培优02第四章整式的加减全章10大重难题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

培优02第四章整式的加减全章10大重难题型 题型1单项式的有关概念 1.单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． 2.单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数；②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 题型2 多项式的有关概念 1.几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 2.多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 6．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如果代数式是关于x的二次式，那么（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若代数式是五次二项式，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 题型3 同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． 2.同类项的注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 3.合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若与是同类项，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，1 C．2，1 D．， 11．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）若与的和仍是单项式，则的值等于 ． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知单项式与是同类项，与互为相反数，求的值． 题型4 去括号与添括号 1.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 3添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 13．（23-24七年级上·全国·期末）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ； （2） ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型5 整式的加减 1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． 2.整式的加减实质上就是合并同类项． 3.整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）多项式合并同类项后不含项，则的值是 ． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）整式与的和为 ； （2）整式与的差为 ． 19．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 20．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则 ． 题型6整式的化简求值 (1)直接代入法：当已知整式中字母的值时，可以直接把字母的值代入化简后的整式中求值，注意化简 整式时去括号的顺序 (2)整体代入法：当题目中的几个字母存在某种关系，且不易求出各个字母的值时，可考虑把字母之 间的关系等式整体代入化简后的整式中求值 21．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 22．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 23．（2025七年级上·湖南·专题练习）先化简，再求值：，其中． 24．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 25．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 题型7整式加减中的无关性问题 判定所给的整式的值与某个字母的取值（或取值的正负)无关，只需要将这个整式进行化简，若结果中 不再含有这个字母（或结果中这个字母的指数为偶数)，则此整式的值与该字母的取值（或取值的正负）无关 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 27．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·全国·期末）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求的值． 29．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 题型8整式加减的应用 整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 30．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）已知小明的年龄是岁，哥哥的年龄比小明年龄的倍小岁，姐姐的年龄比小明年龄的倍多岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 31．（24-25七年级上·湖北襄阳·开学考试）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·全国·期中）一个三位数个位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字是个位数字与百位数字的和，将个位数字与十位数字调换组成新三位数．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：原三位数一定是11的倍数． 结论Ⅱ：新三位数的代数式为． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．只有Ⅰ对 C．只有Ⅱ对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 33．（25-26七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为． (1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整； ②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值． (2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求的值． 34．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 35．（22-23七年级上·全国·期中）我国出租车收费标准因地而异，A市的起步价为10元，后为元；B市的起步价为8元，后为元． (1)在A，B两市分别乘坐出租车的费用是多少元？ (2)在A，B两市分别乘坐出租车x（，且x为整数）的费用之差是多少元（用含的代数式表示）？ 36．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2) 若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 题型9规律探究问题 1. 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 2. 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 37．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段练习）将一串有理数按下列规律排列，第1000个数是多少？它排在A、B、C、D中的哪个位置（   ） A．1000，在A的位置 B．，在B的位置 C．1000，在C的位置 D．，在D的位置 38．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 39．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第个图形中一共有4个圆圈；第个图形中一共有8个圆圈，第个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第个图形中圆圈的个数为（　　） A． B．43 C．53 D． 40．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①；②；③；④___________；⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第10个等式； (3)计算：． 41．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 42．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 题型10新定义问题 新定义问题是材料阅读探究类题目，是指题目中首先给出一个定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题. 解决此类问题的关键是深刻理解新定义，明确新定义的条件、原理、方法、步骤和结论；重视所给的举例，利用举例来进一步理解新定义，归纳出举例提供的解题方法，同时运用类比、归纳、猜想、讨论、数形结合等数学思想方法. 43．（25-26七年级上·重庆·开学考试）把一个两位数的十位和个位互换，我们称这两个两位数互为“反序数”．如果一个由九个两位数构成的等差数列的首项和末项互为反序数，那么，这个等差数列所有数的总和是 ． 44．（2023七年级上·全国·竞赛）对于整数、，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． 已知整数满足，则的值为 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)化简并求值：，其中． 46．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02第四章整式的加减全章10大重难题型 题型1单项式的有关概念 1.单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． 2.单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查单项式，根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：答案不唯一． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2025个单项式． 【详解】解：∵一列单项式：，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：，． 题型2 多项式的有关概念 1.几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 2.多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如果代数式是关于x的二次式，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了整式的加减混合运算，先合并同类项，再由多项式是关于x的二次式，可得，即可求解．解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则． 直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵代数式是关于x的二次式， ∴， 解得：， 故选：A． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若代数式是五次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键．根据多项式的次数定义得出且， 即可求得的值． 【详解】解：∵代数式是五次二项式， 且， ． 故答案为： ． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排列，熟练掌握确定各项中指定字母的指数并按从高到低顺序排列是解题的关键．先确定多项式中每一项的指数，然后依据指数大小从高到低重新排列各项． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型3 同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． 2.同类项的注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 3.合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列式子中互为同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的判断，理解同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A． 与是同类项，符合题意； B． 与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； C． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意； D． 与，字母不同，不是同类项，不符合题意． 故选：A． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若与是同类项，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，1 C．2，1 D．， 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义，需根据定义列出关于的方程，求解后判断选项． 【详解】解：根据同类项定义，则有： 对于的指数：； 对于的指数：． 解得：． 故选：A ． 【点睛】本题考查了同类项的定义，解题关键是根据同类项“相同字母的指数相同”列出方程，求解的值． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）若与的和仍是单项式，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 由题意可知与是同类项，进而根据同类项的定义求出、的值，代入计算即可 【详解】解：∵与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知单项式与是同类项，与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫同类项，非负数的性质，求代数式的值；根据同类项的概念求得m与n的值，再根据非负数的性质求出的值，再代入所求代数式中即可求值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 题型4 去括号与添括号 1.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 3添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 13．（23-24七年级上·全国·期末）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号；添括号时括号前后的符号变化与去括号相同，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意； 故选：D． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）“被减数=差+减数”，合并同类项即可； （2）“减数=被减数-差”，展开被减数合并同类项即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及去括号法则、整式加减运算等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先由去括号法则展开，再合并同类项即可得到答案； （2）先由去括号法则展开，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 整式的加减 1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． 2.整式的加减实质上就是合并同类项． 3.整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）多项式合并同类项后不含项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，合并同类项后不含项项，则合并后的系数为，由此可解，解题的关键是掌握合并同类项法则． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，多项式的次数，掌握知识点是解题的关键． 根据A和B都是6次多项式，通过合并同类项求和时，结果的次数一定小于或等于原多项式的最高次数，即可解答． 【详解】解：若A和B都是6次多项式，则的结果的次数一定是次数不高于6次的整式． 例如：当时， ，即错误； 当时， ，即错误； 故选C． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）整式与的和为 ； （2）整式与的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整式的加减运算法则计算即可； （2）利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（1）由题意得 ， 故答案为：； （2）由题意得 ， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减，利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． 由数轴可得，，得到，，，，再利用绝对值的定义化简式子，再利用整式的加减运算法则即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴ ． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·全国·期中）已知整式，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握有理数的加减法则和去括号是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型6整式的化简求值 (1)直接代入法：当已知整式中字母的值时，可以直接把字母的值代入化简后的整式中求值，注意化简 整式时去括号的顺序 (2)整体代入法：当题目中的几个字母存在某种关系，且不易求出各个字母的值时，可考虑把字母之 间的关系等式整体代入化简后的整式中求值 21．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：B． 22．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 23．（2025七年级上·湖南·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 原式去括号，合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 24．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据手捂住的多项式为等式右边的整式减去左边的整式，再化简即可； （2）根据非负数的性质先求出a，b，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意， 用手捂住的多项式为． （2）解：， ， ， ， 所捂住的多项式的值为． 25．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 题型7整式加减中的无关性问题 判定所给的整式的值与某个字母的取值（或取值的正负)无关，只需要将这个整式进行化简，若结果中 不再含有这个字母（或结果中这个字母的指数为偶数)，则此整式的值与该字母的取值（或取值的正负）无关 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减是解题的关键．先化简代数式，再根据题意得出，得出n的值． 【详解】解： ， ∵无论x，y取什么值的值都等于定值8， ∴， ∴， 故选：B． 27．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 28．（23-24七年级上·全国·期末）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减． （1）把，代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； （2）由（1）可知，因为的值与的值无关，可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， 的值与的值无关， ， 解得：． 29．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 【答案】(1) (2)19 (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）去括号，合并同类项进行计算即可； （2）整体代入法进行计算即可； （3）根据的值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时， ； （3）∵的值与y的值无关 ∴， 解得． 题型8整式加减的应用 整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 30．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）已知小明的年龄是岁，哥哥的年龄比小明年龄的倍小岁，姐姐的年龄比小明年龄的倍多岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式的加法运算，根据题意先列式表示出哥哥和姐姐的年龄，再相加即可求解，掌握整式的加法运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，哥哥的年龄为岁，姐姐的年龄为岁， ∴小明哥哥和姐姐的年龄和为：， 故选：． 31．（24-25七年级上·湖北襄阳·开学考试）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 32．（25-26七年级上·全国·期中）一个三位数个位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字是个位数字与百位数字的和，将个位数字与十位数字调换组成新三位数．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：原三位数一定是11的倍数． 结论Ⅱ：新三位数的代数式为． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．只有Ⅰ对 C．只有Ⅱ对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，分别用a和b表示出原三位数和新三位数，根据整式的加减运算法则整理后，即可判断． 【详解】解：由题意，得原三位数为， ，故原三位数一定是11的倍数，结论Ⅰ正确； 新三位数为，结论Ⅱ正确． 故选：A． 33．（25-26七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为． (1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整； ②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值． (2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②或3 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）①求出三阶幻方的幻和为，再根据三阶幻方的特点填充即可；②根据幻方的特点可得，即可求出x的值； （2）①求出所有数字的代数和，再除以2即可得出答案；②结合“幻圆”的幻和求出，，，再分类讨论的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：①三阶幻方的幻和为， ， ， ， 填充幻方如下： ②由题意得，， 解得． （2）解：①， 所以“幻圆”的幻和为； ②由题意得，，，， 解得，，， 当时，； 当时，； 所以或， 则或， 所以的值为或3． 34．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 【答案】(1)需付车费55元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 【分析】本题主要考查了整式的加减，列代数式，代数式求值，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； 【详解】（1）解：依题意：（元， 答：需付车费55元； （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元； 当时，小明应付车费：（元； 答：当时，小明付费元；当时，小明付费元． 35．（22-23七年级上·全国·期中）我国出租车收费标准因地而异，A市的起步价为10元，后为元；B市的起步价为8元，后为元． (1)在A，B两市分别乘坐出租车的费用是多少元？ (2)在A，B两市分别乘坐出租车x（，且x为整数）的费用之差是多少元（用含的代数式表示）？ 【答案】(1)在A市乘坐出租车的费用是元，在B市乘坐出租车的费用是元 (2)元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，列代数式、整式的加减的应用． （1）根据两市的收费标准直接求解即可； （2）先分别列出在A，B两市分别乘坐出租车的费用的代数式，求差即可解答． 【详解】（1）解：A市的费用为：（元）， B市的费用为：（元）， 答：在A市乘坐出租车的费用元，在B市乘坐出租车的费用是元． （2）解：A市的费用为：（元）， B市的费用为：（元）， 两市费用之差为：（元）． 36．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 题型9规律探究问题 1. 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 2. 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 37．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段练习）将一串有理数按下列规律排列，第1000个数是多少？它排在A、B、C、D中的哪个位置（   ） A．1000，在A的位置 B．，在B的位置 C．1000，在C的位置 D．，在D的位置 【答案】A 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据有理数的排列规律发现第1000个数的位置与第4个数的位置一样是解题的关键． 观察有理数的排列顺序，将从开始的连续四个有理数看成一组即可解决问题． 【详解】解：由条件可知， 所以第1000个数的位置与第4个数所在位置相同，而第四个数为4，位于A位置，所以第1000个数位于A位置，为1000． 故选：A． 38．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，每滚动一周，该数轴每4个单位长度可绕圆一周，而第一次绕圆周时，数轴上的分别与圆周上的数字0，3，2，1重合，因此只需要求出2018除以4的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴每滚动一周，该数轴每4个单位长度可绕圆一周， ∵第一次绕圆周时，数轴上的分别与圆周上的数字0，3，2，1重合，且， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字3重合， 故选：D． 39．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第个图形中一共有4个圆圈；第个图形中一共有8个圆圈，第个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第个图形中圆圈的个数为（　　） A． B．43 C．53 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第个图形中圆圈数量为．根据已知图形得出第个图形中圆圈数量为，再将代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中圆圈数量， 第②个图形中圆圈数量， 第③个图形中圆圈数量， 第个图形中圆圈数量为， 当时，圆圈的数量为， 故选：A． 40．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）观察下面的雪花图和相应的等式，探究其中的规律． (1)完成④和⑤后面的填空： ①；②；③；④___________；⑤___________；… (2)参照上面的等式写出第10个等式； (3)计算：． 【答案】(1)16； (2) (3)21716 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及有理数的混合运算，根据各等式的变化，找出变化规律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则直接计算即可； （2）由部分点阵图对应的等式，得出规律，即可得出第10个点阵图对应的等式； （3）由（2）的结论结合，即可求出结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：16；； （2）解：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴第10个等式为， 即； （3）解： ． 41．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律； （3）由（2）的规律建立方程求解，并进一步计算即可． 【详解】（1）解：一个六边形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， （2）解：归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 42．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 题型10新定义问题 新定义问题是材料阅读探究类题目，是指题目中首先给出一个定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题. 解决此类问题的关键是深刻理解新定义，明确新定义的条件、原理、方法、步骤和结论；重视所给的举例，利用举例来进一步理解新定义，归纳出举例提供的解题方法，同时运用类比、归纳、猜想、讨论、数形结合等数学思想方法. 43．（25-26七年级上·重庆·开学考试）把一个两位数的十位和个位互换，我们称这两个两位数互为“反序数”．如果一个由九个两位数构成的等差数列的首项和末项互为反序数，那么，这个等差数列所有数的总和是 ． 【答案】495 【分析】该题考查了新定义，根据一个由九个两位数构成的等差数列的首项和末项互为反序数，设第一个数是，则第9个数是，再根据公差确定的取值，即可解答． 根据一个由九个两位数构成的等差数列的首项和末项互为反序数，设第一个数是，则第9个数是，则公差为，这个等差数列所有数的总和是，由此可知或或，据此解答即可． 【详解】解：设第一个数是，则第9个数是． 公差， ∵数列中各项均为整数，所以公差必为整数，则必须是8的倍数， 又因为是1到9的数字，首项 和末项 均为两位数，所以它们的十位数字 a 和 b 均不能为0， 所以（即）或（即或，此时，公差为0，数列各项均为，总和为，此时总和不唯一（舍去）， 其余两种情况下，均为10， ， ∴该数列的总和为， 答：这个等差数列所有数的总和是495． 故答案为：495． 44．（2023七年级上·全国·竞赛）对于整数、，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． 已知整数满足，则的值为 【答案】11或8或 【分析】本题考查了奇偶数，绝对值的意义，整式的加减法，解一元一次方程，利用分类讨论的思想解决问题是关键．先由是偶数，得出是偶数，再分四种情况讨论，利用新定义运算法则分别计算即可． 【详解】解：是偶数， ，是偶数， ①当是正偶数时， ， 解得：； ②当是负偶数时， ， 解得：； ③当是正奇数时， ， 解得：； ④当是负奇数时， ， 解得：（舍去）； 综上可知，的值为11或8或， 故答案为：11或8或 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）规定一种运算，如．按照这种运算规定，请解答下列问题： (1)计算的值； (2)化简并求值：，其中． 【答案】(1)8 (2)， 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式加减中的化简求值． （1）根据，列出算式即可求解； （2）根据题意得到整式加减的化简结果，再代入字母的值即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，， ∴， 当时，． 46．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】(1)①34；②10 (2)5 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用新定义的含义建立方程求解是解本题的关键． （1）①根据新定义知34为“差异数”；②根据的计算方法求解； （2）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：①两位数30，33，34中，“差异数”为34； 故答案为：34； ②． 故答案为：10． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $