暑假预习专题 第14讲 指数函数（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第14讲 指数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数 指数函数 1. 理解指数函数的定义及图像。 2. 掌握指数函数的性质。 3. 掌握利用指数函数的性质解不等式。 学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际 意义。 1.指数函数的概念：一般地，函数y＝(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象和性质： a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0，1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝与y＝的图象关于y轴对称 3.指数函数图象画法的三个关键点：画指数函数y＝(a>0，且a≠1)的图象， 应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 4．指数函数的图象与底数大小的比较： 如图是指数函数(1)，(2)y＝，(3)y＝，(4)y＝的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b；由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 指数函数的图像与性质 知识点1.指数函数的定义 定义 当底数 固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的 指数函数；需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数， 像 等函数都不是指数函数． 判断一个函数是指数函数的方法 1.判断其解析式是否符合 且 这一结构特征． 2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： （1）底数为常数，且 ； （2）自变量的位置在指数上，且的系数是1； （3）的系数是 1 ． 知识点2. 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 知识点3. 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像 关于轴对称 指数函数底数变化与图像分布规律如图所示: （1） ；（2） ；（3） ；（4） ，则： ， 即当 时，（底大幂大）； 当 时，（底大幂小）. 【经典例题】 【例1】若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得；故答案为：. 【技巧归纳】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【例2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【答案】 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，；故答案为：；． 【技巧归纳】（1）根据指数函数的定义求解；（2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 【答案】 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得，解得，负值舍去， 故指数函数解析式为；故答案为：. 【技巧归纳】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【例4】函数的图像与函数的图像关于 对称，它们的交点坐标是 【答案】 轴 【详解】与中，由于，它们的图象关于轴对称，交点在轴上为点． 故答案为：轴；． 【技巧归纳】由指数函数图象与性质可得结论． 【例5】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【答案】 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点，故答案为： 【技巧归纳】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【例6】（24-25高一上·上海·月考）设，则 . 【答案】 【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以. 对于函数，因为对于任意都成立，所以，因为，， 所以；故答案为：. 【技巧归纳】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集. 【例7】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 【答案】3 【详解】时，，时，， 由题意，所以，解得， 其中整数和，即整数m的取值集合为，真子集有3个；故答案为：3. 【技巧归纳】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【例8】若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点， 而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的， 故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D. 【技巧归纳】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案. 【对点练习】 【练习1】函数是指数函数，则 【答案】3【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由指数函数定义知，解得；故答案为：3. 【练习2】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得；故答案为：4. 【练习3】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限， 则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位 得到（黑线），结合图象可知：，故答案为：. 【练习4】（23-24高一上·上海浦东新·月考）若函数和的图象关于y轴对称， 则函数 . 【答案】【分析】利用两个函数图象关于y轴对称的特征，直接求出函数解析式即得. 【详解】函数和的图象关于y轴对称，所以；故答案为：. 【练习5】函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则 【答案】【解析】从出发，逆向探求即可. 【详解】函数图像关于轴对称的图像对应函数的表达式是， 函数向左平移1个单位长度得，即. 【练习6】函数的定义域是 . 【答案】【解析】由分式分母不为0，解不等式即可. 【详解】由，得，故函数的定义域为；故答案为：. 【练习7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【答案】【分析】利用换元法结合指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而，所以的值域为；故答案为：. 【练习8】（24-25高一上·上海金山·月考）函数的定义域为，值域为， 则的最大值为 ． 【答案】【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值． 【详解】函数，作出函数的图象如图所示， 令，解得或， 因为函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为；故答案为：． 知识点02 指数函数的应用 1.设含参指数函数为和值域/最值； 先判单调性：时递减；复合函数需结合内层单调性用“同增异减”； 将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式. 2.解约束条件：如；含最值时对应端点函数值； 若为复合函数，需同步解内层，代入原函数检查值域/最值 是否匹配，剔除无效解得参数范围. 【经典例题】 【例9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由在上值域为，由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得；故答案为：. 【易错提醒】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. .【例10】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得；故实数的取值范围是；故答案为：. 【易错提醒】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【例11】（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为， 则的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，   因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为；故答案为：. 【易错提醒】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围）， 从而得解. 【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上 对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数在区间上单调递减，则，解得， 即实数a的取值范围是；故选：C. 【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同， 则 . 【答案】 【详解】，在上单调递增,，即， ，；故答案为：. 【易错提醒】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【例14】（24-25高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以，解得， 则函数的定义域为；故选：B. 【易错提醒】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可. 【例15】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上 对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数在区间上单调递减，则，解得， 即实数a的取值范围是；故选：C. 【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【例16】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 【答案】D 【详解】任取、且，则，且， ， 所以，，则函数在上为增函数，对于A选项，由可得， 所以，不等式的解集为，A对； 对于B选项，， 所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，若、为实数，且，则， 所以，，则，C对； 对于D选项，取，，则，D错；故选：D. 【易错提醒】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的 对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【对点练习】 【练习9】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1， 则实数a的取值范围是 . 【答案】【分析】直接根据指数函数的性质得答案. 【详解】由指数函数的性质可得，解得，故答案为：. 【练习10】（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且）， 任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数， 结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得，所以实数a的取值范围是；故选：. 【练习11】（24-25高一上·上海宝山·月考）若指数函数在上是严格增函数， 则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得， 故实数的取值范围是；故答案为：. 【练习12】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【答案】/【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是；故答案为：. 【练习13】已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 【答案】【分析】根据指数函数的单调性，比较大小. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数在R上单调递减，又，所以，故答案为：. 【练习14】（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：（且）. 【答案】答案见解析 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性，转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】若，则不等式，即，即，解得， 所以不等式的解集为； 若，则不等式，即，即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或. 【练习15】指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 【答案】或2【分析】分类讨论，运用函数单调性得出最值，列方程可解. 【详解】解：指数函数在区间上的最大值和最小值的和为， 当时，可得的最小值为，的最大值为，那么，解得； 当时，可得的最大值为，的最小值为，那么，解得；故的值是或2. 【练习16】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 【答案】(1)，；(2)或. 【分析】（1）将点和代入求解即可；（2）根据函数为指数函数，求得， 再分和两种情况，根据函数的单调性，求出最大值和最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）将点和代入，得，因为且，所以，； （2）因为函数为指数函数，所以，所以， 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时； 当时，在区间上有，，所以有，即(舍去负值)， 此时；所以函数的表达式为或. 1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得. 【详解】由函数是指数函数，得，解得，所以实数的值是2；故答案为：2. 2.（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且），，得，即 所以；故答案为：. 3.已知函数的最小值为2，则的最小值为 ． 【答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可 【详解】因为，所以，仅当时取等号， 又的最小值为2，所以，所以，当且仅当时取等号； 故答案为：2. 4.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】.【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立， 分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】，所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立，即对任意的， 总有恒成立，而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2，综上所述，实数的取值范围是；故答案为：. 5．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 【答案】【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是；故答案为：． 6．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则 【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有，即可求参数值. 【详解】由在[0,4]上单调，则，所以；故答案为：2. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得； 若是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】【分析】分离参数可得，结合指数函数与二次函数单调性可得参数范围. 【详解】由命题：存在实数，使得为假命题， 可知命题：，为真命题，即，， 又，所以当，即时，函数取最大值为，即，故答案为：. 8.已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以；因为， 所以；所以，故答案为：. 9.函数的最大值为 ． 【答案】16【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，，所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值；故答案为：16. 10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集．【详解】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，；当时，， 所以此时不等式无解；综上可知，原不等式的解集为；故答案为：. 11.（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为， 则实数的取值范围是 ; 【答案】【分析】根据题意分类讨论，结合指数函数概念求解即可. 【详解】因为是指数函数，所以或； 当时，在上单调递减，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）； 当时，在上单调递增，最大值为，最小值为， 则，解得（舍去）或（符合题意）. 所以实数的取值范围是；故答案为：. 12.（24-25高一上·上海·月考）已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式易得，进而结合指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，而， 当且仅当时等号成立，则，因为函数为减函数， 所以，即；故答案为：. 13.（24-25高一上·上海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B. 【详解】根据题意，，则，当时，，A错误；由，所以，B正确；当时，，C错误；当时，不存在，D错误；故选：B. 14.若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】直接根据函数平移的规则得答案. 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到，即，故选：B. 15.（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限， 则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增，所以，图象不经过第四象限， 则当时，，所以，，故选：B. 16.（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为， 实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，，故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，故，得， 故选：D. 17.不使用计算器，比较下列各题中两数的大小： (1)与；(2)与（其中且）． 【答案】(1)；(2)时，，时，. 【分析】（1）化为同底数后，由指数函数的单调性得结论；（2）根据指数函数的单调性分类讨论． 【详解】（1）∵，又指数函数在上是严格增函数，且，∴． （2）当时，指数函数在上是严格增函数，且，∴； 当时，指数函数在上是严格减函数，且，∴． 18.求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 19.已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3.【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，令，因为，所以， 代入原函数后得，所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3；综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 【答案】(1)或；(2)答案见解析.【分析】（1）根据题意，按a的取值范围分2种情况讨论， 求出函数在区间上的最大值和最小值，可得关于a的方程，解可得a的值，即可得答案； （2）设，，分析可得，即可得结论. 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论： 若0＜a＜1，则在区间上单调递减，最大值为a，最小值为， 有，解得或（舍）， 若a＞1，则在区间上单调递增，最大值为，最小值为a， 所以，解得或a＝0（舍），综合可得：或； （2）根据题意，设，，有，即， 则与的图像关于y轴对称. 21.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值；(2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值； （2）令，则函数，当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值，解得或，均不满足，舍去； 当时，由有，由于函数在上单调递增，在区间上的 最大值为，所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去；综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立，所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即，所以，实数的取值范围为. 22.已知二次函数满足，若是的两个零点，且． （1）求的解析式；（2）若，求函数的值域： （2）若不等式在上恒成立，求参数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解f (z)的解析式； (2)化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的值域； (3)分离参数k后，转化为求函数的最值，利用指数函数性质及二次函数性质即可求解. 【详解】（1），是的两个零点，且， 的对称轴为，可得，设， 由得，； （2）， 当时，，当且仅当 ，即时等号成立， 当时，，当且仅当 时等号成立, 所以的值域为； （3）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 可化为在上恒成立，令， ， 当时，，所以. 23.（24-25高一上·上海·月考）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 【答案】(1)，，；(2)；(3)不是集合中的元素，理由见解析. 【分析】（1）结合题意，即当时，存在常数，使得恒成立，进而求解即可；（2）结合（1）可得当时，存在常数，使得恒成立，进而结合题设求解 即可；（3）先假设，可得当时，存在常数使得，恒成立， 进而结合指数函数的单调性及指数爆炸分析求解即可. 【详解】（1）由题意，，即存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，， 均有成立，， 当时显然成立，当时，即恒成立， 由，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则， 则恒成立，所以，，； （2）由，，因为，则当时，存在常数，使得恒成立， 则，则，由，则， 即恒成立，所以，则的最小值为； （3）不是集合中的元素，理由如下：若，则当时，存在常数使得，恒成立，则恒成立，由于函数在上为增函数， 且呈现指数爆炸的增长趋势，随着的增大，越来越大，因此， 则当时，不存在常数使得恒成立，所以不是集合中的元素. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第14讲 指数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数 指数函数 1. 理解指数函数的定义及图像。 2. 掌握指数函数的性质。 3. 掌握利用指数函数的性质解不等式。 学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际 意义。 1.指数函数的概念：一般地，函数y＝(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象和性质： a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0，1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝与y＝的图象关于y轴对称 3.指数函数图象画法的三个关键点：画指数函数y＝(a>0，且a≠1)的图象， 应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 4．指数函数的图象与底数大小的比较： 如图是指数函数(1)，(2)y＝，(3)y＝，(4)y＝的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b；由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 指数函数的图像与性质 知识点1.指数函数的定义 定义 当底数 固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的 指数函数；需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正. 形式上的严格性：只有形如 （ 且 ）的函数才是指数函数， 像 等函数都不是指数函数． 判断一个函数是指数函数的方法 1.判断其解析式是否符合 且 这一结构特征． 2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： （1）底数为常数，且 ； （2）自变量的位置在指数上，且的系数是1； （3）的系数是 1 ． 知识点2. 指数函数的图像 用五点法作指数函数的图像. （1）指数函数 与 的图像关于 轴对称． （2）指数函数 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越远； 的图像经过第一象限和第二象限，且当 越来越大时，图像离 轴越来越近． 知识点3. 指数函数的性质 图 像 图像 特征 (1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交 (2)过定点(0,1) (3)由左至右图像上升 (3)由左至右图像下降 函数性质 (1)定义域为R,函数值恒正 (3)在R上是严格增函数 (3)在R上是严格减函数 (4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像 关于轴对称 指数函数底数变化与图像分布规律如图所示: （1） ；（2） ；（3） ；（4） ，则： ， 即当 时，（底大幂大）； 当 时，（底大幂小）. 【经典例题】 【例1】若函数为指数函数，则 ． 【技巧归纳】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【例2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【技巧归纳】（1）根据指数函数的定义求解；（2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 【技巧归纳】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【例4】函数的图像与函数的图像关于 对称，它们的交点坐标是 【技巧归纳】由指数函数图象与性质可得结论． 【例5】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【技巧归纳】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【例6】（24-25高一上·上海·月考）设，则 . 【技巧归纳】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集. 【例7】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 【技巧归纳】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【例8】若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【技巧归纳】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案. 【对点练习】 【练习1】函数是指数函数，则 【练习2】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【练习3】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限， 则实数的取值范围为 ． 【练习4】（23-24高一上·上海浦东新·月考）若函数和的图象关于y轴对称， 则函数 . 【练习5】函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称， 则 【练习6】函数的定义域是 . 【练习7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【练习8】（24-25高一上·上海金山·月考）函数的定义域为，值域为， 则的最大值为 ． 知识点02 指数函数的应用 1.设含参指数函数为和值域/最值； 先判单调性：时递减；复合函数需结合内层单调性用“同增异减”； 将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式. 2.解约束条件：如；含最值时对应端点函数值； 若为复合函数，需同步解内层，代入原函数检查值域/最值 是否匹配，剔除无效解得参数范围. 【经典例题】 【例9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为， 则实数的取值范围是 . 【易错提醒】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. .【例10】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【易错提醒】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【例11】（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为， 则的取值范围是 . 【易错提醒】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围）， 从而得解. 【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上 对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同， 则 . 【易错提醒】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【例14】（24-25高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可. 【例15】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上 对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【例16】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的图象关于点对称 C．若、为实数，且，则 D．若、为实数，且 ，则 【易错提醒】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的 对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【对点练习】 【练习9】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1， 则实数a的取值范围是 . 【练习10】（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且）， 任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【练习11】（24-25高一上·上海宝山·月考）若指数函数在上是严格增函数， 则实数的取值范围是 ． 【练习12】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是 ． 【练习13】已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 【练习14】（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：（且）. 【练习15】指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值． 【练习16】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 2.（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 3.已知函数的最小值为2，则的最小值为 ． 4.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的， 总有恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为 6．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则 7．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得； 若是假命题，则的取值范围是 ． 8.已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 9.函数的最大值为 ． 10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 11.（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为， 则实数的取值范围是 ; 12.（24-25高一上·上海·月考）已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 13.（24-25高一上·上海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 14.若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式 为（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限， 则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 16.（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为， 实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 17.不使用计算器，比较下列各题中两数的大小：(1)与；(2)与（其中且）． 18.求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)． 19.已知，求函数的最大值与最小值. 20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 21.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值；(2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 22.已知二次函数满足，若是的两个零点，且． （1）求的解析式；（2）若，求函数的值域： （2）若不等式在上恒成立，求参数k的取值范围． 23.（24-25高一上·上海·月考）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数， 存在常数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，，均有成立． (1)已知函数，写出实数，，必须满足的条件； (2)对于集合中的元素，，求出满足条件的常数的最小值； (3)判断是不是集合中的元素，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $