精品解析：湖北省武汉市新洲区部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

2025~2026学年度上学期期中 新洲区部分学校高中二年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.11 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 2. 如图，平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，又点是线段上的一点，且， 所以， 所以 . 故选：A 3. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再应用同角三角函数的基本关系弦化切求值. 【详解】由题可知直线的斜率为，所以. 故选：A. 4. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【详解】圆圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 5. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件不互斥 B. 事件B与事件相互独立 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，由不可能同时发生可判断A； 求得的值，可判断C，D； 利用可判断B. 【详解】 由树状图可知， ，故C正确，D错误. 对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误； 对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误； 故选：C. 6. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则有，令， 则解得，所以， 而，设，故， 设，则，得到，解得， 可得，即，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故A正确. 故选：A 7. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则， 即， 所以，所以点， 将点F的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为. 故选：C 8. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线与平面成30°的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，对于点的设法，采用向量式，求得平面法向量，而后利用线面所成角向量计算公式列方程求解. 【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 设平面的法向量， 可得：， 令，则， 所以 直线PQ与平面成30°的角， ， ， ， ，又， 解得， 可得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若Q点坐标为，则与共线 B. 若，则 C. 若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D. 若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示可判断B；根据空间向量共面定理求解可判断C；根据空间向量共线定理可表示出，进而计算，利用二次函数的性质求出最值可判断D． 【详解】向量，，，Q点坐标为， 则，， 所以，则与共线，故A正确； ，， 若，则，即，故B错误； 若Q点坐标为，则，又，， 若P，A，B，Q四点共面，则， 即， 则，解得，故C正确； ∵，点直线上运动， ∴可设， 又向量， ∴， ， ∴当时，取得最小值，故D错误， 故选：AC． 10. 已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C. 当∠PAB最大时，△PAB的面积为 D. △PAB的面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答. 【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2， 直线方程为，圆心在直线上， 对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A不正确； 对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得， 因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确； 对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时， ，，C错误； 对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确. 故选：BD 11. 如图所示，某工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一.点P是圆弧（包括端点）上的动点.（ ） A. 存在点P使得 B. 当圆柱体高一定时，多面体的体积恒为定值 C. 若平面，则的最短距离为 D. 若，则二面角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用面面平行的性质定理可以找到点得解； 对于B，多面体的体积，两部分体积均为定值； 对于C，建立空间直角坐标系，依据条件可求出点坐标，设，，所以利用基本不等式即可得解；对于D，设，则, 所以，求出平面的法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由图可知，求出 由的范围可求出的范围. 【详解】对于A,，连接，则.设交圆弧于点，过作交圆弧于点，则四边形为平行四边形，又，所以，故存在点P使得.故A正确； 对于B,设圆柱体的高为则多面体的体积，点，为定点故为定值，又为定值，所以多面体的体积为定值；对于C，建立如图空间直角坐标系 设则 ， 平面， 因为点P是圆弧（包括端点）上的动点，则，， 所以 ，，当且仅当时取等号，，的最短距离为，故C错误； 对于D，若，由（1）知， 设，则, 所以，又， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，取平面的一个法向量， 设二面角为，由图可知， ，,， 则，由，则， 二面角的正切值的最大值为. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行直线间的距离公式从而求解. 【详解】由题意得，可化为， 所以两直线的距离为， 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，结合二次函数的最值求解即得. 【详解】由题可得：，即, 则, 当时，, 则的最小值为， 故答案为： 14. 两个有共同底面的正四棱锥E-ABCD与F-ABCD，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角E-AB-F的正切值为-4，则四边形ABCD的周长为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正四棱锥的性质和球的性质找出球心与正四棱锥的位置关系，再通过二面角建立等式，进而求出四边形ABCD的边长，最后计算其周长. 【详解】设球心为，底面的中心为，连接， 两个正四棱锥E-ABCD与F-ABCD有共同底面且各顶点均在半径为1的球面上， 平面，平面，平面， 则四点共面. 设四边形的边长为，底面是正方形，， 取的中点为，连接，，， 设 则是二面角E-AB-F的平面角， 由正切公式 又平面，，同理， 设，则， 由题意可得， 又顶点在球面上，可得，即, ， 带入公式，得，解得， 四边形ABCD的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【小问1详解】 因B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； 【小问2详解】 因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 16. 在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在的直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出直线方程，进而求出点坐标，利用轴对称，结合直线的点斜式方程求解. （2）由已知可得直线l过边AC的中点或，再利用直线点斜式方程分类求解. 【小问1详解】 由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为，即， 而的角平分线CD所在的直线方程为，由， 解得，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则，解得，即，直线的斜率， 所以直线AC的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点， 由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或， 当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线l的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 17. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且面，，，点为中点，点M，F分别为线段，上的动点（端点除外）. （1）求证：面面； （2）是否存在点F使得二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）当F为的中点时，试判断与平面是否平行，并写出理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为线段的靠近点的三等分点 （3）不平行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，与相交于点，连接，根据可得平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，表示平面与平面的法向量，根据两平面夹角的余弦值求出点的坐标即可确定点的位置. （3）利用空间向量法判断与平面的关系. 【小问1详解】 连接与交于点，连接， ∵底面为菱形，∴点为的中点， 又∵点为的中点，∴， 又∵平面，∴面， 又∵面，∴面面； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形， ∴. ∵平面，且底面为菱形，∴两两垂直， 以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴. 设，则. 设平面的法向量为， 则令，可得. 由题意得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则，解得， ∴存在点为棱上靠近点的三等分点， 使得平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 因为动点M在线段（端点除外）上，设， ，，，则，， 则，则， 又当为的中点时，，平面的一个法向量为， 此时， 又因为，所以， 即与不垂直，故与平面不平行. 19. 已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①②存在， 【解析】 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【小问1详解】 由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①设，，则，， 由得：，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为： ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期期中 新洲区部分学校高中二年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.11 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件不互斥 B. 事件B与事件相互独立 C. D. 6. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线与平面成30°的角，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确是（ ） A. 若Q点坐标为，则与共线 B. 若，则 C. 若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D. 若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 10. 已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为 C. 当∠PAB最大时，△PAB面积为 D. △PAB的面积的最大值为 11. 如图所示，某工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一.点P是圆弧（包括端点）上的动点.（ ） A. 存在点P使得 B. 当圆柱体的高一定时，多面体的体积恒为定值 C. 若平面，则的最短距离为 D. 若，则二面角的正切值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线之间的距离为__________. 13. 已知向量，，且，则的最小值为________. 14. 两个有共同底面的正四棱锥E-ABCD与F-ABCD，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角E-AB-F的正切值为-4，则四边形ABCD的周长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的最大值. 16. 在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 17. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且面，，，点为的中点，点M，F分别为线段，上的动点（端点除外）. （1）求证：面面； （2）是否存在点F使得二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）当F为中点时，试判断与平面是否平行，并写出理由？ 19. 已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $