专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送）（期末真题分类汇编 上海专用）高一数学上学期沪教版

【解析版】专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 幂函数的定义 考点02 幂函数的图象和性质 考点03 指数函数的定义与图像 考点04 指数函数的性质 考点05 对数函数的定义与图像 考点06 对数函数的性质 考点07 幂指对函数性质的综合应用 地 城 考点01 幂函数的定义 1．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【提示】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 【说明】本题考出来求幂函数的值、求幂函数的解析式 2．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 下列关于幂函数的描述中，正确的是（     ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【提示】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【答案】D 【解析】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 【说明】本题考出来求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 3．(24-25上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【提示】根据幂函数的表达式即可求解. 【答案】 【解析】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 【说明】本题考查了求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 地 城 考点02 幂函数的图象和性质 4．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【提示】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【答案】A 【解析】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 【说明】本题考查了幂函数的单调性的其他应用、由指数函数的单调性解不等式 5．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【提示】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【答案】C 【解析】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 【说明】本题考查了求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 6．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知，则实数的取值范围是 ． 【提示】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【答案】 【解析】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【说明】本题考查了求幂函数的定义域、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 地 城 考点03 指数函数的定义与图像 7．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【提示】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【答案】B 【解析】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 【说明】本题考查了由指数（型）的单调性求参数、根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用 8．(24-25上海市向明中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【提示】由指数函数的图象过定点可得答案. 【答案】D 【解析】，故函数恒过定点. 故选：D. 【说明】本题考查了指数型函数图象过定点问题 9．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【提示】借助函数图像即可求解； 【答案】 【解析】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 【说明】本题考查了根据指数型函数图象判断参数的范围 10．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 函数（常数且）的图像总是经过点 . 【提示】根据指数型函数的性质判断. 【答案】 【解析】当时，，所以函数图象总经过. 故答案为：. 【说明】本题考查了指数型函数图象过定点问题 地 城 考点04 指数函数的性质 11．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【提示】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【答案】B 【解析】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 【说明】本题考查了函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 12．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 【提示】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【答案】D 【解析】任取、且，则，且， ， 所以，，则函数在上为增函数， 对于A选项，由可得， 所以，不等式的解集为，A对； 对于B选项，， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，若、为实数，且，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：D. 【说明】本题考查了判断或证明函数的对称性、比较函数值的大小关系、由指数函数的单调性解不等式 13．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【提示】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数，结合指数函数单调性列式求解. 【答案】 【解析】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 【说明】本题考查了定义法判断或证明函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 14．(24-25上海市上海交大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题) 若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【提示】由分段函数的单调性，结合指数函数、一次函数的性质列不等式求参数范围. 【答案】 【解析】由函数在R上单调递增，则，可得. 故答案为： 【说明】本题考查了由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 地 城 考点05 对数函数的定义与图像 15．(24-25上海市嘉定区2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试卷) 下列函数中，与函数相同的是（   ）. A． B． C． D． 【提示】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，进行判断． 【答案】B 【解析】对于A，因为定义域为，与函数，不是相同函数，故A错误； 对于B，定义域为R，且，与函数相同，故B正确； 对于C，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数，故D错误； 故选：B． 【说明】本题考查了复合函数的定义域、判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 16．(24-25上海市宜川中学2025届高三下学期数学三模试卷) 函数的定义域为 . 【提示】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【答案】 【解析】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【说明】本题考查了求对数型复合函数的定义域 17．(24-25上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若集合，则 . 【提示】根据对数函数的单调性即可求解. 【答案】； 【解析】由可得，解得， 故， 故答案为： 【说明】本题考查了求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 18．(24-25上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若，则 . 【提示】结合分段函数解析式先求，再求结论. 【答案】8 【解析】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【说明】本题考查了求分段函数值、对数函数的概念判断与求值 19．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 函数的定义域是 . 【提示】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【答案】 【解析】由题意得，解得， 故的定义域为. 故答案为： 【说明】本题考查了求对数型复合函数的定义域 地 城 考点06 对数函数的性质 20．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【提示】分别就每个选项分析，得出,的大小关系，再利用充分非必要条件定义判断正误. 【答案】D 【解析】由选项A, 得,,异号时,不能推出；由选项B得, ,当,异号时,不能推出; 由选项C得, ,当时, ,故为充要条件;由选项D得,, 但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件. 故选：D 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件、对数函数单调性的应用 21．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【提示】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【答案】C 【解析】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 【说明】本题考查了判断指数函数的单调性、求函数的零点、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 地 城 考点07 幂指对函数性质的综合应用 22．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【提示】根据已知条件列出约束式即可求解. 【答案】1 【解析】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【说明】本题考查了根据函数是幂函数求参数值、求与幂函数有关的复合函数定义域 23． (24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【提示】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. （2）对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 【说明】本题考查了求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题 24．(24-25上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷) 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【提示】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【答案】B 【解析】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 【说明】本题考查了判断指数型函数的图象形状、对数的运算、指数函数图像应用 25．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 不等式的解集为 ． 【提示】将所求不等式变形为，构造函数，其中，分析函数在定义域上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出所求不等式的解集. 【答案】 【解析】由可得， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 且， 由可得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【说明】本题考查了由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 26．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【提示】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【答案】A 【解析】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 【说明】本题考查了由一元二次不等式的解确定参数、由对数函数的单调性解不等式 27．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【提示】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【答案】D 【解析】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 【说明】本题考查了函数不等式恒成立问题、求指数型复合函数的值域 28．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数的部分图像大致是（    ） A． B． C． D． 【提示】根据奇偶性排除C；根据排除B；根据排除D，从而可得答案. 【答案】A 【解析】由，函数定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除C； 因为，故排除B； 因为 因为，而选项D中，函数在上递增，故排除D， 故选：A. 【说明】本题考查了函数图像的识别、指数幂的运算、函数奇偶性的定义与判断 29．(24-25上海市建平中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知，则（     ） A． B． C． D． 【提示】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【答案】B 【解析】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【好题推送】 30．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【提示】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【答案】 【解析】由题意，可得，解得. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 31．(24-25上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 函数的定义域是，则它的值域是 . 【提示】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【答案】 【解析】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【说明】本题考查了求二次函数的值域或最值、求幂函数的值域 32．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数，若，则的取值范围为 ． 【提示】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案. 【答案】 【解析】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 【说明】本题考查了分段函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 33．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【提示】根据二次函数、对数函数的性质及已知可得，进而有，结合分段函数解析式求的范围. 【答案】 【解析】由在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为2， 由在上单调递增，值域为， 所以要使有最小值，则有，即，则， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 故答案为： 【说明】本题考查了分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数、求对数函数在区间上的值域； 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】专题04 幂函数、指数函数与对数函数（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 幂函数的定义 考点02 幂函数的图象和性质 考点03 指数函数的定义与图像 考点04 指数函数的性质 考点05 对数函数的定义与图像 考点06 对数函数的性质 考点07 幂指对函数性质的综合应用 地 城 考点01 幂函数的定义 1．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 2．(24-25上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 下列关于幂函数的描述中，正确的是（     ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 3．(24-25上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 地 城 考点02 幂函数的图象和性质 4．(24-25上海市长宁区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 6．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知，则实数的取值范围是 ． 地 城 考点03 指数函数的定义与图像 7．(24-25上海市东昌中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．(24-25上海市向明中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·上海市奉贤中学··期中) 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 10．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 函数（常数且）的图像总是经过点 . 地 城 考点04 指数函数的性质 11．(24-25上海市虹口区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   12．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 13．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 14．(24-25上海市上海交大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题) 若且在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 地 城 考点05 对数函数的定义与图像 15．(24-25上海市嘉定区2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试卷) 下列函数中，与函数相同的是（   ）. A． B． C． D． 16．(24-25上海市宜川中学2025届高三下学期数学三模试卷) 函数的定义域为 . 17．(24-25上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若集合，则 . 18．(24-25上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 若，则 . 19．(24-25上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 函数的定义域是 . 地 城 考点06 对数函数的性质 20．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 21．(24-25上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点07 幂指对函数性质的综合应用 22．(24-25上海市浦东新区2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷) 若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 23． (24-25上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 24．(24-25上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷) 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 25．(24-25上海师范大学附属宝山罗店中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 不等式的解集为 ． 26．(24-25上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 27．(24-25上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 函数的部分图像大致是（    ） A． B． C． D． 29．(24-25上海市建平中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题) 已知，则（     ） A． B． C． D． 【好题推送】 30．(24-25上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷) 已知幂函数在上是严格减函数，则 . 31．(24-25上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 函数的定义域是，则它的值域是 . 32．(24-25上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题) 已知函数，若，则的取值范围为 ． 33．(24-25上海市华东师范大学附属进华中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题) 已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $