2025年四川省德阳市中江县中考数学模拟试卷（一）

2025年四川省德阳市中江县中考数学模拟试卷（一） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.肥皂泡的泡壁厚度大约是，用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.若分式有意义，则x的取值应满足    A. B. C. D. 3.如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是(    ) A. B. C. D. 4.计算：的结果 A.   B. C. D. 5.小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是(    ) 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 22 24 23 25 24 22 21 A. B. C. D. 6.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 7.在数轴上，与表示的点距离最近的整数点所表示的数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如图，半圆O的直径AB为10，点C、D在圆弧上，连接AC、BD，两弦相交于点若，则阴影部分面积为(    ) A. B. C. D. 9.已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是(    ) A. 体育场离林茂家 B. 体育场离文具店1km C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 D. 林茂从文具店回家的平均速度是 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数的图象上，横坐标分别为1，4，对角线轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为(    ) A. B. C. 4 D. 5 11.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，，点P在x轴上，与l相切，当P在线段OA上运动时，使得成为整圆的点P个数是(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是对于下列说法：①；②；③；④为实数；⑤当时，，其中正确的是(    ) A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.分解因式：      . 14.计算：______. 15.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有          人． 16.如图，矩形ABCD中，，，点E是BC边上一点，连接AE，把沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为______. 17.如图，等边的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．若直线与的边界总有两个公共点，则实数b的范围是______. 18.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为L，则L的最小值为      . 三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题14分 计算： 计算： 解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解. 20.本小题12分 一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3， 从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率； 先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明． 21.本小题12分 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接 求证：四边形ABCD是菱形； 若，，求OE的长. 22.本小题12分 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当时，；当时， 求一次函数的解析式； 已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求的面积． 23.本小题12分 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2012年底全市汽车拥有量为150万辆，而截至到2014年底，全市的汽车拥有量已达216万辆. 求2012年底至2014年底该市汽车拥有量的年平均增长率； 为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2016年底全市汽车拥有量不超过万辆；另据估计，从2015年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 24.本小题14分 已知：如图，内接于，AB为直径，弦于F，C是的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、 求证：P是的外心； 若，求CQ的长； 求证： 25.本小题14分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为，与x轴的交点为N，且 求此抛物线的函数表达式； 在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 过点A作x轴的垂线，交直线MC于点若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】 解：， 故选： 2.【答案】A  【解析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义，分母不等于0，列式计算即可得解． 解：由题意得，， 解得 故选： 3.【答案】B  【解析】解：从几何体的正面看可得此组合体的主视图是. 故选： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4.【答案】B  【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 【解答】解： 故选： 5.【答案】B  【解析】解：将数据从小到大排列为：21，22，22，23，24，24，25， 中位数是 故选： 将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可． 本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数． 6.【答案】D  【解析】解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得， 故选： 设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可． 此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：， ， 则在数轴上，与表示的点距离最近的整数点所表示的数是2， 故选： 利用平方根定义估算的大小，即可得到结果． 此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：连接OD、OC， 是直径， ， ， ， ， 故选： 连接OD、OC，根据，得出，得出，根据即可求得． 本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键． 根据函数图象逐项一一即可解答． 【解答】 解：由函数图象可知，体育场离林茂家，故选项A不合题意； 由函数图象可知，林茂家离文具店千米，离体育场千米，所以体育场离文具店1千米，故选项B不合题意； 林茂从体育场出发到文具店的平均速度为：，故选项C符合题意； 林茂从文具店回家的平均速度是，故选项D不合题意． 故选： 10.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系.根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标.应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求 【解答】 解：连接AC，BD，AC与BD、x轴分别交于点E、F， 由已知，A、B横坐标分别为1，4， ， 四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线， ， ， 设点B的坐标为，则A点坐标为， 点A、B同在的图象上， ， ， 点坐标为， ， 故选 11.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据直线的解析式求得，进而求得，根据切线的性质求得，根据，求得，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数． 【解答】 解：直线l：与x轴、y轴分别交于A、B， ， ， 在中，， ， 与l相切，设切点为M，连接PM，则， ， 设， ， 的半径， 为整数，PM为整数， 可以取0，2，4，6，8，10，6个数， 使得成为整圆的点P个数是 故选： 12.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当 a与b异号时即，对称轴在y轴右．简称：左同右异③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时， 【解答】 解：①对称轴在y轴右侧， 、b异号， ，故正确； ②对称轴， ；故正确； ③， ， 当时，， ，故错误； ④根据图示知，当时，二次函数有最大值； 此时， 所以有， 所以为实数 故正确． ⑤如图，当时，y不只是大于 故错误． 故选： 13.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 首先把与化简，再合并同类二次根式即可． 此题主要考查了二次根式的加减，关键是正确把二次根式化简成最简二次根式． 15.【答案】1200  【解析】【分析】 本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率． 用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数． 【解答】 解：由题意得：人， 故答案为： 16.【答案】3或  【解析】解：当时，如图， ， 把沿AE折叠，使点B落在点处， ， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图， 在中，， 把沿AE折叠，使点B落在点处， ，，， 点A、、C共线，即点在AC上， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即， 综上所述：BE的长为3或， 故答案为：3或 当时，根据折叠的性质得，则是等腰直角三角形，可得；当时，先利用勾股定理计算出，再根据折叠的性质得到，，，于是可判断点A、、C共线，求出，设，则，，在中利用勾股定理可求BE的长． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：等边的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴， ，， 若直线与的边界总有公共点， 当直线过点A时，将点A坐标代入得：，解得：， 当直线过点B时，将点B坐标代入得：，解得：， 故：若直线与的边界总有两个公共点，则实数b的范围为：； 故答案为： 若直线与的边界总有公共点，当直线过点A时，将点A坐标代入直线的表达式，解得，当直线过点B时，将点B坐标代入直线的表达式，解得，即可求解． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，等边三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征． 18.【答案】米  【解析】解：将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，则点P，H也随之旋转，设点P的对应点为，点H的对应点为，连接，，过点D作于点F，交于点E，如图所示：   由旋转的性质得：，，，米，四边形是矩形， 是等边三角形， ， ， 当为最小时，L为最小， 根据“垂线段最短”得：， 的最小值为线段DF的长， ， ， 四边形是矩形， 米，， 在中，， ， 米， 米， 的最小值为米． 故答案为：米． 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，则点P，H也随之旋转，设点P的对应点为，点H的对应点为，连接，，过点D作于点F，交于点E，由旋转的性质得是等边三角形，则，进而得，当为最小时，L为最小，根据“垂线段最短”得：，则的最小值为线段DF的长，然后证明四边形是矩形得米，，再解得米，进而得米，由此即可得出L的最小值． 此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键． 19.【答案】；   最大整数解是  【解析】原式 解不等式，得  解不等式，得 不等式组的解集为 该不等式组的最大整数解是 根据二次根式的化简，绝对值的性质，负整数指数次幂，特殊角的三角函数进行计算即可得解； 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出最大整数解即可． 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解 20.【答案】解：从纸箱中随机地一次取出两个小球，所标数字的所有可能结果有：，，，，，，共6种； 而所标数字一个是奇数另一个是偶数的有4种， ； 画树状图： 或用列表法： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 所有可能出现的结果共有16种，其中能被3整除的有5种．   【解析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可； 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ▱ABCD是菱形； 解：四边形ABCD是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 即OE的长为  【解析】先证，再证，得，即可解决问题； 由菱形的性质得，，，再利用勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】解：当时，；当时，， 点A的横坐标为1， 代入反比例函数解析式，， 解得， 点A的坐标为， 又点A在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 第一象限内点C到y轴的距离为3， 点C的横坐标为3， ， 点C的坐标为， 过点C作轴交直线AB于D， 则点D的纵坐标为2， ， 解得， 点D的坐标为， ， 点A到CD的距离为， 联立， 解得舍去，， 点B的坐标为， 点B到CD的距离为，   【解析】首先根据时，，时，确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答； 根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解． 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键． 23.【答案】设该市汽车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，不合题意，舍去 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为； 设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2015年底全市的汽车拥有量为万辆，2016年底全市的汽车拥有量为万辆． 根据题意得， 解得 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．  【解析】设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据2012年底全市汽车拥有量为105万辆，而截止到2014年底，全市的汽车拥有量已达216万辆可列方程求解． 设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为万辆，2012年底全市的汽车拥有量为万辆根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过万辆可列不等式求解． 本题考查一元二次方程的应用和理解题意的能力，根据增长的结果作为等量关系列出方程求解，根据2016年底车的总量这个不等量关系列出不等式求解． 24.【答案】证明：是的中点，， 是的直径， 又， 在中，， 直径AB， 在中，有， 是的外心． 解：直径AB于F， 在中，由，， 得 由勾股定理，得 是的直径， 在中，由，， ， 易知∽， ， ； 证明：是的直径， 又， ； ∽， ，即 易知∽， 或由射影定理得 ， 由，知，   【解析】由于AB是的直径，则，只需证明P是斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧弧AE，即，根据等角的余角相等，还可得到，由此可证得，即P是的外心； 由的相等弧可知：，那么它们的正切值也相等；在中，根据CF的长及的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在中，根据的正切值求出CQ的长； 由知：，则所求的乘积式可化为：；在中，由射影定理得：，因此只需证明即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证∽ 此题主要考查了圆心角、弧的关系，圆周角定理，三角形的外接圆，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识． 25.【答案】解：直线MC的函数表达式 点 ， 可设， 则由勾股定理，得 而， ， 点 点在抛物线上 ， 解得， 抛物线的函数表达式为 假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形， ①若PN为另一条直角边 点在直线MC上， ，即 直线MC的函数表达式为 易得直线MC与x轴的交点N的坐标为 在y轴上取点， 连接ND交抛物线于点P 设直线ND的函数表达式为 由 得 直线ND的函数表达式为 设点，代入抛物线的函数表达式， 得， 即 解得， ， 满足条件的点为， ②若PC是另外一条直角边 点A是抛物线与x轴的另一交点， 点A的坐标为 连接AC，， ，又 ， 点A就是所求的点 综上所述，在抛物线上存在满足条件的点，有3个， 分别为：，， 若抛物线沿其对称轴向上平移， 设向上平移个单位可设函数表达式为 由， 得 要使抛物线与线段NQ总有交点， 必须，即， 若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度． ②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移个单位 可设函数表达式为 当时，，当时， 易求得，又 要使抛物线与线段NQ总有交点，必须 或，即或 若抛物线沿其对称轴向下平移，最多可平移12个单位长度 综上可知，若抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点， 则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．  【解析】根据MC的函数式不难得出C点的坐标应该是，即，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据，以及的余弦值在直角三角形BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式． 假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论： ①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，然后确定出N点的坐标，如果PN与y轴的交点为N，那么直角三角形CND应该是个等腰直角三角形，因此可求出OD的长，也就得出了D的坐标，然后可确定出直线PN的解析式，然后联立抛物线和PN所在直线的解析式即可求出此时交点P的坐标． ②当PC是另外一条直角边时，连接AC可发现，，而C点又正好在抛物线上，因此P与A重合，那么P点的坐标就是A点的坐标． ①先求上移的单位，可先设出平移后的二次函数的解析式，然后联立抛物线和直线NQ即MC的解析式，然后可得出一个一元二次方程，要想使两函数有交点，那么，以此可求出平移单位的取值范围，也就可求出最大的平移值． ②要求向下平移的最大单位，可求出当Q，N正好在抛物线上时，b的取值，那么根据MC的直线解析式，可得出Q，N点的坐标，那么当Q，N正好在抛物线上时，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大单位． 本题的关键是在于根据已知条件确定二次函数的解析式以及二次函数平移后解析式的变化情况， 要注意的是中要分另一条直角边的不同进行分类讨论，不要漏解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $