题变式）、实战精练四环节，助力学生系统突破。 讲义创新采用“解题策略+分层训练”模式，如空间角计算强调“作证算”步骤培养数学思维，截面问题通过直接法、延长线法等发展空间观念，设置基础到提升的变式训练保障复习效果，帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题09 立体几何 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 7 考点一：共面共线问题……………………………………………………………………………………………….. 7 考点二：空间中位置关系………………………………………………………………………………………………. 11 考点三：空间中角的计算（重点）………………………………………………………………………………………. 15 考点四：空间中几何体的表面积和体积（常考点）………………………………………………………………………. 23 考点五：立体几何中截面问题（难点）………………………………….………………………………………….. 25 考点六：立体几何中的探索问题………………………………………………………………………………………………. 29 实战精练与提升 36 考情解读 一、考试要求 掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台的关系，可描述现实物体结构；熟记上述几何体的表面积和体积计算公式，能解决简单实际问题；理解空间点、直线、平面的位置关系，熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理（含证明）；掌握空间角和空间距离的计算方法，能运用相关知识解题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 空间中的位置关系 5年3考 空间中的位置关系判断 预测2026年在选择题中考查空间中的位置关系 空间中角的计算 5年2考 空间中角的计算 测2026年在选择题中考查空间中角的计算 立体几何的表面积和体积 5年2考 立体几何的表面积和体积 预测2026年在选择中考查立体几何的表面积和体积 知识梳理 知识点1 平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 基本事实4 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 平行于同一条直线的两条直线平行 图示 符号表示 三点不共线⇒ 存在唯一的平面使 且 ⇒且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 证明两条直线平行 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 （0个公共点） 图示 符号语言 a∥b a∥α 相交关系 （1个公共点） 图示 符号语言 独有关系 图示 符号语言 a，b是异面直线 公共点个数 0个 无数个 知识点3 等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 知识点4 异面直线所成角 1.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2.异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 3.异面直线的判定：①定义法；②两直线既不平行也不相交 4.异面直线所成角取值范围： 2、空间几何体的表面积与体积 (1)由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体，所以它们的表面积就是各个面的面积和. (2)圆柱的侧面积(侧面展开图是矩形)圆柱的表面积. (3)圆锥的侧面积(侧面展开图是扇形)圆锥的表面积. (4)圆台的侧面积(侧面展开图是扇环)圆台的表面积. (5); (6); (7) (8);过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 知识点5、平行的判定及其性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理 文字语言 .如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 2．平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 ,且. (2)性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 4．平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 知识点6、垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 . 2．平面与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 ,. (2)性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 考点精讲 考点一 共面共线问题 解题策略 证明共线、共点、共面的方法技巧 证明共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． 证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内 例1如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 例2如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式训练1】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式训练2】在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】ABD 【详解】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确. 故选：ABD 【变式训练3】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 考点二 空间中位置关系 解题策略 面面垂直推线面垂直的思路 先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明　(1)如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 例2已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，，得或或与相交，A错误； 对于B，由，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，得存在过的平面，则， 而，于是，又，，因此，C正确； 对于D，，，由，得可以是与垂直的平面内的任意直线， 因此可以与平行、相交或在内，D错误. 故选：C 【变式训练1】已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中不正确命题的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，设两个相互垂直的平面为，平面平面． ∵平面平面，∴当时，必有，而，∴， 而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直， 故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即①是真命题．    对于②，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故②是假命题． 对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，如上图，平面内与不平行的直线与平面不垂直，故③是假命题． 对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故④是假命题． 故选：C. 【变式训练2】（多选）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则或，A选项错误； 由线面平行性质定理，则，B选项正确； 若，则，C选项正确； 若，则可能平行，D选项错误； 故选：BC. 【变式训练3】（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，，，共面，则 C．若不垂直于，且，则必不垂直于 D．若且，则 【答案】BD 【详解】如图：在正方体中    因为平面，平面平面，结果平面，而非平面，故A错误； 因为与平面不垂直，平面，且，故C错误； 对B：因为，，所以无公共点，又，共面，所以，故B正确； 对D：因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确. 故选：BD 【变式训练4】在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ） A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，有平面，平面， 则直线平面， 同理，直线平面， 因EF、GH能相交于点P，即， 因此平面，平面， 而平面平面， 于是有，A不正确，C正确，D不正确； 又直线AC与BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确.故选：C 考点三 空间中角的计算 解题策略 求线面角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 求面面角的常见方法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角； （2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 例1在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接， 因为，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 例2如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 例3已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】在正四棱台中，， 令上下底面中心分别为、，连接，则棱台的高为， 取的中点，的中点，连接， 过点作⊥于点，则， 如图所示，侧面与下底面所成二面角的平面角是， 由， 解得，故，， 由勾股定理得， 其正弦值， 即四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 故答案为： 例4在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示，    因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 【变式训练1】如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正四棱锥中，平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，而，要的面积取得最小值， 当且仅当，此时， 由平面平面，得在平面内射影为， 即是OH与平面ABCD所成的角，， 所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为. 故选：C 【变式训练2】如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 由于为的中点，所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知，所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接， 由于所以， 又平面平面， 所以，平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以， 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. 【变式训练3】在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】 如图添加辅助线，由于，所以分别为的中点， 又因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又因为，且，所以且， 即四边形是平行四边形，又因为， 所以四边形是菱形，即， 又因为，，所以， 即可得， 即四面体是正四面体，取为的中点， 所以可得 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 即直线与平面所成角为， 设正四面体的棱长为， 则， 故答案为： 【变式训练4】如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 考点四 空间几何体的表面积与体积 解题策略 1.空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ①直接利用公式进行求解． ②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 3.“切”“接”问题的处理规律 ①“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面． ②“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 例1已知点是球的小圆上的三点，若，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以是正三角形，是其外接圆圆心，所以的外接圆半径，球的半径，所以球的表面积为. 故选：B. 例2我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（ dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（    ）（注:1丈=10尺，取3） A．1088 平方尺 B．912 平方尺 C．720 平方尺 D．656 平方尺 【答案】B 【解析】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图： 则，，解得， 则圆柱底面积为，侧面积为, 则圆柱的表面积(平方尺)， 故选：B. 例3若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案. 【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为， 圆柱侧面积为， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【变式训练1】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（    ） A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9 【答案】C 【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了. 【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为 则圆锥的体积为： 球体的体积： 所以圆锥与球的体积之比为：1∶2 故选：C. 【变式训练2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 【变式训练3】若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积. 【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为， 所以该球体积为. 故选：D 考点五 立体几何中的截面问题 解题策略 作截面的三种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 例1在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 例2把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 【答案】作图见解析， 【详解】如图，取AB的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC即为所求，理由如下： ∵ANB1M，且，∴四边形ANB1M为平行四边形，∴AMB1N. 又B1N⊄平面AMC1，AM⊂平面AMC1， ∴B1N∥平面AMC1，同理，CN平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN⊂平面B1NC， ∴平面B1NC平面AMC1. ∵B1C＝， B1N＝， NC＝，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC， ∴S△B1NC＝. 【变式训练1】已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 . 【答案】6 【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E， 因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面， 因为M是的中点，且，所以，， 所以是△的中位线，则是的中点， 又因为N为的中点，所以， 易知，则，所以. 故答案为：6 【变式训练2】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 【答案】/ 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 【变式训练3】已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，过直线的平面平面AEF，则平面截正方体所得截面的面积为 ． 【答案】18 【详解】如图，取的中点，的中点M，连接，，，，， 则，所以，，，四点共面． 因为，平面，平面，所以平面． 因为，且，所以四边形为平行四边形. 所以，平面,平面, 所以平面，又都在平面内，所以平面平面， 所以四边形即为平面截正方体所得截面， 易得，，， 所以四边形的面积． 故答案为：18 考点六 立体几何中的探索问题 解题策略 立体几何中探索问题的方法 1.定位探索目标：明确探究对象（平行 / 垂直关系、点 / 线 / 面位置、角度 / 距离定值等），转化为 “是否存在”“如何构造” 的具体问题。 2.化空间为平面：利用投影、截面、平移等手段，将立体问题转化为平面几何问题（如线面平行→线线平行，面面垂直→线面垂直）。 3.先猜后证：通过特殊位置（中点、端点、对称点）、特殊图形（正方体、正四面体）猜想结论，再用定理严格证明。 例1如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 例2如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【变式训练1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 【变式训练2】如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 实战训练 1给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 2正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 3在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 4如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则， . 故选：C 5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过可求. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O， 则，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以. 故选：C 【点睛】求二面角，可利用定义直接作出其平面角来求，或者利用法向量公式解决. 6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可 【详解】如图，连接，，，因为， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，，所以， 故选：. 7、如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用锥体的体积公式直接计算即得. 【详解】在三棱锥中，平面，则是三棱锥的高， 由，得， 所以该三棱锥的体积为. 故选：B 8、如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 9、如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 10、小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 11、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线面角，解直角三角形求得线面角的最小值. 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以平面，平面，， 且是直线与平面所成角. 设正方体的边长为，则， 所以. 故选：D 12如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（ ） A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1 B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1 C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD1 【答案】A 【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图， ，连BD1，平面平面， 因M为棱D1C1的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因AM与平面BB1D1D的交点为O，则平面， 于是得，即D1，O，B三点共线， 显然D1M∥AB且， 于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1， 所以三点D1，O，B共线，且OB=2OD1.故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 立体几何 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 7 考点一：共面共线问题……………………………………………………………………………………………….. 7 考点二：空间中位置关系………………………………………………………………………………………………. 10 考点三：空间中角的计算（重点）………………………………………………………………………………………. 13 考点四：空间中几何体的表面积和体积（常考点）………………………………………………………………………. 17 考点五：立体几何中截面问题（难点）………………………………….………………………………………….. 20 考点六：立体几何中的探索问题………………………………………………………………………………………………. 23 实战精练与提升 26 考情解读 一、考试要求 掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台的关系，可描述现实物体结构；熟记上述几何体的表面积和体积计算公式，能解决简单实际问题；理解空间点、直线、平面的位置关系，熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理（含证明）；掌握空间角和空间距离的计算方法，能运用相关知识解题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 空间中的位置关系 5年3考 空间中的位置关系判断 预测2026年在选择题中考查空间中的位置关系 空间中角的计算 5年2考 空间中角的计算 测2026年在选择题中考查空间中角的计算 立体几何的表面积和体积 5年2考 立体几何的表面积和体积 预测2026年在选择中考查立体几何的表面积和体积 知识梳理 知识点1 平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 基本事实4 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 平行于同一条直线的两条直线平行 图示 符号表示 三点不共线⇒ 存在唯一的平面使 且 ⇒且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 证明两条直线平行 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 （0个公共点） 图示 符号语言 a∥b a∥α 相交关系 （1个公共点） 图示 符号语言 独有关系 图示 符号语言 a，b是异面直线 公共点个数 0个 无数个 知识点3 等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 知识点4 异面直线所成角 1.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2.异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 3.异面直线的判定：①定义法；②两直线既不平行也不相交 4.异面直线所成角取值范围： 2、空间几何体的表面积与体积 (1)由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体，所以它们的表面积就是各个面的面积和. (2)圆柱的侧面积(侧面展开图是矩形)圆柱的表面积. (3)圆锥的侧面积(侧面展开图是扇形)圆锥的表面积. (4)圆台的侧面积(侧面展开图是扇环)圆台的表面积. (5); (6); (7) (8);过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 知识点5、平行的判定及其性质 1．直线与平面平行 (1)判定定理 文字语言 .如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 2．平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 ,且. (2)性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 ,,. 4．平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 知识点6、垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言 符号语言 (2)性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 . 2．平面与平面垂直 (1)判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 图形语言 符号语言 ,. (2)性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 图形语言 符号语言 考点精讲 考点一 共面共线问题 解题策略 证明共线、共点、共面的方法技巧 证明共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． 证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内 例1如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 例2如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【变式训练1】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【变式训练2】在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【变式训练3】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 考点二 空间中位置关系 解题策略 面面垂直推线面垂直的思路 先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 例2已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式训练1】已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中不正确命题的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（多选）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3】（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，，，共面，则 C．若不垂直于，且，则必不垂直于 D．若且，则 【变式训练4】在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ） A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外 考点三 空间中角的计算 解题策略 求线面角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 求面面角的常见方法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角； （2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 例1在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 例2如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 例3已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 . 例4在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在四棱锥中，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角. 【变式训练3】在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【变式训练4】如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 考点四 空间几何体的表面积与体积 解题策略 1.空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ①直接利用公式进行求解． ②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 3.“切”“接”问题的处理规律 ①“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面． ②“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 例1已知点是球的小圆上的三点，若，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例2我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（ dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（    ）（注:1丈=10尺，取3） A．1088 平方尺 B．912 平方尺 C．720 平方尺 D．656 平方尺 例3若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（    ） A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9 【变式训练2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 考点五 立体几何中的截面问题 解题策略 作截面的三种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 例1在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 例2把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 【变式训练1】已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 . 【变式训练2】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 【变式训练3】已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，过直线的平面平面AEF，则平面截正方体所得截面的面积为 ． 考点六 立体几何中的探索问题 解题策略 立体几何中探索问题的方法 1.定位探索目标：明确探究对象（平行 / 垂直关系、点 / 线 / 面位置、角度 / 距离定值等），转化为 “是否存在”“如何构造” 的具体问题。 2.化空间为平面：利用投影、截面、平移等手段，将立体问题转化为平面几何问题（如线面平行→线线平行，面面垂直→线面垂直）。 3.先猜后证：通过特殊位置（中点、端点、对称点）、特殊图形（正方体、正四面体）猜想结论，再用定理严格证明。 例1如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 例2如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式训练1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【变式训练2】如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 实战训练 1给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 3在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7、如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8、如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 9、如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 10、小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 11、如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 12如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（ ） A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1 B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1 C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD1 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $