专题06 三角（八大题型+好题推送）（期末真题分类汇编 上海专用）高一数学上学期沪教版

【原卷版】 专题06 三角（八大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 任意角 考点02 角的度量 考点03 任意角的正弦、余弦、正切、余切 考点04 诱导公式 考点05 已知正弦、余弦或正切值求角 考点06 常用三角公式 考点07 解三角形 考点08 综合题 地 城 考点01 任意角 1．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第一象限角一定不是负角 D．小于的角都是锐角 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 2．(24-25上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷） “为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知，则是第 象限角 4．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 的角是第 象限角． 5．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 角的度量 6．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 设扇形的圆心角为3弧度，弧长为12，则此扇形的面积为 ． 7．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径 ． 地 城 考点03 任意角的正弦、余弦、正切、余切 8．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 若，则的值是 ． 9．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则 ． 10．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知是角终边上一点，且，则 11．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知，则 . 12．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 若，且，则的值为 ． 13．(24-25上海市第三女子中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷） 已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知，则 ． 地 城 考点04 诱导公式 15．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷） 已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 16．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ． 17．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知角α的终边经过点，则= ． 18．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 化简： . 地 城 考点05 已知正弦、余弦或正切值求角 19．(24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．(24-25上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 方程 在 上的解为 . 21．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 方程的解是 . 22．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知，则 . 地 城 考点06 常用三角公式 23．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知，则 . 24．(24-25上海市普陀区上海音乐学院附属安师实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 已知，，则 ． 25．(24-25上海市普陀区上海音乐学院附属安师实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试） 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 26．(24-25上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 已知，则 . 地 城 考点07 解三角形 27．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 在中，若，，，则的面积是 ． 28．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 地 城 考点08 综合题 29．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知，则 ． 30．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【好题推送】 31．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为 . 32．(24-25上海市奉贤区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 33．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 34．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 35．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题06 三角（八大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 任意角 考点02 角的度量 考点03 任意角的正弦、余弦、正切、余切 考点04 诱导公式 考点05 已知正弦、余弦或正切值求角 考点06 常用三角公式 考点07 解三角形 考点08 综合题 地 城 考点01 任意角 1．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第一象限角一定不是负角 D．小于的角都是锐角 【提示】利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解． 【答案】B 【解析】终边相同的角不一定相等，所以选项A错误； 钝角一定是第二象限角，所以选项B正确； 第一象限角可能是负角，如是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误； 小于的角不都是锐角，如，所以选项D错误． 故选：B 【说明】本题考查了任意角的概念 2．(24-25上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷） “为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【答案】A 【解析】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 【说明】本题考查了任意角、弧度的概念、判断命题的充分不必要条件 3．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知，则是第 象限角 【提示】找到与终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【答案】三 【解析】由，故是第三象限角. 故答案为：三 【说明】本题考查了找出终边相同的角、确定已知角所在象限 4．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 的角是第 象限角． 【提示】根据象限角的定义可得出结论. 【答案】二 【解析】因为，且为第二象限角，故的角是第二象限角. 故答案为：二. 【说明】本题考查了确定已知角所在象限 5．(24-25上海市控江中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【提示】根据已知有，即可判断可能值. 【答案】B 【解析】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 【说明】本题考查了找出终边相同的角、任意角的概念 地 城 考点02 角的度量 6．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 设扇形的圆心角为3弧度，弧长为12，则此扇形的面积为 ． 【提示】根据弧长公式、扇形面积公式可求出结果. 【答案】24 【解析】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为， 由题意可得，，，所以， 因此扇形的面积为. 故答案为：24. 【说明】本题考查了弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 7．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径 ． 【提示】设扇形的弧长为，半径为，结合扇形面积公式及周长公式列方程求即可. 【答案】 【解析】设扇形的弧长为，半径为， 因为扇形的面积是，它的周长是， 所以，所以， 所以扇形的半径为. 故答案为：. 【说明】本题考查了扇形面积的有关计算 地 城 考点03 任意角的正弦、余弦、正切、余切 8．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 若，则的值是 ． 【提示】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【答案】 【解析】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 【说明】本题考查了同角三角比的化简、求值——同角三角函数基本关系 9．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则 ． 【提示】利用任意角的三角函数的定义求解 【答案】 【解析】因为角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点， 所以， 故答案为： 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值 10．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知是角终边上一点，且，则 【提示】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【答案】 【解析】由题设，则， 所以. 故答案为： 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 11．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知，则 . 【提示】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【答案】 【解析】∵，则， 即，故. 故答案为：. 【说明】本题考查了同角三角比的运算技巧sinα±cosα和sinα·cosα的关系 12．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 若，且，则的值为 ． 【提示】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【答案】 【解析】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 【说明】本题考查了sinα±cosα和sinα·cosα的关系 13．(24-25上海市第三女子中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷） 已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【提示】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得. 【答案】A 【解析】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【说明】本题考查了特殊角的三角函数值、判断命题的充分不必要条件 14．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知，则 ． 【提示】根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【答案】 【解析】. 故答案为： 【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算 地 城 考点04 诱导公式 15．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷） 已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【提示】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【答案】C 【解析】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 【说明】本题考查了诱导公式二、三、四、判断命题的必要不充分条件、已知三角函数值求角 16．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ． 【提示】结合三角函数的定义及诱导公式求，然后即可求解. 【答案】 【解析】因为，所以， 由点在角终边上，所以，即， 所以. 故答案为：. 【说明】本题考查了由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 17．(24-25上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知角α的终边经过点，则= ． 【提示】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【答案】 【解析】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 18．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 化简： . 【提示】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【答案】 【解析】原式. 故答案为：． 【说明】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 地 城 考点05 已知正弦、余弦或正切值求角 19．(24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【提示】由，得到，再对k赋值，根据判断. 【答案】C 【解析】解：因为θ为第二象限角， 所以， 则， 当时，，当时，， 因为， 所以，所以在第三象限， 故选:C 【说明】本题考查了确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 20．(24-25上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 方程 在 上的解为 . 【提示】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以,即， 因为，所以. 故答案为： 【说明】本题是辅助角公式与三角方程的交汇 21．(24-25上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 方程的解是 . 【提示】根据余弦函数的性质计算可得. 【答案】或 【解析】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 【说明】本题考查了已知三角函数值求角 22．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知，则 . 【提示】根据任意角三角函数的定义分析求解. 【答案】或 【解析】因为，所以或. 故答案为：或. 【说明】本题考查了已知三角比值求角 地 城 考点06 常用三角公式 23．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题） 已知，则 . 【提示】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【答案】/ 【解析】， 原式 . 故答案为：. 【说明】本题考查了诱导公式与正、余弦齐次式的计算 24．(24-25上海市普陀区上海音乐学院附属安师实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 已知，，则 ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为，所以 【说明】本题考查了已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 25．(24-25上海市普陀区上海音乐学院附属安师实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试） 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【提示】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【答案】3.2 【解析】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 【说明】本题考查了基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 26．(24-25上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题） 已知，则 . 【提示】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【答案】 【解析】， 故答案为： 【说明】本题考查了二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 地 城 考点07 解三角形 27．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 在中，若，，，则的面积是 ． 【提示】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【答案】 【解析】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【说明】本题考查了余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用，考查基本分析求解能力； 28．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 【提示】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 【说明】本题考查了正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 地 城 考点08 综合题 29．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 已知，则 ． 【提示】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值 30．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【提示】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. （2）由（1）得， ， . 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【好题推送】 31．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为 . 【提示】过点作于点，根据，可知是等边三角形，可得，由锐角三角函数的定义求出的长，再根据即可得出结论． 【答案】 【解析】如图，过点作于点， 中心角，， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【说明】本题主要考查了扇形面积的有关计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键； 32．(24-25上海市奉贤区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 【提示】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【答案】 【解析】依题意，， 所以该窗子的面积为（）. 故答案为： 【说明】本题主要考查了扇形面积的有关计算 33．(24-25上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题） 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【提示】勒洛三角形的面积为3个圆心角为 60°的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解. 【答案】B 【解析】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是，    ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 【说明】本题主要考查了扇形面积的有关计算 34．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【提示】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【答案】B 【解析】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 【说明】本题考查了三角函数的化简、求值——诱导公式、集合新定义 35．(24-25上海市吴淞中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷） 如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 【提示】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【答案】(1)；(2)，. 【解析】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 【说明】本题考查了由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $