精品解析：广东省江门市恩平市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中水平测试九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当 时，方程没有实数根．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式来判别根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ 判别式 ， ∴ 方程没有实数根． 故选A． 3. 已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 6. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 8. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由是的直径，，由四边形内接于，可得，即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ． 故选：D． 9. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， 时，随增大而减小， ， 故选：C． 10. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，，是上直径两侧的点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是由是直径求出． 由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 设，是方程的两实数根，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的解和根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解和根与系数的关系．由 是方程的根，得 ；由根与系数的关系，得 ．代入计算即可． 【详解】解：因为 是方程 的根， 所以 ，即 ． 又因为 是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得 ． 所以 ． 故答案为 0． 15. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】他们的解法不正确，正确的解答过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】他们的解法不正确，正确的解答如下， 解：， 移项，得， 提取公因式，得， 即， ∴， 解得：，． 17. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径． 【答案】圆形工件的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和圆的基本性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理和圆的基本性质是解题的关键．先利用垂径定理确定线段关系，再构造直角三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接． ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上，且 又∵， ∴， 设圆形工件的半径为，则． 又∵， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 答：圆形工件的半径为． 18. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长． 【答案】汤面的直径的长为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 以抛物线顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系，把碗口端点转化为坐标，简化抛物线解析式的求解，再用待定系数法求出抛物线，再代入汤面深度对应的，求出的取值，最后根据的值计算汤面的水平距离，得到直径的长度． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， 由题意得：抛物线上点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴． 答：汤面的直径的长为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入原方程可得： ， 解得：； 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 【答案】（1）见解析 （2）图形见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P．再利用一次函数解析式求点坐标即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求，． 【小问3详解】 作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P， 由题意可得，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 【答案】初步探索： （1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）16； 类比迁移：； 拓展延伸： 【解析】 【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则； （2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16； 类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为． 【详解】解：初步探索：（1） 略 （2）是的弦，且的半径为8， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值是16， 故答案为：16； 类比迁移：如图，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值为， 的最大值为， 周长的最大值是． 拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ∴，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中水平测试九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 7. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 13. 如图，，是上直径两侧的点，若，则________． 14. 设，是方程的两实数根，则________． 15. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 17. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径． 18. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $