精品解析：江西省赣州市大余县部分高中2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

2025~2026学年度（上学期）高三年级期中考试普教系列 数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质分别解得集合，再由交集定义写出. 【详解】解，得，所以， 解，得，所以, 所以. 故选：C. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得，求得其对应点坐标可得结论. 【详解】易知， 所以， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于直线上. 故选：B 3. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解. 【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称， 则，所以， 函数为奇函数， 所以， 所以时，， 所以. 故选：A. 4. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理及等比数列性质求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 5. 若，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 18 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 6. 记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论是等比数列的条件下，是否是等比数列，以及是等比数列的条件下，是否是等比数列，即可判断. 【详解】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 若函数在上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，且，结合余弦函数的极值点分析可得的极值点对应的取或，进而列不等式组求解即可. 【详解】由，所以， 显然， 由于的极值点为， 所以的极值点对应的取或， 所以或，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可判断函数在单调递增. 解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案； 解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案； 解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案 【详解】， 当时，， 故函数在单调递增. 解法一：构造函数， ， 故函数在单调递减， 则. 解法二：对数糖水不等式：. 先证明糖水不等式：， 理由：， 故 . 解法三：， ， . 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（   ） A. 若向量是与同向的单位向量，则 B. 已知向量，，则在上的投影向量为 C. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D. 已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据同向的单位向量计算公式即可判断A；利用投影向量计算公式即可判断B；根据基底向量的判断方法即可判断C；求出向量夹角为锐角的充要条件即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确. 对于B， 在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，则共线，则它们不能作为平面内所有向量的一组基底，故C错误； 对于D，若，夹角为锐角，则，且不能同向共线， 则，解得且， 则前者可以推出后者，后者无法推出前者，故“，夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB． 10. 已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，且，现有四个结论其中结论正确的为（ ） A. B. 4为的周期 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件，以及赋值法，根据函数周期性，对称性，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由题意可知，当时，，所以A正确； 用替换，代入得，即， 代入得， 则，所以4为的周期，所以B正确； 因为的图象关于直线对称，由，可知关于对称，可得， 则，即的图象关于点对称，因为关于对称，所以的图象关于点对称， 又因为4为的周期，所以的对称中心为，所以C错误； 由可知，当时，，因为4为的周期，所以，所以D正确； 故选：ABD. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法正确的是（ ）. A. ， B 函数有三个零点 C. D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出，对于B，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断，对于C，由函数的对称中心得，结合此结论求解即可，对于D，设切点为，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于的方程有3个不等的根，结合图象求解即可. 【详解】对于，由，可得，则. 因为点 是函数 图象的对称中心，结合题设中“拐点”的定义知， 且，解得，， 正确； 对于，由，，可知，则. 令，可得 或， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因为，，， 所以函数 只有两个零点， 错误. 对于C，因为点 是函数 图象的对称中心，所以. 令， 则， 所以， 所以， 即，C 正确. 对于，设切点为，由，得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 因为切线经过点，所以， 化简得， 由题意可知关于 的方程 有3个不相等的根. 令，则， 由，得 或. 当 或 时，；当 时，. 故 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的极小值为，极大值为， 所以 的大致图象如图所示. 由图象知，当 时，直线 与 的图象有3个交点， 当 时，关于 的方程 有3个不相等的根， 当 时，过点 可以作三条直线与 的图象相切， 正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，求出角的正弦，再对目标代数式进行化简，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则，因为，解得， 则， 故答案为：. 13. 如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 14. 已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，解出关于的一元二次方程的解，画出函数的图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】令，原方程化为，即，解得或， 函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为R，作出函数的图象，如图， 观察图象，得当或时，方程有1个解； 当或时，方程有2个解； 当时，有3个解， 由方程有且仅有5个不同实数根， 得或，解得或，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； 【小问2详解】 证：， ， 又， 故. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的单调增区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数的解析式，利用整体法结合正弦函数的性质求解单调增区间和对称中心； （2）根据三角函数图象的变换规律求得，利用整体法结合正弦函数的性质求解的最值，结合条件可求得答案． 【小问1详解】 . 由， 故函数的单调增区间为 由， 故函数的对称中心为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 得的图象， 然后再向下平移1个单位长度，得的图象， 最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变， 得到函数，即. . 所以. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系. （2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边. （3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理得：. 又因为， 所以. 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以. 由正弦定理得， 又，所以，. 由余弦定理得. 所以. 【小问3详解】 因为 . 由正弦定理 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 18. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 【答案】（1）； （2）0； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得. （2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值. （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 依题意，，则有， 当时， ， 又也满足，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数的最小值为0. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）(ⅰ)答案见解析；(ⅱ). 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）(ⅰ)求导，分类讨论可得函数的单调区间； (ⅱ)问题转化为与有两个交点.设，，分析函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，数形结合，可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，可得. 所以函数在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ，. (ⅰ)因为，. 当即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当即时，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ)由，可得，. 设，，则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且当时，；；当时，, 当时，;当时，. 作出函数的大致图象如下： 要使有两个零点，需使与有两个交点，由图知，解得. 所以当时，函数有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（上学期）高三年级期中考试普教系列 数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 3. 若函数在上为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，是方程两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 5. 若，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 18 C. D. 9 6. 记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 7. 若函数在上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（   ） A. 若向量是与同向单位向量，则 B. 已知向量，，则在上投影向量为 C. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D. 已知，，则“，夹角为锐角”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，且，现有四个结论其中结论正确的为（ ） A. B. 4为的周期 C. 的图象关于点对称 D. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法正确的是（ ）. A. ， B. 函数有三个零点 C. D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 14. 已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的单调增区间及对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 18. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $