期末复习04一元一次方程讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学一元一次方程复习讲义通过表格与框架图系统构建知识体系，从方程概念、等式性质到解方程步骤层层递进，20个题型覆盖基础运算、参数求解及工程问题等应用，清晰呈现重难点与内在逻辑。 讲义亮点在于“题型+方法”创新设计，每个知识点配典例与易错点指南，如配套问题用“甲部件数量×倍数=乙部件数量×倍数”公式建模，培养模型意识与运算能力。基础题巩固知识，综合题提升思维，助力教师精准分层教学，学生自主复习高效。

期末复习04 一元一次方程讲义 题型1从算式到方程 题型2等式的基本性质 题型3解一元一次方程(一):合并同类项及移项 题型4解一元一次方程(二):去括号法则应用 题型5解一元一次方程(三):去分母的步骤 题型6一元一次方程的参数求解 题型7一元一次方程解的关联分析 题型8含绝对值的一元一次方程解法 题型9一元一次方程应用之配套问题 题型10一元一次方程应用之工程问题 题型11一元一次方程应用之销售问题 题型12一元一次方程应用之比赛积分问题 题型13一元一次方程应用之和差倍分问题 题型14一元一次方程应用之比例分配问题 题型15一元一次方程应用之方案选择问题 题型16一元一次方程应用之数字问题 题型17一元一次方程应用之行程问题 题型18一元一次方程应用之几何问题 题型19一元一次方程应用之水电费问题 题型20一元一次方程应用之动点问题 【知识点1】方程及一元一次方程的概念 一、方程的基础概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。这两个条件缺一不可，既要有表示未知量的字母（如 x、y），又要满足左右两边用等号连接且数值相等。 2.核心关联概念 **等式：用等号连接两个代数式的式子（如a=b、5+3=8），方程是特殊的等式（多了 “含未知数” 的条件）。 **方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。对于只含一个未知数的方程，解也可称为 “根”。 **解方程：求方程解的过程，不同于 “方程的解”（解是结果，解方程是步骤）。 二、一元一次方程的精准定义与核心特征 一元一次方程是方程中最基础的类型，需同时满足四个严格条件，标准形式和特征如下： 1.严格定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2.标准形式：ax+b=0（其中a、b是常数，且 a≠0）。 解读：a是未知数x的系数，b是常数项，a≠0是关键（若a=0，则方程变为b=0，不再含未知数的一次项，不是一元一次方程）。 3.四大核心特征（缺一不可） 特征 具体要求 示例体现 一元 只含一个未知数 3x+5=0（仅含x） 一次 未知数最高次数为 1 2x−1=0（x的次数是 1，无x2、x3等） 整式 等号两边均为整式 分母不含未知数，如+1=3（是整式方程） 等式 必须用等号连接 满足左右两边相等的潜在关系，而非代数 【知识点2】等式的性质 等式性质的核心是 “等式两边进行相同运算，等式依然成立”， 性质 1：加减不变，等式恒成立 文字定义：等式两边同时加（或减）同一个数，或同时加（或减）同一个整式，等式的结果仍然相等。 质 2：乘除有规，零不能作除数 文字定义：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；等式两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍成立。 【知识点3】解一元一次方程:合并同类项及移项 1. 合并同类项：同类项 “抱团” 化简 定义：把方程中含未知数的同类项和常数项分别合并，减少项数，简化方程结构。 核心法则：同类项的系数相加，字母及其指数保持不变（字母和指数 “不动”，只算系数）。 2. 移项：“搬家” 必变号 定义：将方程中的某一项从等号一边移到另一边，目的是把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。 核心法则：移项必变号（“+” 变 “−”，“−” 变 “+”），不移项的项符号不变。 3.高频易错点 “避雷” 指南 **移项忘变号（最常见错误）:移项时先标记要移的项，移动后立刻变号，再检查一遍。 **同类项合并错误:牢记 “同类项需满足字母相同且相同字母指数相同”，合并时只算系数，字母和指数不变。 **漏移项或重复移项:移项前先标注所有项，移完后确保等号两边无重复类型的项。 【知识点4】解一元一次方程:去括号 一、去括号核心法则（必记基础） 1.去掉括号和前面的 “+” 号，括号里各项的符号都不改变。 2.去掉括号和前面的 “-” 号，括号里各项的符号都要改变 3.括号前有系数（重点难点） 法则：先把系数分配到括号内的每一项（用乘法分配律a(b+c)=ab+ac），再根据括号前的符号调整各项符号（若系数为负，本质等同于括号前是 “-” 号）。 核心提醒：系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘常数项。 二、含括号的一元一次方程完整解题步骤 解含括号的一元一次方程，通用流程为 “去括号→合并同侧同类项→移项→合并同类项→系数化为 1”. 【知识点5】解一元一次方程:去分母 .一、去分母核心法则（必懂必会） 1. 核心依据 等式性质 2：等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立。分母的最小公倍数是 “同一个数” 的最优选择，可一次性消除所有分母。 2. 三步标准流程（口诀：找最小公倍→同乘每一项→约分去分母） 关键注意事项 *分子是多项式时，去分母后需加括号，避免后续去括号时符号或运算错误。 *最小公倍数若为负数，可先取正数计算，不影响方程的解；若分母中有小数，可先转化为分数再找最小公倍数。 二、含分母一元一次方程完整解题步骤 通用流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 【知识点6】用一元一次方程解决实际问题 核心解题四步法（通用模板） 审题设元：找出题目中的未知量，设关键未知数为x 找等量关系：这是解题关键！从题干中提炼 “相等” 信息 列方程：根据等量关系，用含x的代数式表示相关量，列出一元一次方程 解方程并检验：求出x的值，代入原题验证是否符合实际意义，最后写答句。 **用一元一次方程解决实际问题的核心步骤如下: 一.配套问题 1.核心公式：甲部件数量 × 甲的搭配倍数 = 乙部件数量 × 乙的搭配倍数 2.解题三步法 找比例：明确两种部件的搭配关系（如 1:2、3:5）； 设未知数：设生产某部件的人数 / 数量为x； 列方程：根据核心公式列等式，求解后检验（结果需为正整数）。 高频易错点 比例颠倒：如 “1 配 2” 是乙 = 2 甲，别写成甲 = 2 乙； 数据忽略实际：人数、部件数必须是正整数，不符则检查题干数据或设元； 漏算效率：综合题中，产量 = 人数 × 单人效率，不能直接用人数代替产量。 二.工程问题 1. 基础公式 工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 核心设定：未明确给出工作量时，默认总工作量为 1，单人工作效率 =  2. 解题四步法 定总量：无具体工作量时，设总工作量为 1； 算效率：根据单人 / 团队完成时间，计算各自工作效率； 找关系：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量” 列方程（如合作效率 × 时间 = 完成工作量）； 验结果：检验解出的时间是否为正数，符合实际场景即作答。 易错点标注 效率算错：总工作量设为 1 时，效率是完成时间的倒数，避免误将时间当作效率； 漏算阶段：分阶段工程（先做 + 合作），需将各阶段工作量相加等于总工作量； 忽略停工：中途停工的人，仅计算实际工作时间对应的工作量，不计算停工时间。 三.销售盈亏问题 1. 必记核心公式 利润 = 售价 - 进价（盈利时利润为正，亏损时利润为负） 利润率 = 利润进价 售价 = 标价 × 折扣（如八折即折扣为 0.8） 售价 = 进价 ×（1 + 利润率）（盈利场景常用） 2. 解题四步法 找关键量：从题干中提取进价、售价、标价、折扣、利润率等已知条件； 设未知数：设核心未知量为x（通常设进价、标价或折扣）； 列方程：根据利润、利润率公式或 “售价与进价的关系” 列等式； 验结果：检验解出的数值是否符合实际（如售价、利润率不能为负），再作答。 高频易错点 利润率基数错：利润率计算的分母是进价，不是售价，避免误算为×100%； 折扣理解错：打几折就是按标价的百分之几十销售，如七五折是 0.75，不是 7.5； 盈亏判断错：利润为正则盈利，利润为负则亏损，不要混淆 “售价高于进价” 的盈利逻辑。 四.比赛积分问题 1. 必记核心公式 总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平局积分（无平局则省略平局项） 胜场积分 = 胜场数 × 每场胜场得分 负场积分 = 负场数 × 每场负场得分（常为 0 分或 1 分） 总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平局数 2. 解题三步法 析规则：从题干中明确每场胜、负、平的得分，以及总场数等已知条件； 设未知数：设胜场数（或负场数、平局数）为x，再用含x的式子表示其他场数； 列方程：根据 “总积分 = 各场次积分之和” 列等式，求解后检验（场数需为非负整数）。 高频易错点 场数关系错：总场数需等于胜、负、平场数之和，避免漏算某类场次； 得分混淆：注意区分胜、负、平的得分，尤其是负场得分常为 0 分，不要误算为 1 分； 结果不验：解出的场数需为非负整数，若出现小数或负数，需检查设元或方程是否错误。 五.和差倍分问题 1. 必记核心关系 和关系：A 数量 + B 数量 = 总数量 差关系：较大数 - 较小数 = 相差数（如 A 比 B 多 5，则 A - B = 5） 倍分关系：倍数量 = 基础量 × 倍数（如 A 是 B 的 3 倍，则 A = 3B） 混合关系：和、差、倍结合（如 A 比 B 的 2 倍多 3，则 A = 2B + 3） 2. 解题三步法 找关键词：提炼题干中 “和、差、倍、多、少” 等核心词，明确数量间关系； 设未知数：优先设 “比”“是” 后面的基础量为x，简化代数式表达； 列方程：根据核心关系列等式，求解后检验结果是否符合实际（如人数、物品数为正整数）。 高频易错点 关键词混淆：“比… 多” 和 “比… 少” 搞反，如 “甲比乙多 3” 是甲乙，而非乙甲； 设元不当：未设基础量为未知数，导致代数式复杂易错，优先设 “是”“比” 后面的量为x； 遗漏数量：多重关系题中，漏算某一个数量（如三个数求和时漏加丙数），需先梳理所有数量再列方程。 六.比列分配问题 1. 核心原理 总量按比例 m:n:p 分配时，设每份为 x，则各部分量分别为 mx、nx、px，且满足 各部分量之和 = 总量。 2. 解题三步法 定比例：明确题干中各部分的分配比例（如 3:2、1:4:5）； 设份数：设每份为 x，用含 x 的式子表示各部分量； 列方程：根据 “各部分量之和 = 总量” 列等式，求解后算出各部分具体数值，检验结果为正数即可。 高频易错点 比例化简遗漏：遇到非最简比例（如 4:6:8），需先化简为 2:3:4 再设元，避免计算复杂； 设元错误：不要直接设某部分量为 x，优先设 “每份为 x”，契合比例分配的核心逻辑； 总量混淆：注意区分 “部分量” 和 “总量”，避免将某部分量当作总量列方程。 七.方案选择问题 1. 核心原理 通过设关键变量（如购买量、使用量、生产数量等），分别列出不同方案的表达式，再通过方程求临界点（两种方案效果相等时的变量值），最后根据变量的实际取值范围，判断最优方案。 2. 解题四步法 列方案：梳理题干中所有可选方案，明确每个方案的计费 / 计价规则； 设变量：设影响方案优劣的核心变量为x（如购买数量、使用时长等）； 建等式 / 表达式：列出各方案的成本 / 收益表达式，通过方程求两种方案相等的临界点； 判最优：根据临界点划分变量范围，结合实际需求选择性价比最高的方案 .高频易错点 漏分情况讨论：忽略方案的优惠门槛（如满减条件、使用限额），未分区间计算费用； 临界点计算错误：解方程时混淆方案的费用表达式，导致临界点数值出错； 忽略实际意义：未结合变量的实际取值（如商品价格、使用时长为正数）判断最优方案，出现逻辑矛盾。 八.数字问题 1. 必记核心公式（数位表示规则） 两位数：十位数字 ×10 + 个位数字（如十位是a、个位是b，则两位数为10a+b） 三位数：百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字（如百位a、十位b、个位c，则三位数为100a+10b+c） 数字关系：相邻数位数字的和 / 差 / 倍数（如十位数字比个位数字大 3） 2. 解题三步法 定数位：明确题目中的数字是几位数，找出已知的数位关系； 设未知数：优先设个位（或十位）数字为x，用含x的式子表示其他数位数字； 列方程：根据 “原数与新数的关系”“数字和差倍关系” 列等式，求解后检验（数字需为 0 - 9 的整数，首位数字不能为 0）。 高频易错点 数位表示错误：混淆数位权重，如将两位数写成a+b（正确为10a+b）； 首位数字为 0：忽略整数首位不能为 0 的规则，如设两位数的十位数字为 0； 数字范围忽略：解出的数字超出 0 - 9 的整数范围，未检验修正； 对调后新数写错：对调数位时漏改权重，如将三位数100a+10b+c对调后误写为100c+10a+b 九,行程问题 1. 必记核心公式 基础公式：路程 = 速度 × 时间（变形：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度） 相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 追及问题：路程差 = 快者走的路程 - 慢者走的路程（同地不同时：路程相等；同时不同地：路程差为初始距离） 分段行程：总路程 = 各段路程之和；总时间 = 各段时间之和 2. 解题四步法 析场景：判断题目属于相遇、追及、分段等哪种类型，明确物体运动方向、速度和时间关系； 设变量：设核心未知量为x（通常设时间、速度，或某段路程）； 列方程：根据核心公式和场景特点，找出等量关系列等式； 验结果：检验解出的数值是否符合实际（速度、时间、路程均为正数），再作答。 路程差判断错：追及问题中，初始距离就是路程差，别漏加或漏减某段路程。 高频易错点 单位不统一：忽略速度、时间单位差异（如速度 km/h 和时间分钟，需先统一单位）； 相遇 / 追及方向混淆：相向而行是相遇，同向而行是追及，避免等量关系列反； 漏算停留时间：分段行程中，休息、停车时间不算行驶时间，不能计入速度 × 时间的计算； 十.几何问题 1. 必记核心公式 （1）线段与角 线段：中点性质（中点将线段分成两条相等线段），线段和差（总线段 = 各分段之和）； 角：余角和为 90°，补角和为 180°，角平分线性质（角平分线将角分成两个相等角）。 （2）平面图形 三角形周长 = 三边之和； 长方形周长 = 2×（长 + 宽），长方形面积 = 长 × 宽； 正方形周长 = 4× 边长，正方形面积 = 边长²； 圆形周长 = 2πr，圆形面积 =πr²（r 为半径）。 （3）立体图形（基础款） 长方体体积 = 长 × 宽 × 高； 正方体体积 = 边长³。 2. 解题三步法 辨图形：明确题目涉及的几何图形（线段、角、长方形等），提取图形性质（如中点、角平分线）； 设未知数：设未知的边长、角度等为x，用含x的式子表示相关线段 / 角度 / 边长； 列方程：根据几何公式或图形性质（如周长关系、余补角关系）列等式，求解后检验（长度、角度为正数，符合图形实际）。 高频易错点 公式混淆：混淆周长和面积公式，如将长方形面积公式错用为 “长 + 宽”； 图形性质遗漏：忽略特殊图形性质，如等腰三角形两腰相等、中点分线段相等，导致等量关系找错； 角度范围错误：三角形内角和为 180°、锐角小于 90° 等，解出的角度需符合这些隐含条件； 单位不统一：计算时忽略单位差异（如边长单位厘米和米），需先统一单位再列方程。 十一.水电费问题 1. 核心计费逻辑 固定单价：费用 = 用量 × 单价（无门槛，直接套用公式）； 分段计费：用量≤起步量，按第一档单价计费；用量＞起步量，费用 = 起步量 × 第一档单价 + 超额部分 × 第二档单价（多档计费以此类推）。 2. 解题三步法 析规则：提取题干中计费档位、对应单价、起步量等关键条件； 设未知数：设实际用量（水 / 电度数）为x，判断x是否超过起步量； 列方程：根据计费逻辑列等式，固定单价直接列方程，分段计费需分区间讨论，求解后检验（用量、费用为正数）。 高频易错点 漏分区间：分段计费时，未判断用量是否超起步量，直接按单一档位列方程； 超额计算错：超额部分用量算成总用量，如超 15 吨时，误将x当作超额量计算； 单位混淆：忽略用量单位（如吨和立方米）、货币单位统一，导致计算错误； 档位单价搞混：多档计费时，混淆不同区间的单价，如将第二档单价用在第一档计算。 十二.动点问题 1. 核心运动关系 动点基本公式：运动路程 = 速度 × 时间（s=vt） 位置表示：设运动时间为t（单位：秒），根据起点、运动方向和速度，用含t的式子表示动点对应的线段长度； 常见等量关系：线段相等、线段和差为定值、点重合（路程相等）等。 2. 解题四步法 定背景：明确动点运动的直线 / 线段、起点、终点、运动方向和速度； 表位置：设运动时间为t，用含t的代数式表示动点经过的路程和当前位置对应的线段长度； 找等量：根据题干条件（如线段相等、点为中点等）列出等式； 验结果：求解后检验t的值是否符合实际（时间非负，动点未超出运动范围）。 高频易错点 方向忽略：未明确动点运动方向（向左 / 向右、同向 / 相向），导致位置表达式错误； 范围遗漏：解出的时间使动点超出线段端点，未检验舍去； 中点计算错：求动点间中点对应的线段长度时，代数式化简错误； 单位不统一：速度单位（如 cm/s）和时间单位（如分钟）未统一，直接计算。 题型1.从算式到方程 【典例】若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（   ） A．2 B．0 C．0或2 D． 【跟踪训练1】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练2】如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 题型2.等式的基本性质 【典例】已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 【跟踪训练1】根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【跟踪训练2】已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 题型3.解一元一次方程(一):合并同类项及移项 【典例】当时，嘉淇计算多项式的值为4，当时，的值为7，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 【跟踪训练2】若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是 ． 题型4.解一元一次方程(二):去括号法则的应用 【典例】取 时，代数式的值比的值大． 【跟踪训练1】按如图的程序计算，若输入的是x=-1，输出为y=0，则a= 【跟踪训练2】将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成若定义，例如，则中的值为（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 题型5.解一元一次方程(三):去分母 【典例】某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【跟踪训练1】方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 【跟踪训练2】解方程，去分母时，方程的两边都乘以 ，得 ． 题型6.一元一次方程的参数求解 【典例】若方程的解是（b为常数），则 ． 【跟踪训练1】已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【跟踪训练2】若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 题型7.一元一次方程解的关联分析 【典例】若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【跟踪训练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 题型8.含绝对值的一元一次方程解法 【典例】已知数轴上点、所表示的数分别是，若、两点之间的距离是6，则的值是 ． 【跟踪训练1】已知，则的值为 ． 【跟踪训练2】下列表述中正确的个数是（   ） ①数轴上离原点越远的点表示的数越大；②如果两个数的商为正数，则他们的和也为正数；③若，则或8；④若，则；⑤若（，都不为零），则和的绝对值一定相等；⑥相反数等于其本身的有理数只有零； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型9.一元一次方程应用之配套问题 【典例】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材能做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是（   ） A．用钢材做B部件 B．用做A部件 C．配成仪器480套 D．配成仪器160套 【跟踪训练1】某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练2】某瓷器厂共有名工人，每名工人天能做只茶杯或只茶壶，且只茶杯和只茶壶为套．要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排 人生产茶壶， 人生产茶杯． 题型10.一元一次方程应用之工程问题 【典例】小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 【跟踪训练1】一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 【跟踪训练2】某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合做完成此项工作，设甲一共做了x天，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型11.一元一次方程应用之销售盈亏问题 【典例】某商场把进价为2000元的商品按标价的八折出售，仍获利，则该商品的标价为（　　） A．2500元 B．2650元 C．2750元 D．3000元 【跟踪训练1】某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本价计算，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中他（   ） A．赚18元 B．赚36元 C．亏18元 D．不赚不亏 【跟踪训练2】小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了 元． 题型12.一元一次方程应用之比赛积分问题 【典例】英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，小华选对了 道题． 【跟踪训练1】一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中 个三分球？ 个两分球？罚中 个球？（每罚中1球得1分） 【跟踪训练2】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（     ）． A． B． C． D． 题型13.一元一次方程应用之和差倍分问题 【典例】几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】某校七年级（1）（2）（3）三个班共128人参加了一个课外活动，其中七（1）班有38人参加，七（2）班参加的人数比七（3）班多10人，七（2）有班（　  ）人参加活动 A．50 B．40 C．30 D．60 【跟踪训练2】某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 题型14.一元一次方程应用之比例分配问题 【典例】有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【跟踪训练1】（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 【跟踪训练2】在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 题型15.一元一次方程应用之方案选择问题 【典例】某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【跟踪训练1】把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 辆汽车，共有 人春游． 题型16.一元一次方程应用之数字问题 【典例】一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是 ． 【跟踪训练1】如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，，这个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【跟踪训练2】有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…．其中某三个相邻数的和是，则这三个数中，中间的一个数为（    ） A．128 B．256 C． D． 题型17.一元一次方程应用之行程问题 【典例】甲乙练习赛跑，甲每秒跑，乙每秒跑，甲让乙先跑，设x秒后甲可追上乙，则下列方程中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用分钟，小聪跑一圈要用分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，（    ）分后小聪超出小明一整圈． A． B． C． D． 【跟踪训练2】某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 题型18.一元一次方程应用之几何问题 【典例】长方形的周长为，长比宽多，设长方形的宽为，可列方程为 ． 【跟踪训练1】如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 【跟踪训练2】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如下图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则的值为（   ） A．80 B．100 C．120 D．140 题型19.一元一次方程应用之水电费问题 【典例】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪训练1】某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过10吨，每吨收费4元；若超过10吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费60元，则他家该月用水（    ） A．12吨 B．14吨 C．15吨 D．16吨 【跟踪训练2】为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 题型20.一元一次方程应用之动点问题 【典例】小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】一水平放置的数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为6．一点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为秒，当 时，点到点的距离为8． 【跟踪训练2】数轴上A，B两点分别为﹣10和90，两只蚂蚁分别从A，B两点出发，分别以每秒钟3个单位长和每秒钟2个单位长的速度匀速相向而行，经过 秒，两只蚂蚁相距20个单位长． 1．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 2．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 3．找规律回答问题，如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第 个图形． 4．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 5．关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 6．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式的值为 ． 7．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 8．下列说法： ①单项式的系数是； ②多项式的项分别是、、1； ③把多项式按的降幂排列正确的是； ④若，则且； ⑤若，则； ⑥是代数式； ⑦若，则； ⑧若是关于的一元一次方程的解，则的值为2． 正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 10．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 11．解方程： (1) (2) (3) (4) 12．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 13．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 15．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)若，求x 的值； (2)求 的最小值； (3)当___________时的最小值是___________．（只需写出结果） 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 17．如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 18．在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 19．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 20．点、点为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为．点为数轴的原点．已知，关于的方程的解是，关于的单项式的次数是6． (1) ， ； (2)定义：在数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是【】的美好点．例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到的距离是2，到的距离是1，那么，点是【】的美好点：又如：表示0的点到的距离是1，到的距离是2，那么，点就不是【】的美好点，但点是【】的美好点． 根据以上定义，请求出【】的美好点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点在点、点之间时，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即调转方向沿数轴向右运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的4倍，运动到点后停止，点也从原点与同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点后立即调转方向沿数轴向左运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的，到原点后停止．设点的运动时间为，当点恰好为【】的美好点时，求的值． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04 一元一次方程讲义 题型1从算式到方程 题型2等式的基本性质 题型3解一元一次方程(一):合并同类项及移项 题型4解一元一次方程(二):去括号法则应用 题型5解一元一次方程(三):去分母的步骤 题型6一元一次方程的参数求解 题型7一元一次方程解的关联分析 题型8含绝对值的一元一次方程解法 题型9一元一次方程应用之配套问题 题型10一元一次方程应用之工程问题 题型11一元一次方程应用之销售问题 题型12一元一次方程应用之比赛积分问题 题型13一元一次方程应用之和差倍分问题 题型14一元一次方程应用之比例分配问题 题型15一元一次方程应用之方案选择问题 题型16一元一次方程应用之数字问题 题型17一元一次方程应用之行程问题 题型18一元一次方程应用之几何问题 题型19一元一次方程应用之水电费问题 题型20一元一次方程应用之动点问题 【知识点1】方程及一元一次方程的概念 一、方程的基础概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。这两个条件缺一不可，既要有表示未知量的字母（如 x、y），又要满足左右两边用等号连接且数值相等。 2.核心关联概念 **等式：用等号连接两个代数式的式子（如a=b、5+3=8），方程是特殊的等式（多了 “含未知数” 的条件）。 **方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。对于只含一个未知数的方程，解也可称为 “根”。 **解方程：求方程解的过程，不同于 “方程的解”（解是结果，解方程是步骤）。 二、一元一次方程的精准定义与核心特征 一元一次方程是方程中最基础的类型，需同时满足四个严格条件，标准形式和特征如下： 1.严格定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2.标准形式：ax+b=0（其中a、b是常数，且 a≠0）。 解读：a是未知数x的系数，b是常数项，a≠0是关键（若a=0，则方程变为b=0，不再含未知数的一次项，不是一元一次方程）。 3.四大核心特征（缺一不可） 特征 具体要求 示例体现 一元 只含一个未知数 3x+5=0（仅含x） 一次 未知数最高次数为 1 2x−1=0（x的次数是 1，无x2、x3等） 整式 等号两边均为整式 分母不含未知数，如+1=3（是整式方程） 等式 必须用等号连接 满足左右两边相等的潜在关系，而非代数 【知识点2】等式的性质 等式性质的核心是 “等式两边进行相同运算，等式依然成立”， 性质 1：加减不变，等式恒成立 文字定义：等式两边同时加（或减）同一个数，或同时加（或减）同一个整式，等式的结果仍然相等。 质 2：乘除有规，零不能作除数 文字定义：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；等式两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍成立。 【知识点3】解一元一次方程:合并同类项及移项 1. 合并同类项：同类项 “抱团” 化简 定义：把方程中含未知数的同类项和常数项分别合并，减少项数，简化方程结构。 核心法则：同类项的系数相加，字母及其指数保持不变（字母和指数 “不动”，只算系数）。 2. 移项：“搬家” 必变号 定义：将方程中的某一项从等号一边移到另一边，目的是把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。 核心法则：移项必变号（“+” 变 “−”，“−” 变 “+”），不移项的项符号不变。 3.高频易错点 “避雷” 指南 **移项忘变号（最常见错误）:移项时先标记要移的项，移动后立刻变号，再检查一遍。 **同类项合并错误:牢记 “同类项需满足字母相同且相同字母指数相同”，合并时只算系数，字母和指数不变。 **漏移项或重复移项:移项前先标注所有项，移完后确保等号两边无重复类型的项。 【知识点4】解一元一次方程:去括号 一、去括号核心法则（必记基础） 1.去掉括号和前面的 “+” 号，括号里各项的符号都不改变。 2.去掉括号和前面的 “-” 号，括号里各项的符号都要改变 3.括号前有系数（重点难点） 法则：先把系数分配到括号内的每一项（用乘法分配律a(b+c)=ab+ac），再根据括号前的符号调整各项符号（若系数为负，本质等同于括号前是 “-” 号）。 核心提醒：系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘常数项。 二、含括号的一元一次方程完整解题步骤 解含括号的一元一次方程，通用流程为 “去括号→合并同侧同类项→移项→合并同类项→系数化为 1”. 【知识点5】解一元一次方程:去分母 .一、去分母核心法则（必懂必会） 1. 核心依据 等式性质 2：等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立。分母的最小公倍数是 “同一个数” 的最优选择，可一次性消除所有分母。 2. 三步标准流程（口诀：找最小公倍→同乘每一项→约分去分母） 关键注意事项 *分子是多项式时，去分母后需加括号，避免后续去括号时符号或运算错误。 *最小公倍数若为负数，可先取正数计算，不影响方程的解；若分母中有小数，可先转化为分数再找最小公倍数。 二、含分母一元一次方程完整解题步骤 通用流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 【知识点6】用一元一次方程解决实际问题 核心解题四步法（通用模板） 审题设元：找出题目中的未知量，设关键未知数为x 找等量关系：这是解题关键！从题干中提炼 “相等” 信息 列方程：根据等量关系，用含x的代数式表示相关量，列出一元一次方程 解方程并检验：求出x的值，代入原题验证是否符合实际意义，最后写答句。 **用一元一次方程解决实际问题的核心步骤如下: 一.配套问题 1.核心公式：甲部件数量 × 甲的搭配倍数 = 乙部件数量 × 乙的搭配倍数 2.解题三步法 找比例：明确两种部件的搭配关系（如 1:2、3:5）； 设未知数：设生产某部件的人数 / 数量为x； 列方程：根据核心公式列等式，求解后检验（结果需为正整数）。 高频易错点 比例颠倒：如 “1 配 2” 是乙 = 2 甲，别写成甲 = 2 乙； 数据忽略实际：人数、部件数必须是正整数，不符则检查题干数据或设元； 漏算效率：综合题中，产量 = 人数 × 单人效率，不能直接用人数代替产量。 二.工程问题 1. 基础公式 工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 核心设定：未明确给出工作量时，默认总工作量为 1，单人工作效率 =  2. 解题四步法 定总量：无具体工作量时，设总工作量为 1； 算效率：根据单人 / 团队完成时间，计算各自工作效率； 找关系：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量” 列方程（如合作效率 × 时间 = 完成工作量）； 验结果：检验解出的时间是否为正数，符合实际场景即作答。 易错点标注 效率算错：总工作量设为 1 时，效率是完成时间的倒数，避免误将时间当作效率； 漏算阶段：分阶段工程（先做 + 合作），需将各阶段工作量相加等于总工作量； 忽略停工：中途停工的人，仅计算实际工作时间对应的工作量，不计算停工时间。 三.销售盈亏问题 1. 必记核心公式 利润 = 售价 - 进价（盈利时利润为正，亏损时利润为负） 利润率 = 利润进价 售价 = 标价 × 折扣（如八折即折扣为 0.8） 售价 = 进价 ×（1 + 利润率）（盈利场景常用） 2. 解题四步法 找关键量：从题干中提取进价、售价、标价、折扣、利润率等已知条件； 设未知数：设核心未知量为x（通常设进价、标价或折扣）； 列方程：根据利润、利润率公式或 “售价与进价的关系” 列等式； 验结果：检验解出的数值是否符合实际（如售价、利润率不能为负），再作答。 高频易错点 利润率基数错：利润率计算的分母是进价，不是售价，避免误算为×100%； 折扣理解错：打几折就是按标价的百分之几十销售，如七五折是 0.75，不是 7.5； 盈亏判断错：利润为正则盈利，利润为负则亏损，不要混淆 “售价高于进价” 的盈利逻辑。 四.比赛积分问题 1. 必记核心公式 总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平局积分（无平局则省略平局项） 胜场积分 = 胜场数 × 每场胜场得分 负场积分 = 负场数 × 每场负场得分（常为 0 分或 1 分） 总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平局数 2. 解题三步法 析规则：从题干中明确每场胜、负、平的得分，以及总场数等已知条件； 设未知数：设胜场数（或负场数、平局数）为x，再用含x的式子表示其他场数； 列方程：根据 “总积分 = 各场次积分之和” 列等式，求解后检验（场数需为非负整数）。 高频易错点 场数关系错：总场数需等于胜、负、平场数之和，避免漏算某类场次； 得分混淆：注意区分胜、负、平的得分，尤其是负场得分常为 0 分，不要误算为 1 分； 结果不验：解出的场数需为非负整数，若出现小数或负数，需检查设元或方程是否错误。 五.和差倍分问题 1. 必记核心关系 和关系：A 数量 + B 数量 = 总数量 差关系：较大数 - 较小数 = 相差数（如 A 比 B 多 5，则 A - B = 5） 倍分关系：倍数量 = 基础量 × 倍数（如 A 是 B 的 3 倍，则 A = 3B） 混合关系：和、差、倍结合（如 A 比 B 的 2 倍多 3，则 A = 2B + 3） 2. 解题三步法 找关键词：提炼题干中 “和、差、倍、多、少” 等核心词，明确数量间关系； 设未知数：优先设 “比”“是” 后面的基础量为x，简化代数式表达； 列方程：根据核心关系列等式，求解后检验结果是否符合实际（如人数、物品数为正整数）。 高频易错点 关键词混淆：“比… 多” 和 “比… 少” 搞反，如 “甲比乙多 3” 是甲乙，而非乙甲； 设元不当：未设基础量为未知数，导致代数式复杂易错，优先设 “是”“比” 后面的量为x； 遗漏数量：多重关系题中，漏算某一个数量（如三个数求和时漏加丙数），需先梳理所有数量再列方程。 六.比列分配问题 1. 核心原理 总量按比例 m:n:p 分配时，设每份为 x，则各部分量分别为 mx、nx、px，且满足 各部分量之和 = 总量。 2. 解题三步法 定比例：明确题干中各部分的分配比例（如 3:2、1:4:5）； 设份数：设每份为 x，用含 x 的式子表示各部分量； 列方程：根据 “各部分量之和 = 总量” 列等式，求解后算出各部分具体数值，检验结果为正数即可。 高频易错点 比例化简遗漏：遇到非最简比例（如 4:6:8），需先化简为 2:3:4 再设元，避免计算复杂； 设元错误：不要直接设某部分量为 x，优先设 “每份为 x”，契合比例分配的核心逻辑； 总量混淆：注意区分 “部分量” 和 “总量”，避免将某部分量当作总量列方程。 七.方案选择问题 1. 核心原理 通过设关键变量（如购买量、使用量、生产数量等），分别列出不同方案的表达式，再通过方程求临界点（两种方案效果相等时的变量值），最后根据变量的实际取值范围，判断最优方案。 2. 解题四步法 列方案：梳理题干中所有可选方案，明确每个方案的计费 / 计价规则； 设变量：设影响方案优劣的核心变量为x（如购买数量、使用时长等）； 建等式 / 表达式：列出各方案的成本 / 收益表达式，通过方程求两种方案相等的临界点； 判最优：根据临界点划分变量范围，结合实际需求选择性价比最高的方案 .高频易错点 漏分情况讨论：忽略方案的优惠门槛（如满减条件、使用限额），未分区间计算费用； 临界点计算错误：解方程时混淆方案的费用表达式，导致临界点数值出错； 忽略实际意义：未结合变量的实际取值（如商品价格、使用时长为正数）判断最优方案，出现逻辑矛盾。 八.数字问题 1. 必记核心公式（数位表示规则） 两位数：十位数字 ×10 + 个位数字（如十位是a、个位是b，则两位数为10a+b） 三位数：百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字（如百位a、十位b、个位c，则三位数为100a+10b+c） 数字关系：相邻数位数字的和 / 差 / 倍数（如十位数字比个位数字大 3） 2. 解题三步法 定数位：明确题目中的数字是几位数，找出已知的数位关系； 设未知数：优先设个位（或十位）数字为x，用含x的式子表示其他数位数字； 列方程：根据 “原数与新数的关系”“数字和差倍关系” 列等式，求解后检验（数字需为 0 - 9 的整数，首位数字不能为 0）。 高频易错点 数位表示错误：混淆数位权重，如将两位数写成a+b（正确为10a+b）； 首位数字为 0：忽略整数首位不能为 0 的规则，如设两位数的十位数字为 0； 数字范围忽略：解出的数字超出 0 - 9 的整数范围，未检验修正； 对调后新数写错：对调数位时漏改权重，如将三位数100a+10b+c对调后误写为100c+10a+b 九,行程问题 1. 必记核心公式 基础公式：路程 = 速度 × 时间（变形：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度） 相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 追及问题：路程差 = 快者走的路程 - 慢者走的路程（同地不同时：路程相等；同时不同地：路程差为初始距离） 分段行程：总路程 = 各段路程之和；总时间 = 各段时间之和 2. 解题四步法 析场景：判断题目属于相遇、追及、分段等哪种类型，明确物体运动方向、速度和时间关系； 设变量：设核心未知量为x（通常设时间、速度，或某段路程）； 列方程：根据核心公式和场景特点，找出等量关系列等式； 验结果：检验解出的数值是否符合实际（速度、时间、路程均为正数），再作答。 路程差判断错：追及问题中，初始距离就是路程差，别漏加或漏减某段路程。 高频易错点 单位不统一：忽略速度、时间单位差异（如速度 km/h 和时间分钟，需先统一单位）； 相遇 / 追及方向混淆：相向而行是相遇，同向而行是追及，避免等量关系列反； 漏算停留时间：分段行程中，休息、停车时间不算行驶时间，不能计入速度 × 时间的计算； 十.几何问题 1. 必记核心公式 （1）线段与角 线段：中点性质（中点将线段分成两条相等线段），线段和差（总线段 = 各分段之和）； 角：余角和为 90°，补角和为 180°，角平分线性质（角平分线将角分成两个相等角）。 （2）平面图形 三角形周长 = 三边之和； 长方形周长 = 2×（长 + 宽），长方形面积 = 长 × 宽； 正方形周长 = 4× 边长，正方形面积 = 边长²； 圆形周长 = 2πr，圆形面积 =πr²（r 为半径）。 （3）立体图形（基础款） 长方体体积 = 长 × 宽 × 高； 正方体体积 = 边长³。 2. 解题三步法 辨图形：明确题目涉及的几何图形（线段、角、长方形等），提取图形性质（如中点、角平分线）； 设未知数：设未知的边长、角度等为x，用含x的式子表示相关线段 / 角度 / 边长； 列方程：根据几何公式或图形性质（如周长关系、余补角关系）列等式，求解后检验（长度、角度为正数，符合图形实际）。 高频易错点 公式混淆：混淆周长和面积公式，如将长方形面积公式错用为 “长 + 宽”； 图形性质遗漏：忽略特殊图形性质，如等腰三角形两腰相等、中点分线段相等，导致等量关系找错； 角度范围错误：三角形内角和为 180°、锐角小于 90° 等，解出的角度需符合这些隐含条件； 单位不统一：计算时忽略单位差异（如边长单位厘米和米），需先统一单位再列方程。 十一.水电费问题 1. 核心计费逻辑 固定单价：费用 = 用量 × 单价（无门槛，直接套用公式）； 分段计费：用量≤起步量，按第一档单价计费；用量＞起步量，费用 = 起步量 × 第一档单价 + 超额部分 × 第二档单价（多档计费以此类推）。 2. 解题三步法 析规则：提取题干中计费档位、对应单价、起步量等关键条件； 设未知数：设实际用量（水 / 电度数）为x，判断x是否超过起步量； 列方程：根据计费逻辑列等式，固定单价直接列方程，分段计费需分区间讨论，求解后检验（用量、费用为正数）。 高频易错点 漏分区间：分段计费时，未判断用量是否超起步量，直接按单一档位列方程； 超额计算错：超额部分用量算成总用量，如超 15 吨时，误将x当作超额量计算； 单位混淆：忽略用量单位（如吨和立方米）、货币单位统一，导致计算错误； 档位单价搞混：多档计费时，混淆不同区间的单价，如将第二档单价用在第一档计算。 十二.动点问题 1. 核心运动关系 动点基本公式：运动路程 = 速度 × 时间（s=vt） 位置表示：设运动时间为t（单位：秒），根据起点、运动方向和速度，用含t的式子表示动点对应的线段长度； 常见等量关系：线段相等、线段和差为定值、点重合（路程相等）等。 2. 解题四步法 定背景：明确动点运动的直线 / 线段、起点、终点、运动方向和速度； 表位置：设运动时间为t，用含t的代数式表示动点经过的路程和当前位置对应的线段长度； 找等量：根据题干条件（如线段相等、点为中点等）列出等式； 验结果：求解后检验t的值是否符合实际（时间非负，动点未超出运动范围）。 高频易错点 方向忽略：未明确动点运动方向（向左 / 向右、同向 / 相向），导致位置表达式错误； 范围遗漏：解出的时间使动点超出线段端点，未检验舍去； 中点计算错：求动点间中点对应的线段长度时，代数式化简错误； 单位不统一：速度单位（如 cm/s）和时间单位（如分钟）未统一，直接计算。 题型1.从算式到方程 【典例】若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值为（   ） A．2 B．0 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数为1且系数不为零，从而求出m的值，再代入代数式计算． 【详解】解：方程为一元一次方程， ∴的指数为1，即， 解得或， 方程中的系数为，需满足，即， ∴排除，仅保留， ∴将代入代数式，原式， 故选：B． 【跟踪训练1】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【跟踪训练2】如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 题型2.等式的基本性质 【典例】已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值，根据 时，代入化简后得到 ，再将所求代数式变形得到：原式，把整体代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：当 时，，， ， ， 整理得： ， 即 ， ， 将 代入， 得：原式 故答案为： 【跟踪训练1】根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【答案】(1)1 (2) (3)5 (4)2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为0）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加1，所以． （2）根据等式两边同时减同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时减2，所以． （3）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘5，所以． （4）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以3，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：5； （4）解：∵， ∴， 故答案为：2； 【跟踪训练2】已知，则下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘同一个数或除以同一个非零数，等式仍然成立．选项C中分母可能为零，导致变形错误． 【详解】解：， A、两边同乘，得，正确； B、两边同减，得，正确； C、当时，不能两边除以0，错误； D、分母为，恒不为零，两边同除，等式成立，正确， 故选：C． 题型3.解一元一次方程(一):合并同类项及移项 【典例】当时，嘉淇计算多项式的值为4，当时，的值为7，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程 利用给定的x和多项式值，代入解方程即可． 【详解】解：∵ 当 时，， ∴ ，即 ， ∵ 当 时，， ∴ ， 代入 ，得 ， ∴ ， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离．设点C所表示的数为，点B所表示的数为，根据两点间距离公式列式得到，据此求解即可． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵B和C互为相反数， ∴点B所表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 【跟踪训练2】若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的概念，根据方程有非负整数解，得出是的倍数，且；再根据多项式是二次三项式，得出且；从而得到为和，求积即可． 【详解】解：， 解得， 是非负整数， ，即，且是整数，故是的倍数， 又是非负整数， 可能为，，，， 多项式是二次三项式， 二次项系数，即， 一次项系数，即， 因此，满足条件的为和， 其积为， 故答案：． 题型4.解一元一次方程(二):去括号法则的应用 【典例】取 时，代数式的值比的值大． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解数量关系，正确列出方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据题意列式，再根据解一元一次方程的方法“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， 去括号，， 移项得，， 合并同类项的，， 系数化为1得，， ∴取时，代数式的值比的值大． 故答案为： ． 【跟踪训练1】按如图的程序计算，若输入的是x=-1，输出为y=0，则a= 【答案】2 【分析】根据运算程序列出方程，计算即可得解． 【详解】解：x=-1时， 输出的数值=[（-1）-1]×1+a=-2+a， ∴-2+a =0 ∴a=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，解一元一次方程，读懂图表信息，理解运算程序是解题的关键． 【跟踪训练2】将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成若定义，例如，则中的值为（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故选：A． 题型5.解一元一次方程(三):去分母 【典例】某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 【跟踪训练1】方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．方程去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 左右两边同乘12，去分母得：， 去括号得：， 题中的变形漏乘了不含分母的项． 故选：B． 【跟踪训练2】解方程，去分母时，方程的两边都乘以 ，得 ． 【答案】 10 【分析】本题考查解一元一次方程中去分母的知识点，解题方法是根据等式性质，找到各分母的最小公倍数，将方程两边同乘这个最小公倍数去掉分母． 方程两边乘以10，去分母后即可得到结果． 【详解】解：2和5的最小公倍数是10，则去分母时，方程两边同时乘以10，得到方程为． 故答案为：； 题型6.一元一次方程的参数求解 【典例】若方程的解是（b为常数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参的一元一次方程的解，把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程 得： 解得： 故答案为：． 【跟踪训练1】已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程，然后结合整数解求出符合条件的的值，再计算绝对值的和即可．正确求出方程的解是解题关键． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴所有整数的绝对值的和为：． 故答案为：． 【跟踪训练2】若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 题型7.一元一次方程解的关联分析 【典例】若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得：， 故选：C． 【跟踪训练1】若方程无解，则与需要同时满足以下哪个条件（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据方程无解，可知含的系数为，常数不为，据此求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当，时，方程有无数个解， 当，时，方程无解， 当时，方程有唯一解， 故选：B． 【跟踪训练2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则方程的可变为， 即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型8.含绝对值的一元一次方程解法 【典例】已知数轴上点、所表示的数分别是，若、两点之间的距离是6，则的值是 ． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握“数轴上两点间距离等于两数差的绝对值”是解题的关键．利用数轴上两点间距离公式（两点表示数的差的绝对值）列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵表示的数为，点表示的数为，、距离为． ∴， ∴或， 当时， ，解得； 当时，解得； 故答案为：或． 【跟踪训练1】已知，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，解题的关键是理解绝对值的几何意义；由题意可分为当时，当时和当时，进而去绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可分为： 当时，则可变形为，解得：（符合题意）； 当时，则无解； 当时，则可变形为，解得：（符合题意）； 故答案为或8． 【跟踪训练2】下列表述中正确的个数是（   ） ①数轴上离原点越远的点表示的数越大；②如果两个数的商为正数，则他们的和也为正数；③若，则或8；④若，则；⑤若（，都不为零），则和的绝对值一定相等；⑥相反数等于其本身的有理数只有零； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，相反数，绝对值方程，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：数轴上离原点越远的点表示的数的绝对值越大；故①说法错误； 如果两个数的商为正数，则两个数同号，它们的和可能为正数，也可能为负数；故②说法错误； 若，则，则或；故③说法正确； 当时，不一定大于，比如，；故④说法错误； ，可以为任意数；故⑤说法错误； 相反数等于其本身的有理数只有零；故⑥说法正确； 故选B． 题型9.一元一次方程应用之配套问题 【典例】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材能做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是（   ） A．用钢材做B部件 B．用做A部件 C．配成仪器480套 D．配成仪器160套 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程是解题的关键．设用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程求解即可． 【详解】解：设用钢材做A部件，钢材做B部件， 由题意得，， 解得， ∴， 刚好配成：（套）． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，配成仪器160套． 故选：D． 【跟踪训练1】某车间有33名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或1800个螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得生产螺钉的工人为人，则生产螺母的工人为人，根据一个螺钉需两个螺母的数量关系找出螺钉与螺母的等量关系：螺母的总数为螺钉总数的两倍，即可求解． 【详解】生产螺钉的工人为人，工人总数为：33人， 生产螺母的工人为人， 一个螺钉需两个螺母配套，每人每天可生产螺钉1200个或螺母1800个， 为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则生产螺母的总数为螺钉总数的两倍， 可列等量关系式为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，通过数量关系找出等量关系是解题关键． 【跟踪训练2】某瓷器厂共有名工人，每名工人天能做只茶杯或只茶壶，且只茶杯和只茶壶为套．要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排 人生产茶壶， 人生产茶杯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，可得，解方程得出生产茶杯的人数，进而求得生产茶壶的人数，即可求解． 【详解】解：设安排人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意， 得， 解得． 人生产茶壶 故答案为：，． 题型10.一元一次方程应用之工程问题 【典例】小猫去河边钓鱼，晴天每天钓6条，雨天每天钓9条，一连钓6天，平均每天钓7条，那么有 天是晴天． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设晴天有天，则雨天有天．晴天钓鱼总数为条，雨天钓鱼总数为 条．总钓鱼条数为条列方程求解即可． 【详解】解：设晴天有天，则雨天有天， 列方程： 解得． 故答案为：． 【跟踪训练1】一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲请了天假，则甲实际工作天，根据工作效率，甲、乙、丙的工作效率分别为、、，乙和丙工作6天，甲工作天，总工作量为1，列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲请了天假，则甲的工作量为，乙的工作量为，丙的工作量为， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：3． 【跟踪训练2】某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合做完成此项工作，设甲一共做了x天，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设甲一共做了x天，则乙一共做了天，再设总的工作量为单位“1”，根据“效率×时间=工作量”分别用式子表示甲、乙的工作量，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量”即可列出方程． 【详解】解：设甲一共做了x天，则乙一共做了天， 设工程总量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意可得出方程． 故选：B． 题型11.一元一次方程应用之销售盈亏问题 【典例】某商场把进价为2000元的商品按标价的八折出售，仍获利，则该商品的标价为（　　） A．2500元 B．2650元 C．2750元 D．3000元 【答案】C 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是用代数式表示出商品的售价并正确地列出方程 设该商品的标价是x元，则售价是元，利润是元，等量关系是售价减去进价等于利润，列方程求出x的值即可． 【详解】解：设该商品的标价是x元， 根据题意得：， 解得． 故该商品的标价为2750元． 故选：C． 【跟踪训练1】某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本价计算，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中他（   ） A．赚18元 B．赚36元 C．亏18元 D．不赚不亏 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决销售问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设两件上衣的进价分别为元和元，根据盈亏列出方程，求解即可． 【详解】解：假设两件上衣的进价分别为元和元，根据题意得， 解得， 解得， ∴（元） 在这次买卖中他亏18元， 故选：C． 【跟踪训练2】小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了 元． 【答案】7.5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． 通过售价和盈利或亏损百分比分别计算两盒坚果的成本，再求总成本与总售价的差值． 【详解】解：设盈利坚果的成本为元， 根据盈利，得， 解得． 设亏损坚果的成本为元， 根据亏损，得，解得． 总成本为（元）， 总售价为（元）， 因此赚了（元）． 故答案为：7.5． 题型12.一元一次方程应用之比赛积分问题 【典例】英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，小华选对了 道题． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小华选对了x道题，则不选或错选道题，根据得分规则列出方程求解，即可作答． 【详解】解：设小华选对了x道题，则不选或错选道题， 由题意得：， 化简得：， 即， 移项得：， 解得， 故答案为． 【跟踪训练1】一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中 个三分球？ 个两分球？罚中 个球？（每罚中1球得1分） 【答案】 2 6 2 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设投中三分球个数为x，表示出其它两种情况，利用总得分列方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个数为， 根据总得分列方程： ， 即， 整理得， 解得， 则， 故答案为：2，6，2． 【跟踪训练2】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共有 个球队参赛，根据每两队之间都进行一场比赛，且共比赛 50 场，即可得出关于 的 一元二次方程，此题得解； 【详解】设共有 个球队参赛， 依题意， 得： 故选D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键 题型13.一元一次方程应用之和差倍分问题 【典例】几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 【跟踪训练1】某校七年级（1）（2）（3）三个班共128人参加了一个课外活动，其中七（1）班有38人参加，七（2）班参加的人数比七（3）班多10人，七（2）有班（　  ）人参加活动 A．50 B．40 C．30 D．60 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设七（2）班参加活动人数为x，则七（3）班参加活动人数为，根据总人数为128列方程，解方程即可． 【详解】解：设七（2）班参加活动人数为x， ， 解得， 即七（2）班参加活动人数为50人， 故选：A． 【跟踪训练2】某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键． 先求出男生的人数，设转来的女生有人，再根据不变的是男生人数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：初始总人数为120人，男生占，故男生人数为人． 设转来的女生有人，则，解得：． 所以转来的女生人数为人． 题型14.一元一次方程应用之比例分配问题 【典例】有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 【跟踪训练1】（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 【答案】31 【分析】本题主要考查溶液的浓度问题，浓度，解题的关键是理解题意，掌握溶液浓度公式． 根据两种溶液先算出乙浓度再进行求解即可． 【详解】解：加入乙得到溶液A有： ，其中酒精有 ； 加入乙得到溶液 ，其中酒精有 ； 则溶液 A、B 相差 的乙溶液，酒精含量相差 ， 则乙溶液浓度为 ， 设甲溶液浓度为 则溶液A可知， ， 当加入乙时，浓度为 故答案为：31． 【跟踪训练2】在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 题型15.一元一次方程应用之方案选择问题 【典例】某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】可设游泳x次，得到购买会员证需付元，不购买会员证需付元，再根据购会员证与不购证付一样的钱的等量关系列出方程求解即可； 【详解】解：设游泳x次，则购买会员证需付元，不购买会员证需付元， 由题意可得：. 解得． 答：当游泳25次时，购买会员证与不购买会员证花费相同． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程解答． 【跟踪训练1】把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案． 【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得： ； 故选B． 【跟踪训练2】学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 辆汽车，共有 人春游． 【答案】 8 388 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的相等关系； 设有辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有辆汽车，根据“若每辆汽车坐人，则有人没有座位”，可知学生总数为人， 根据“若每辆汽车坐人，则只有一辆车空个座位无人坐，其余车辆全部坐满”，可知学生总数为人， 因学生总数不变，可列方程：， 解得：， 学生总数为人， 故答案为：． 题型16.一元一次方程应用之数字问题 【典例】一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数的约分，一元一次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键． 设原分数为，根据分子与分母的和为52，列出方程求解，再代入得到原分数． 【详解】设原分数的分子为，分母为（为正整数），则 故原分子为，原分母为 ，原分数为， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，，这个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的个数字之和都相等．已知图中的、分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算、解一元一次方程，设空白的圆中的数为，则内圆中个数的和为，横行中个数的和为，根据横、竖，以及内外两圈上的个数字之和都相等，可列等式，移项、合并同类项即可求出结果． 【详解】解：设空白的圆中的数为， 则内圆中个数的和为，横行中个数的和为， 根据题意可得：， 移项可得：， ． 故答案为：． 【跟踪训练2】有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…．其中某三个相邻数的和是，则这三个数中，中间的一个数为（    ） A．128 B．256 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用．根据规律设中间这个数为，则左右两个数为，根据题意，列出方程进行求解即可．找准规律，列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由数列可知，前后两数的商为，设中间这个数为，则左右两个数为， 由题意，得：， 解得：； 故选B． 题型17.一元一次方程应用之行程问题 【典例】甲乙练习赛跑，甲每秒跑，乙每秒跑，甲让乙先跑，设x秒后甲可追上乙，则下列方程中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是根据题意列方程的题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“甲秒跑的距离乙秒跑的距离米”列出关于的方程，从而可对A作出判断； 接下来，对方程进行变形，从而可对B、C、D三个选项作出判断． 【详解】解：甲秒跑的距离为，乙秒跑的距离为， 根据后甲追上乙，列出方程为：，故A正确； 对方程进行变形可得，，故C、D正确； 故选：B． 【跟踪训练1】小明和小聪一起去操场跑步，小明跑一圈要用分钟，小聪跑一圈要用分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，（    ）分后小聪超出小明一整圈． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了追及问题中的速度差应用，小聪超出小明一整圈，即小聪比小明多跑一圈，根据速度差公式，所需时间等于一圈的长度除以速度差． 【详解】解：设一圈长度为， 小明速度为，小聪速度为， 速度差为， 设分钟后小聪超出小明一圈， 根据题意可得：， 即， ， 分钟后小聪超出小明一整圈． 故选：C． 【跟踪训练2】某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设货车速度为，则轿车速度为，根据货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多列出方程，通过解方程求解． 【详解】解：设货车速度为，则轿车速度为， 得方程： ， 解得：， 故最高限速为． 故答案为：100． 题型18.一元一次方程应用之几何问题 【典例】长方形的周长为，长比宽多，设长方形的宽为，可列方程为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系及长方形周长公式的应用．根据长方形周长公式和长与宽的关系列方程，周长等于长与宽之和的2倍，长比宽多． 【详解】解：设宽为，则长为， ∴，化简得． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练1】如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，熟练掌握折叠的性质（对应点到折点的距离相等）和数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 先确定点A的落点可能的位置，再根据折叠的性质（折叠后点C到点A的距离等于点C到其落点的距离），设点C表示的数为，列方程求解． 【详解】解：设点C表示的数为，点A的落点为． 当在点B右侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后， ， 解得， 当在点B左侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后 ， 解得， 故答案为：或． 【跟踪训练2】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如下图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则的值为（   ） A．80 B．100 C．120 D．140 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用．由题意可知：重叠部分为：，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为80为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为：， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴， 故选：B． 题型19.一元一次方程应用之水电费问题 【典例】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过立方米，按每立方米元收费；如果超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某用户月份的煤气费平均每立方米元，那么月份该用户应交煤气费(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键．月份的煤气费平均每立方米.元，那么煤气一定超过立方米，等量关系为：超过米的立方数所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以即为煤气费． 【详解】解：设月份用了煤气立方， 则， 解得：， 元， 故选：B． 【跟踪训练1】某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过10吨，每吨收费4元；若超过10吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费60元，则他家该月用水（    ） A．12吨 B．14吨 C．15吨 D．16吨 【答案】B 【分析】设小明家该月用水xm3，先求出用水量为10吨时应交水费，与60比较后即可得出x＞10，再根据应交水费=40+（4+1）×超过10吨部分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明家该月用水x吨， 当用水量为10吨时，应交水费为10×4=40（元）． ∵40＜60， ∴x＞10． 根据题意得：40+（4+1）（x-10）=60， 解得：x=14． 即：小明家该月用水14吨． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系应交水费=50+3×超过25m3部分列出关于x的一元一次方程． 【跟踪训练2】为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 【答案】 99 360 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由，利用该居民12月份需要交电费的金额该居民12月份的用电量，可求出该居民12月份需要交电费的金额；设该居民家12月份用电x度，求出用电量为240度及400度时需交电费金额，由，可得出，再根据该居民12月份交电费222元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴该居民12月份需要交电费（元）； 设该居民家12月份用电x度， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 即该居民家12月份用电360度． 故答案为：99，360． 题型20.一元一次方程应用之动点问题 【典例】小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 【跟踪训练1】一水平放置的数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为6．一点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动，到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动．设运动时间为秒，当 时，点到点的距离为8． 【答案】4或12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，由题意可得点、之间的距离为，故当点运动到点时，点到点的距离为8，点到达点后立即返回，表示的数为，再根据题意列出一元一次方程，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴点、之间的距离为， ∵点从点出发以每秒2个单位速度沿数轴向右运动， ∴当点运动到点时，点到点的距离为8，所花时间为秒， ∵点到达点后立即返回，之后便沿数轴一直向左运动， ∴点到达点后立即返回，表示的数为， ∵点到点的距离为8， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，点到点的距离为8， 故答案为：4或12． 【跟踪训练2】数轴上A，B两点分别为﹣10和90，两只蚂蚁分别从A，B两点出发，分别以每秒钟3个单位长和每秒钟2个单位长的速度匀速相向而行，经过 秒，两只蚂蚁相距20个单位长． 【答案】16或24 【分析】由点A、B表示的数可求出线段AB的长，设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长，利用两只蚂蚁的路程之和＝两只蚂蚁的速度之和×运动时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵数轴上A、B两点分别为−10和90， ∴线段AB的长度为90−（−10）＝100个单位长． 设经过x秒，两只蚂蚁相距20个单位长， 依题意得：（3＋2）x＝100−20或（3＋2）x＝100＋20， 解得：x＝16或x＝24． 故答案为：16或24． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 2．有个球，其中的球质量相同，另有个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球． 【答案】 【分析】先把个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球， 【详解】解：先把个球分成个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组； 再把球轻的哪个组的个球，分成，，三组，把个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球； 若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球， 故至少次可以找出这个较轻的球． 故答案为： 【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键 3．找规律回答问题，如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第 个图形． 【答案】98 【分析】本题主要考查图形规律，代数式，一元一次方程，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据图形，得出第个图形的点的个数为：，当其中一个图形有295个点时，得到，求出，即可解答． 【详解】解：根据图形，得出点的个数： 第一个图：4个； 第二个图：（个）； 第三个图：（个）； 第四个图：（个）； ．．．．．．， 按此规律，得 第个图形，点的个数为：． 当其中一个图形有295个点时，得到 ， 解得． ∴如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第98个图形， 故答案为：． 4．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 先分别求出两个方程的解，然后根据方程①的解比方程②的解小4，列出方程，然后即可求解． 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． 5．关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，分情况讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将方程化为，解得，由于解为整数，因此必须是4的约数，列出所有整数的可能取值并求和． 【详解】解：方程移项得，即，解得． 由于为整数，因此为整数，即是4的约数． 4的约数有、、， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数的所有可能取值为、、、、、， 它们的和为． 6．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个三阶幻方，它的每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数字之和都相等，则代数式的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键． 利用幻方中每一行、每一列及每条对角线上的三个数字之和相等的性质，列出方程求解出未知数，，，的值，再代入代数式 计算． 【详解】解：如图所示，设另外两个数分别为，， 由，得， 由，得， 由，得， 由，得， ． 故答案为：36． 7．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 8．下列说法： ①单项式的系数是； ②多项式的项分别是、、1； ③把多项式按的降幂排列正确的是； ④若，则且； ⑤若，则； ⑥是代数式； ⑦若，则； ⑧若是关于的一元一次方程的解，则的值为2． 正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查单项式系数、多项式项、降幂排列、不等式性质、绝对值运算、代数式定义、不等式及一元一次方程解的概念，熟练掌握基本概念和反例是判断关键，注意符号和特殊情况． 逐一分析每个说法，根据对应概念和性质判断正误即可． 【详解】解：① ∵ 单项式系数包括常数， ∴ 系数为 ，错误． ② ∵ 多项式项包括符号， ∴ 项为 、、，而非 ，错误． ③ ∵ 按 降幂排列应为 ，但给定为 ，符号错误． ④ 时 和 同号即可，不一定都正，错误． ⑤ ∵ 表明两正一负， ∴ ，错误． ⑥ 是不等式，非代数式，错误． ⑦ 当 时 ， 但 ，不成立，错误． ⑧ ∵ 代入 得 ， ∴ ，错误． 综上，所有说法均错误，正确个数为0． 故选A． 9．关于x的方程恰有三个解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值方程． 先解绝对值方程，求出方程的四个解，再根据绝对值的非负性得到，即，可知，则四个解的大小为，根据关于x的方程恰有三个解，可知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴或或或， 即或或或． ∵， ∴． 即 ∵关于x的方程恰有三个解， ∴， ∴． 故选：B． 10．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：； （2）； 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （3） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：； （4） 去分母，得 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为得：． 12．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 13．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)290；540 (2)元 (3)580元 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； （2）解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 15．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)若，求x 的值； (2)求 的最小值； (3)当___________时的最小值是___________．（只需写出结果） 【答案】(1)1或 (2)4 (3)2，5 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示求所对应的点到1和所对应的点的距离和； （3）表示求所对应的点到和4所对应的点的距离和，利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解： 表示所对应的点之间的距离为3， 或， 故答案为：1或； （2）解：可以看作对应的点到1和对应的点的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，距离和最小为； 有最小值，最小值为4； （3）解：可以看作对应的点到和4所对应的点的距离和， 当时，距离和最小为； 当时，的最小值为5， 故答案为：2，5； 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 【答案】(1) (2)n的值为0或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：； 解方程得：； ∴， 解得：； （2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有， 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 综上所述：n的值为0或1． 17．如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 18．在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 【答案】6个 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用． 解题的关键是设定合适的变量，根据原有学生数+新增学生数=打餐窗口处理的学生数这一相等关系建立方程，进而求解需要开放的售饭窗口数量． 【详解】设每个售饭窗口每分钟可打餐人，则学生每分钟增加人，依题意可列方程： 可得： 又设20分钟打完餐需开放个售饭窗口，可列方程为： 可得： 答：需要同时开放6个售饭窗口． 19．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 20．点、点为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为．点为数轴的原点．已知，关于的方程的解是，关于的单项式的次数是6． (1) ， ； (2)定义：在数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是【】的美好点．例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到的距离是2，到的距离是1，那么，点是【】的美好点：又如：表示0的点到的距离是1，到的距离是2，那么，点就不是【】的美好点，但点是【】的美好点． 根据以上定义，请求出【】的美好点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点在点、点之间时，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即调转方向沿数轴向右运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的4倍，运动到点后停止，点也从原点与同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点后立即调转方向沿数轴向左运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的，到原点后停止．设点的运动时间为，当点恰好为【】的美好点时，求的值． 【答案】(1)； (2)美好点表示的数为或 (3)的值为、、、、 【分析】本题考查了数轴动点的分段分析、一元一次方程的求解及“美好点”定义的应用，解题的关键是准确划分动点运动阶段，结合“美好点”定义列方程求解． （1）代入方程解求；利用单项式次数定义求； （2）分点在左、间、右三种情况，列绝对值方程求表示的数； （3）确定，分阶段分析、的运动坐标，结合“美好点”定义列方程求． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得； 单项式的次数为， 解得． 故答案为：；． （2）解：设表示的数为，：，：，分三种情况： ①时，，解得（舍去）； ②时，，解得； ③时，，解得． 故【、】的美好点表示的数为或． （3）解：由（2）知（、之间）． 的运动： ：； ：（速度为4）； ：停在． 的运动： ：； ：（速度为2）； ：停在． 分阶段列方程： ①：， ：，得； ：，得． ②：， ：，得． ③：， ，得； ，得． 综上，的值为、、、、． 答：的值为、、、、． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $