期末复习03整式的加减讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学整式加减复习讲义以“定义-判定-法则-应用”为主线构建知识体系，通过框架图梳理同类项、去括号、合并同类项等核心知识点，用对比表格呈现“两同两无关”等关键判定，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，涵盖同类项判断、整式化简求值等12类常考题型，如“无关型问题”通过合并同类项令系数为0培养抽象能力，“带字母的绝对值化简”结合数轴提升运算能力。每个题型配典例与跟踪训练，基础生可掌握步骤，优生能拓展思维，助力教师实施精准复习教学。

期末复习03 整式的加减讲义 . 【知识点01】同类项 一、定义（精准版） 所含字母完全相同，且相同字母的对应指数也完全相同的单项式叫做同类项；所有常数项都是同类项。 二、判定关键（两 “同” 两 “无关”） 1.两 “同”（必须同时满足） *字母相同：比如3xy和-5xy都含x、y，是同类项；2x²和3xy字母不同，不是同类项。 *相同字母指数相同：比如5x³y²和-x³y²，x的指数都是 3，y的指数都是 2，是同类项；4a²b和7ab²，相同字母指数不同，不是同类项。 2.两 “无关”（不影响判定） *与系数无关：系数不管是正数、负数、整数、分数，只要满足两 “同” 就是同类项，比如2x和-8x。 *与字母顺序无关：比如6ab和-3ba，字母顺序不同，但满足两 “同”，是同类项。 【知识点02】去括号. 1.核心规则 括号前是 “+” 号 ，去掉括号和前面的 “+” 号，括号内各项的符号不变； 括号前是 “-” 号 ，去掉括号和前面的 “-” 号，括号内各项的符号全部改变； 括号前有数字因数，要将数字连同符号一起乘括号内的每一项，再去括号。 2.易错点提醒 勿漏乘：括号前有数字时，不能只乘第一项，要乘括号内所有项； 全变号：括号前是 “-”，括号内所有项都要变号，不能漏变某一项。 【知识点03】添括号 核心规则 添括号时，括号前是 “+” 号 ，括号内各项的符号不变； 括号前是 “-” 号 ，括号内各项的符号全部改变； 添括号是去括号的逆运算，添括号后，括号与括号前的符号是一个整体。 【知识点04】合并同类项 1.核心定义 合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项的运算， 2.法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 3.必备前提 先通过 “两同两无关” 判断同类项，确保合并的项符合要求（常数项直接合并系数）。 4、解题步骤（四步走） (1)找：找出多项式中的所有同类项（可标注相同符号区分）； (2)移：利用加法交换律、结合律，将同类项连同前面的符号移到一起（移项要变号）； (3)合：按法则合并系数，字母和指数不变； (4)查：检查结果是否为最简整式，无同类项即可。 5、高频易错点 漏带符号：移项时忘记连同符号一起移动 指数改变：合并时误改字母的指数 常数项出错：常数项合并时漏算符号 【知识点05】整式加减 一、核心法则 整式加减的实质是去括号和合并同类项，所有运算都遵循 “先去括号，再合并同类项” 的顺序，同时满足加法交换律、结合律。 二、解题步骤（三步规范流程） 1.列算式：根据题意将整式用 “+”“-” 连接，注意括号的添加（如求两个整式的差，被减式要加括号）； 2.去括号：按去括号规则处理，括号前有数字因数的，先把数字乘到括号内再去括号； 3.合并项：找出同类项，移项后合并系数，字母和指数不变，得到最简结果。 三、易错点警示 去括号漏变号：括号前是 “-” 时，括号内部分项未变号； 数字因数漏乘：括号前有数字时，只乘第一项，漏乘其他项； 同类项合并错误：合并时误改字母指数或漏带符号。 常考题型要点 化简求值：先化简整式，再代入数值（避免直接代值计算繁琐）。 无关型问题：化简后，令 “无关项” 的系数为 0，解方程求参数。 含字母的绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号后合并同类项。 题型1.单项式相关 【典例】下列代数式中a，-2ab，，x2+y2，-1，ab2c3，单项式共有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【跟踪训练1】若单项式的系数为，次数为n，则 ． 【跟踪训练2】观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【跟踪训练3】观察下列代数式：，，，，…按照此规律排列下去，则第个单项式表示为 ． 题型2.多项式相关 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．单项式的次数是1，没有系数 C．是二次三项式 D．的常数项是2 【跟踪训练1】若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 题型3.整式的判断 【典例】下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 【跟踪训练1】已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【跟踪训练2】已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型4.同类项的判断 【典例】下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C． 与 D．与 【跟踪训练1】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【跟踪训练2】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 题型5.已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例】单项式与单项式是同类项，则的值为 ． 【跟踪训练1】若单项式与的和仍是一个单项式， ， ． 【跟踪训练2】在下列说法中，正确的是（    ） A．若与是同类项，则 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．的系数为 题型6.合并同类项 【典例】下面的计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若a，b为常数，三个单项式，，的和仍然是单项式，则的值是 ． 【跟踪训练2】已知数轴上有、两点，、之间的距离为，与原点的距离为，则所有满足条件的点与原点的距离和为 （用、来表示） 题型7.去括号.添括号 【典例】下列去括号、添括号的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若，则 ． 【跟踪训练2】在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（ ）． 题型8.整式的加减运算 【典例】当是整数时，整式一定是 的倍数． 【跟踪训练1】写出一个单项式 ，使它和多项式的和为单项式． 【跟踪训练2】将一个有理数m先减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A．m B．m C．m D．m 题型9.整式加减中的化简求值 【典例】已知，则代数式的值是（   ） A． B．34 C．30 D． 【跟踪训练1】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【跟踪训练2】如图，两个正方形的边长分别为，如果，则阴影部分面积是 ． 题型10.整式加减中的无关型问题 【典例】当 时，多项式中不含项． 【跟踪训练1】如图，点为原点，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，点从点开始以每秒3个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点分别以每秒2个单位和每秒4个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值为一定值，则 ． 【跟踪训练2】已知，为常数，三个单项式，，的和仍为单项式，则的值的个数共有(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.整式加减的应用 【典例】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后两船相距（    ）千米． A．200 B．400 C． D． 【跟踪训练1】如图所示，将边长分别为，，的正方形放置在长，宽的长方形中．已知，则阴影部分的周长为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练2】一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“倍和数”百位上的数字与十位上的数字之和为，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的和为 ． 题型12.带字母的绝对值化简问题 【典例】若，则 ． 【跟踪训练1】已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ． 【跟踪训练2】有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　　） A．3a+2a=5a2 B．﹣2ab+2ab=0 C．2a3+3a2=5a5 D．3a﹣a=3 2．已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 3．若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 4．下列结论正确的个数是（    ） ①不是单项式； ②多项式是三次三项式； ③的系数是，次数是6； ④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 6．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 7．已知，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 8．当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 9．已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 10．对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 12．若化简的结果与的取值无关，则值为 ． 13．已知，且，则 ． 14．将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是 ． 15．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 16．已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 三、解答题 17．先化简，再求值 ，其中，． 18．已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 20．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1  已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为和2，即a的值为2和． 例2  已知，求的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和，即a的值为3和． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值； (4)若数轴上表示的点在与2之间，求的值； (5)当满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ 21．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． (1)2022属于_______类（A，B或C）； (2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）； (3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）． ①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④属于A类． 22．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 整式的加减讲义 . 【知识点01】同类项 一、定义（精准版） 所含字母完全相同，且相同字母的对应指数也完全相同的单项式叫做同类项；所有常数项都是同类项。 二、判定关键（两 “同” 两 “无关”） 1.两 “同”（必须同时满足） *字母相同：比如3xy和-5xy都含x、y，是同类项；2x²和3xy字母不同，不是同类项。 *相同字母指数相同：比如5x³y²和-x³y²，x的指数都是 3，y的指数都是 2，是同类项；4a²b和7ab²，相同字母指数不同，不是同类项。 2.两 “无关”（不影响判定） *与系数无关：系数不管是正数、负数、整数、分数，只要满足两 “同” 就是同类项，比如2x和-8x。 *与字母顺序无关：比如6ab和-3ba，字母顺序不同，但满足两 “同”，是同类项。 【知识点02】去括号. 1.核心规则 括号前是 “+” 号 ，去掉括号和前面的 “+” 号，括号内各项的符号不变； 括号前是 “-” 号 ，去掉括号和前面的 “-” 号，括号内各项的符号全部改变； 括号前有数字因数，要将数字连同符号一起乘括号内的每一项，再去括号。 2.易错点提醒 勿漏乘：括号前有数字时，不能只乘第一项，要乘括号内所有项； 全变号：括号前是 “-”，括号内所有项都要变号，不能漏变某一项。 【知识点03】添括号 核心规则 添括号时，括号前是 “+” 号 ，括号内各项的符号不变； 括号前是 “-” 号 ，括号内各项的符号全部改变； 添括号是去括号的逆运算，添括号后，括号与括号前的符号是一个整体。 【知识点04】合并同类项 1.核心定义 合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项的运算， 2.法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 3.必备前提 先通过 “两同两无关” 判断同类项，确保合并的项符合要求（常数项直接合并系数）。 4、解题步骤（四步走） (1)找：找出多项式中的所有同类项（可标注相同符号区分）； (2)移：利用加法交换律、结合律，将同类项连同前面的符号移到一起（移项要变号）； (3)合：按法则合并系数，字母和指数不变； (4)查：检查结果是否为最简整式，无同类项即可。 5、高频易错点 漏带符号：移项时忘记连同符号一起移动 指数改变：合并时误改字母的指数 常数项出错：常数项合并时漏算符号 【知识点05】整式加减 一、核心法则 整式加减的实质是去括号和合并同类项，所有运算都遵循 “先去括号，再合并同类项” 的顺序，同时满足加法交换律、结合律。 二、解题步骤（三步规范流程） 1.列算式：根据题意将整式用 “+”“-” 连接，注意括号的添加（如求两个整式的差，被减式要加括号）； 2.去括号：按去括号规则处理，括号前有数字因数的，先把数字乘到括号内再去括号； 3.合并项：找出同类项，移项后合并系数，字母和指数不变，得到最简结果。 三、易错点警示 去括号漏变号：括号前是 “-” 时，括号内部分项未变号； 数字因数漏乘：括号前有数字时，只乘第一项，漏乘其他项； 同类项合并错误：合并时误改字母指数或漏带符号。 常考题型要点 化简求值：先化简整式，再代入数值（避免直接代值计算繁琐）。 无关型问题：化简后，令 “无关项” 的系数为 0，解方程求参数。 含字母的绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号后合并同类项。 题型1.单项式相关 【典例】下列代数式中a，-2ab，，x2+y2，-1，ab2c3，单项式共有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握“单项式是数字与字母的积或单独的数字、字母”是解题的关键． 依据单项式的定义，逐一判断每个代数式是否为单项式． 【详解】解：对于：是单独字母，是单项式； 对于：是数字与字母的积，是单项式； 对于：含加法运算，不是单项式； 对于：是多项式，不是单项式； 对于：是单独数字，是单项式； 对于：是数字与字母的积，是单项式． ∴单项式有、、、，共4个． 故选：C． 【跟踪训练1】若单项式的系数为，次数为n，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握单项式系数是数字因数、次数是所有字母指数之和是解题的关键． 根据单项式系数和次数的定义，分别确定系数和次数，再计算． 【详解】解：∵ 单项式的数字因数是， ∴ ∵ 单项式中的次数是，的次数是， ∴ ， ∴， 故答案为： 【跟踪训练2】观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ． 【答案】 【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是指数的规律：第个对应的指数是，进而解答即可． 【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律： ①系数：，得系数规律为， ②字母及其指数：，得到字母规律为， 综合起来规律为， 第个单项式是，第个单项式为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【跟踪训练3】观察下列代数式：，，，，…按照此规律排列下去，则第个单项式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究；通过观察代数式的系数和指数的变化规律，发现系数是的幂次且符号交替，指数与序号相同，从而得出第个单项式的表达式． 【详解】解：观察给定的代数式：第项为，第项为，第项为，第项为， 系数依次为，可表示为； 的指数依次为 ，可表示为． 因此，第个单项式为． 故答案为：． 题型2.多项式相关 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．单项式的次数是1，没有系数 C．是二次三项式 D．的常数项是2 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，包括系数、次数、项数和常数项等。根据初中数学教材定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：单项式 的系数是，不是，次数是 ，故A错误. 选项B：单项式的系数是，次数是，故B错误. 选项C：多项式中，最高次项 和 的次数均为，且有三项，因此是二次三项式，故C正确. 选项D：多项式 的常数项是，不是 ，故D错误. 故选：C． 【跟踪训练1】若代数式关于，的五次三项式，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号），次数最高的项的次数即为该多项式的次数，多项式通常说成几次几项式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵代数式关于，的五次三项式， ∴且， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 【跟踪训练2】若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟悉掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式的定义求出这个多项式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式为二次三项式， ∴，， ∴，， 即多项式为， 当时，二次三项式． 故选：B． 【跟踪训练3】观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式概念，通过观察可知，此多项式中的各项除常数项外均为四次项，且按b升幂排列，由此可以确定括号的内容． 【详解】解：∵多项式中的各项除常数项外其余均为四次项，且按b升幂排列， ∴符合此条件的为． 故选：C． 题型3.整式的判断 【典例】下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式，根据单项式和多项式统称为整式，由此判断即可，熟知整式包括单项式和多项式是解题的关键． 【详解】解：整式有，，，，，，共个， 故答案为：． 【跟踪训练1】已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查整式和单项式的概念． 逐个判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式包括单项式和多项式，且两个式子都是单项式，∴说法①正确； ∵单项式是数字与字母的乘积，两个式子都符合，∴说法②正确； ∵第一个式子的次数为，第二个式子的次数为，次数相同，∴说法③正确； ∵第一个式子的系数为，第二个式子的系数为，都是整数，∴说法④正确； ∵两个式子都含有字母和，∴说法⑤正确； 综上，5个说法都正确． 故选：A． 【跟踪训练2】已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键．根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，且，为正整数，说法①，若为二次式，则，则， ，即， ，，，，为整数，，为正整数， ，，；或，，；或，，； 只有两项或一项，故不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式，故①说法错误； 说法②：当时和时，整式的最高次为， 当时，， ，，，， ， ， 整式为：， 满足的整式之和必有出现，故②说法错误； 说法③：由上述分析可知，当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，共个， 满足条件的整式的个数有个，故③说法正确； 正确的个数为个， 故选：B． 题型4.同类项的判断 【典例】下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C． 与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，只需比较各选项中两个单项式的字母部分是否一致． 【详解】解： 选项A：的字母部分为，的字母部分为，指数不同，不是同类项； 选项B：即，与的字母部分均为，指数相同，是同类项； 选项C：的字母部分为， 的字母部分为，字母不同，不是同类项； 选项D：的字母部分为，的字母部分为，字母不同，不是同类项． 故选：B． 【跟踪训练1】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义、整式的代入求值，根据同类项的定义，得 和 ，求得，，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴ 和 ， 解得，，， ∴， 故答案为：13． 【跟踪训练2】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的概念，绝对值方程，有理数加法运算等知识点，准确理解“准同类项”的新定义并正确列出方程是解题的关键． 根据“准同类项”的新定义列出方程，解方程即可求出、的值，然后将、相加，即可得出所有可能的结果，于是得解． 【详解】解：由“准同类项”的定义可得： 或，或， 解得：、、，、、， 、、、、，共有种可能的结果， 故答案为：． 题型5.已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例】单项式与单项式是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查已知同类项求指数中字母或代数式的值． 根据同类项的定义，列方程，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵ 单项式与单项式是同类项， ∴，， 解得，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 【跟踪训练1】若单项式与的和仍是一个单项式， ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键． 两个单项式的和仍是一个单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，据此列式求解即可． 【详解】解：由于两个单项式的和是单项式，所以它们是同类项． 因此，，． 解得． 故答案为． 故答案为：1，2． 【跟踪训练2】在下列说法中，正确的是（    ） A．若与是同类项，则 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．的系数为 【答案】A 【分析】本题主要单项式次数和系数的定义 ，多项式的次数和项的定义，同类项的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得答案． 【详解】解；A、若与是同类项，则，则，原说法正确，符合题意； B、的次数为5，原说法错误，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D、的系数为，原说法错误，不符合题意； 故选；A． 题型6.合并同类项 【典例】下面的计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、去括号法则等法则；根据整式的运算法则逐项分析即可． 【详解】解：∵ A．，∴ A错误； B．不是同类项，不能合并，∴ B错误； C．（去括号时，负号改变括号内各项符号），∴ C正确； D．，∴ D错误； 故选：C． 【跟踪训练1】若a，b为常数，三个单项式，，的和仍然是单项式，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了合并同类项及同类项．根据三个单项式，，的和仍然是单项式，可得或，即可求得答案． 【详解】解：三个单项式，，的和仍然是单项式， ∴或， ∴，或，， ∴或． 故答案为：或． 【跟踪训练2】已知数轴上有、两点，、之间的距离为，与原点的距离为，则所有满足条件的点与原点的距离和为 （用、来表示） 【答案】或 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的定义，解题的关键是分类讨论．由题意可得点对应的数是，当点对应的数是时，则点对应的数是或；当点对应的数是时，则点对应的数是或；所有满足条件的点与原点的距离之和为，分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】解：与原点的距离为， 点对应的数是， 当点对应的数是时，则点对应的数是或； 当点对应的数是时，则点对应的数是或； 所有满足条件的点与原点的距离之和为， 当时，点与原点的距离之和为， 当时，点与原点的距离之和为， 故答案为：或． 题型7.去括号.添括号 【典例】下列去括号、添括号的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的去括号法则；括号前是负号时，去括号后括号内各项变号；括号前是正号时，去括号后括号内各项不变号；逐项判断即可. 【详解】解：∵ 去括号法则：括号前是“-”号，去括号后括号内各项变号；括号前是“+”号，去括号后括号内各项不变号； 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D. 【跟踪训练1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则与添括号法则， 熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号和添括号法则进行整理后，将 与的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（ ）． 【答案】 【分析】本题考查带括号的等式运算，熟练掌握括号的等式运算法则是解题的关键． 根据添括号法则，括号前面是负号时，括到括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：等式左边为 ，右边为 ，要使等式成立，需使 ，即 ， 因为 所以括号内应填 ， 故答案为：． 题型8.整式的加减运算 【典例】当是整数时，整式一定是 的倍数． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 将整式去括号并合并同类项，化简为，由于a是整数，是整数，因此整式一定是5的倍数． 【详解】解：原式 ∵是整数， ∴是整数， ∴是5的倍数． 故答案为：5． 【跟踪训练1】写出一个单项式 ，使它和多项式的和为单项式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了整式的加减，合并同类项，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 要使一个单项式与多项式的和为单项式，需通过添加相反数项抵消原多项式中的某一项，使得合并后仅剩一个单项式． 【详解】解：设添加的单项式为，则计算和：，结果为单项式，符合要求， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练2】将一个有理数m先减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，数字的规律，通过计算前几步，发现每次减去余下的几分之一后，剩余的数总是初始数m除以当前分母，即减去后剩余．由此推广到减去后，剩余，即可求解． 【详解】解：初始数为 m． 第一步：减去它的，剩余， 第二步：减去余下的，剩余， 第三步：减去余下的，剩余， 依此类推，当减去余下的 时，剩余． ∴ 减去余下的 后，剩余， 故选：B． 题型9.整式加减中的化简求值 【典例】已知，则代数式的值是（   ） A． B．34 C．30 D． 【答案】C 【分析】该题考查了整式化简求值，利用非负数的性质求出a和b的值，再化简代数式并代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，． ， 代入，，则原式． 故选：C． 【跟踪训练1】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，两个正方形的边长分别为，如果，则阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积． 利用阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积求解即可． 【详解】， 故答案为：． 题型10.整式加减中的无关型问题 【典例】当 时，多项式中不含项． 【答案】 2 【分析】本题考查“多项式的概念”，理解不含某项代表该项的系数为0是解题关键． 不含项，说明合并同类项后项的系数为0，故，解出k的值即可． 【详解】解：多项式为 ， 合并同类项，项的系数为 ， 令 ，解得 ． 故答案为：2． 【跟踪训练1】如图，点为原点，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，点从点开始以每秒3个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点分别以每秒2个单位和每秒4个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值为一定值，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，整式加减无关型，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示点运动后表示的数．设运动时间为秒，可得点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，进而得到，，，再求出，根据整式加减无关型即可解答． 【详解】解：设运动时间为秒， 则点运动后表示的数为，点运动后表示的数为，点运动后表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为一定值， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知，为常数，三个单项式，，的和仍为单项式，则的值的个数共有(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据整式的加减、单项式的定义、同类项的定义求解即可. 【详解】由题意得：是单项式 则或 即或 由单项式的性质可得：或 解得：或或 因此，或或 综上，的值的个数共有3个 故选：C. 【点睛】本题考查了同类项的定义、整式的加减：合并同类项，熟记定义和运算法则是解题关键. 题型11.整式加减的应用 【典例】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后两船相距（    ）千米． A．200 B．400 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式与整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． 两船反向而行，距离为各自路程之和；计算顺水和逆水速度后计算出路程，进行相加即可求解． 【详解】解：甲船顺水速度：km/h，乙船逆水速度： km/h， h后，甲船行驶路程：（km）， 乙船行驶路程：（km）， 两船反向而行， 两船相距：（km）； 故选：A ． 【跟踪训练1】如图所示，将边长分别为，，的正方形放置在长，宽的长方形中．已知，则阴影部分的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是通过平移的方式进行边长转化． 通过平移的方式将阴影部分的周长转化为长方形的周长求解即可． 【详解】解：如图，    则阴影部分的周长长方形的周长． 故选：A． 【跟踪训练2】一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“倍和数”百位上的数字与十位上的数字之和为，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．根据题意直接计算，即可求出答案；设四位数m为，可推得能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：根据题意：， 设四位数m为， ∵m是“倍和数”， ∴， ∴， ∴， ∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，，，， ∴， ∵ ∴， ∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数， 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 故所有满足条件的“倍和数”为，，， ， 故答案为：，． 题型12.带字母的绝对值化简问题 【典例】若，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握其化简方法是解题的关键． 根据条件推出、、同为正数，或其中有两个为负数，一个为正数，分类讨论即可． 【详解】解：由于，则、、同为正数，或其中有两个为负数，一个为正数； 当、、同为正数时，，，， ∴； 当其中有两个为负数，一个为正数时，不妨设，，， 则，，， ∴． 故答案为：或． 【跟踪训练1】已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ． 【答案】2038 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加法运算．根据绝对值内表达式的正负性分情况化简函数，当时，；当时，．分别计算x从0到3和x从4到2025的y值总和，再相加． 【详解】解：当 时，： 时，； 时，； 时，； 时，； ∴总和为， 当 时，， ∴x从4到2025，共个值，总和为． 故所有y值的总和为． 故答案为：2038． 【跟踪训练2】有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数的性质（绝对值、符号、加减乘除运算），解题的关键是根据数轴确定、的符号及绝对值大小，再逐一分析结论． 由数轴得、且，据此判断各结论的正确性． 【详解】解：由数轴可知，，，且 ①：与矛盾，错误； ②：负正，乘积为负，正确； ③：，负数的绝对值更大，和为负，正确； ④：负正，商为负，错误； ⑤：，故（更负），（负数小于正数），（），正确． 正确的结论有②③⑤，共3个． 故选：C． 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　　） A．3a+2a=5a2 B．﹣2ab+2ab=0 C．2a3+3a2=5a5 D．3a﹣a=3 【答案】B 【分析】先分析是否为同类项，再计算判断． 【详解】A、3a+2a=5a，故该选项不符合题意； B、-2ab+2ab=0，故该项符合题意； C、2a3与3a2不是同类项，不能合并，故该项不符合题意； D、3a-a=2a，故该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查同类项的定义及合并同类项法则，熟记同类项定义是解题的关键． 2．已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 3．若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项定义求出、的值． 根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 故选：C． 4．下列结论正确的个数是（    ） ①不是单项式； ②多项式是三次三项式； ③的系数是，次数是6； ④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式的次数，多项式的项，次数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，几个单项式的和叫多项式，其中的单项式叫多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，根据定义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①是单项式，故①不正确； ②多项式是四次三项式；故②不正确； ③的系数是，次数是6；故③不正确； ④的次数为4，故④正确， 则正确的只有一个， 故选：A． 5．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 6．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 7．已知，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】先把代数式变形为，然后把整体代入求值即可．本题考查了已知式子的值，求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 8．当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解本题的关键．将代入已知式子求出的值，把代入所求代数式，将代入计算即可． 【详解】解：当时，多项式的值为2024； ∴， ， 当时， ． 故选：D 9．已知多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的四次三项式，则的值为（   ） A． B．3或 C．或4 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解． 【详解】解：由题意得：，， 所以，或，， 当，时，； 当，时，． 故选：C． 10．对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得． 【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号， 所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确； 要使其运算结果与原多项式之和为0， 则只有一种“变括操作”，即，说法②正确； 若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种： ， ， ， ， ， 由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：D． 二、填空题 11．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、用求差法比较代数式的大小，根据矩形的面积公式，可得：，，可知，因为为正整数，所以，从而可得：． 【详解】解：由图可知，，， ， 为正整数， ， ． 故答案为：． 12．若化简的结果与的取值无关，则值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，由结果与的取值无关，得到，进而可得出，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵结果与的取值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、求代数式的值，根据，可得：、，因为，根据有理数的乘法法则可得：，或，，分情况把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 又， ，或，， 当，时， 可得：； 当，， 可得：． 综上所述， 14．将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数运算以及数字规律探究，解题关键是依据给定运算步骤求出前几项，找出循环规律，再利用规律进行计算． 根据题意得到每3个数作为一个循环，和为，共有675组，即可求出答案． 【详解】解：∵有理数， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． 由此可知计算结果以，，三个数为一个周期循环． 一个周期的和为， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ． 【答案】22020﹣1 【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a0+a2+a4…+a2020=22021÷2，最后令x＝0，a0＝1计算即可 【详解】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；① 令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；② ∴①+②得：a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021=22021 2（a0+a2+a4…+a2020）=22021 a0+a2+a4…+a2020=22021÷2 令x＝0， ∴a0＝1； ∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1， 故答案为：22020﹣1． 【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键 16．已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 三、解答题 17．先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先将原式去括号合并同类项，再将已知的数值代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 18．已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）根据去括号，合并同类项的法则进行计算即可； （2）根据化简后的结果不含项，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵中不含项， ∴， ∴． 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 20．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数a与b对应点之间的距离． 例1  已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点的对应数为和2，即a的值为2和． 例2  已知，求的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和，即a的值为3和． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值； (4)若数轴上表示的点在与2之间，求的值； (5)当满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) (5)， 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数形结合是解决本题关键． （1）根据绝对值的性质即可求得a值； （2）根据绝对值的性质可得或，求解即可得a的值； （3）根据绝对值的性质可得或，求解即可得a的值； （4）根据a的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果； （5）根据题意得出原式最小时a的范围，并求出最小值即可． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为或； （2）解：在数轴上与距离为的点的对应数为和，即的值为或； （3）解：， 或， 或， 或， 即的值为或； （4）解：根据题意得：，即，， 则原式； （5）解：当a满足时，最小值为． 21．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． (1)2022属于_______类（A，B或C）； (2)①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）； (3)从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）． ①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④属于A类． 【答案】(1)C (2)①A；②B (3)②③ 【分析】（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类； （2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解； ②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3=2021…2，即可求解； （3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可． 【详解】（1）解：∵2022÷3=674， ∴2022属于C类， 故答案为：C； （2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2， ∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1， ∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1， ∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类， 故答案为：A； ②∵从A类数中任意取出2021个数， ∴设这2021个数的和3a+2021， ∵从B类数中任意取出2022个数， ∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044， ∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数）， ∴设这k个数的和为3c， ∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065， ∴6065÷3=2021…2， ∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2， ∴结果属于B类， 故答案为：B； （3）从A类数中任意取出m个数， 设这m个数的和为3x+m， 从B类数中任意取出n个数， 设这n个数的和为3y+2n， ∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n， ∵最后的结果属于A类， ∴m+2n被3除余数为1， ∴m+2n属于A类， 故②正确； 当n属于A类时，m属于B类，故①不正确； 当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确； 当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确； 故②③正确， 故选：②③． 【点睛】本题考查有理数的性质，理解题意，根据所给条件分类讨论是解题的关键． 22．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）按照题目中给出的结论计算即可； （2）通过观察和归纳得出规律，准确计算即可； （3）通过计算得出的个位数的规律，按照规律求解即可． 【详解】（1）解：按照小天发现的规律，长方形内有100个点可以分得， 长方形内有个点可分得， 故答案为：，． （2）解：由前6种化合物的分子结构模型图可得 碳原子的个数 1 2 3 4 5 6 氢原子的个数 4 6 8 10 12 14 发现碳原子的个数增加1，氢原子的个数增加2， 60种化合物的分子结构模型中有（个）， 故答案为：． （3）解，，，，，， 由此可以发现，个位数字按照顺序，四个一循环， ， 所以的个位数是2， 故答案为：2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $