第01讲 实数及其运算（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦“实数及其运算”核心考点，涵盖实数分类、相关概念、科学记数法、大小比较、运算五大模块，通过“目标导图-考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”架构梳理知识脉络，结合30种题型解题技巧和中考真题训练，帮助学生突破数轴应用、无理数估算等难点，培养抽象能力和运算能力。 亮点在于“题型细分+难点攻坚”双策略，如针对“数轴上的动点问题”，通过基准坐标和运动路程表示坐标，渗透几何直观和推理意识。设“测能力/提能力”分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，助力学生提升应考技能，教师可灵活把控复习节奏实现精准教学。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1实数的分类 考点2实数的相关概念 考点3科学记数法与近似数 考点4实数大小比较 考点5实数的运算 命题突破👉破解常考题型 题型1 正负数的意义 题型2无理数的估算 题型3实数的分类 题型4用数轴上的点表示数 题型5求数轴上两点之间的距离 题型6根据点在数轴上的位置判断式子正负 题型7数轴上的动点问题 题型8求一个数的相反数 题型9多重符号化简 题型10反数的应用 题型11求一个数的绝对值 题型12化简绝对值 题型13绝对值非负性的应用 题型14利用几何意义化简绝对值 题型15乘方运算 题型16乘方的应用 题型17用科学记数法表示数 题型18求一个数的近似数 题型19利用数轴法比较实数大小 题型20利用类比法比较实数大小 题型21利用作差法比较实数大小 题型22利用作商法比较实数大小 题型23利用平方法比较实数大小 题型24利用其它方法比较实数大小 题型25求一个数的算术平方根 题型26利用算术平方根的非负性解题 题型27 求一个数的平方根 题型28 已知一个数的平方根，求这个数 题型29 求一个数的立方根 题型30 实数的运算 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1实数与数轴相结合的应用 难点2 无理数的整数部分与小数部分求解 难点3 含绝对值化简的实数运算 难点4 实数规律探究 难点5 新定义运算 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、 实数的分类： （1） 有理数 ① 定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，可表示为两个整数的比值（，p、q为整数且q≠0） ② 性质：对应小数形式为有限小数或无限循环小数 （2）无理数 ① 定义：不能表示为两个整数比值的实数 ② 性质：对应小数形式为无限不循环小数；常见类型：含π的数、开方不尽的数、有特定规律的无限不循环小数（如0.1010010001…） 1.有理数易错： 1 误认为“分数仅指正分数”，忽略负分数也是有理数； 2 把无限循环小数归为无理数（实际是有理数）； 3 混淆“整数”范围，忘记0是整数且属于有理数。 2. 无理数易错： 1 认为“带根号的数都是无理数”（如√4=2是有理数）； ② 误将π的近似值（如3.14）当作π本身，或认为2π是有理数； ③ 把“有规律的无限小数”都归为有理数（如0.1010010001…是无理数）； ④ 忽略无理数的正负性（如-也是无理数）。 ◇考点 2 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 数轴 1. 定义：规定原点、正方向、单位长度的直线（三要素缺一不可） 2. 性质：实数与数轴上的点一一对应；右边的数>左边的数 相反数 1. 代数定义：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a，0的相反数是0） 2. 几何定义：数轴上关于原点对称的两点对应的数 3. 判定：a+b=0 ⇔ a、b互为相反数 绝对值（中考高频） 1. 代数定义：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0) 2. 几何定义：数轴上点到原点的距离；|x-a|表示x与a的距离 3. 核心性质：非负性（|a|≥0）；|a|=|b|⇒a=±b 倒数 1. 定义：乘积为1的两个数（a的倒数为，a≠0） 2. 关键：0无倒数；互为倒数的两数符号相同 3. 判定：a·b=1 ⇔ a、b互为倒数；带分数/小数需先化为假分数/分数再求倒数 一．数轴 1.画数轴遗漏三要素(原点/正方向/单位长度)或单位长度不统 2.误认为无理数不能在数轴上表示 3.利用数轴比较大小时，混淆左右与数的大小关系 二.相反数 1.多重符号化简时，判断“"号个数出错 2.混淆相反数与倒数概念 3.忽略相反数的几何意义(关于原点对称) 三.绝对值(中考高频) 1.忽略|a|≥0 的非负性 2.含字母绝对值化简，未判断符号直接去绝对值 3.混淆|x+a|的几何意义(应为 x与-a的距离) 4.多个绝对值相加求最小值，不会利用数轴找中间区间 四.倒数 1.认为 0 有倒数 2.负数倒数的符号判断错误 3.带分数/小数求倒数，未先化为假分数/分数 ◇考点 3 科学记数法和近似数 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）的形式 2. 核心规则： ① a的取值范围是1≤|a|<10（整数位仅留一位非零数字）； ② n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于原数整数位位数减1；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数（含小数点前的0） 近似数 1. 定义：与实际数值接近但有误差的数（由测量、估算等得到） 2. 精确度：① 精确到某一位（如个位、十分位、百分位，或10ⁿ位）；② 有效数字：从左起第一个非零数字到末位数字的所有数字（包括末尾的0）. 示例：近似数3.20精确到百分位，有3个有效数字（3、2、0）；3.2×10³精确到百位，有2个有效数字（3、2） 科学计数法依易错： 1.忽略a的取值范围（如错写36000=36×10³、0.00036=0.36×10⁻³）； 2. 确定n时计数错误（如36000整数位5位，错算n=5）；3. 处理负数时遗漏符号（如-36000错写为3.6×10⁴ 近似数易错： 1. 混淆精确度（如把3.20误判为精确到十分位）； 2. 有效数字计数错误（如遗漏3.20末尾的0，错算有效数字为2个）；3. 科学计数法表示的近似数精确度判断错误（如误将3.2×10³看作精确到个位）； 4. 四舍五入时进位错误（如把2.395精确到百分位错算为2.39，正确为2.40） ◇考点 4 实数大小比较 实数比较大小的6种方法： 数轴比较法 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 类别比较法 （1）正数＞0＞负数 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差比较法 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 平方比较法 ①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 倒数比较法 若>1/b，ab>0，则a<b 作商比较法 1)任意实数a，b，=1a=b 2)任意正实数a，b，>1a>b , <1a>b 3)任意负实数a，b，>1a<b , b<1a>b ◇考点 5 实数运算 运算 法则 0 次幂 a°=1(a≠0),见到0次幂值就写1 -1的奇偶次幂 ； 负整数指数幂 若a≠0，n为正整数， 则 乘方 去绝对值符号 常见算术平方根和立方根 特殊角的三角函数值 常见实数运算 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． ◇题型 1 正负数的意义 典例1（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解． 【详解】解：将向东走80米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作米． 故选：A． 典例2（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 变式1（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C．小于0，属于负数，故本选项不符合题意； D．小于0，属于负数，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式2（2025·四川内江·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上记作，则零下记作， 故选：C． 变式2（2025·四川达州·中考真题）如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正确理解正负的相对性是解题的关键； 根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可. 【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出40元应记作元； 故选：C. ◇题型 2 无理数的估算 典例1（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 典例2（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 变式1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 变式2（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． ◇题型 3 实数的分类 典例1（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 解｜题｜技｜巧 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 变式1（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 变式2（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数， 故选： C． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． ◇题型 4 用数轴上的点表示数 典例1（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 变式1（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 变式2（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． ◇题型 5 求数轴上两点之间的距离 典例1（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 典例2乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 变式1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可． 【详解】解：∵点是的中点，线段， ∴， ∴点表示的数是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 变式2（2025·广东韶关·三模）一只蚂蚁从数轴上表示点2的位置往数轴的负方向爬行，爬了5个单位长度后，它离原点的距离（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】B 【分析】先确定蚂蚁爬行后在数轴上的位置，再计算该位置到原点的距离．本题主要考查数轴上点的移动及点到原点的距离（绝对值的几何意义），熟练掌握数轴的性质和绝对值的概念是解题的关键． 【详解】解：蚂蚁从表示的位置往负方向爬个单位长度，此时位置为． 数轴上点到原点的距离是该点所表示数的绝对值， ，即它离原点的距离是． 故选：． ◇题型 6 根据点再数轴上的位置判断式子的正负 典例1（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或5， ， ， 故选：C． 典例2（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 解｜题｜技｜巧 利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法. 变式1（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 变式2（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． ◇题型 7 数轴上动点问题 典例1（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 典例2 解｜题｜技｜巧 解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 变式1（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．    (1)______，______； (2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】（1）由绝对值非负数的性质和平方非负数的性质可得，，即可求得的值； （2）先表示出秒后点、点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离进行计算即可． 【详解】（1）解：，且， ，， ，， 故答案为：，5； （2）解：点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 秒后点表示的数为：，点表示的数为：， 秒后点、点之间的距离为：． 【点睛】主要考查了绝对值非负性的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 变式2（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． ◇题型 8 求一个数的相反数 典例1（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数为． 故选：D． 变式1（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 变式2（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据的相反数是，即可求解． 【详解】解：相反数等于它本身的数是， 故答案为：． ◇题型 9 多重符号化简 典例12025·青海·中考真题）的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的概念，涉及多重符号的化简，根据相反数的定义可得答案. 【详解】解：∵， ∴的值是， 故选：B 变式1（2025·江苏淮安·模拟预测）（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的定义，进行化简即可． 【详解】解：； 故选：B 变式2（2025·四川·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键． 【详解】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B ◇题型 10 相反数的应用 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）若与互为相反数，的倒数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质、倒数的定义和代数式求值，掌握以上基本知识是解题的关键；根据相反数的性质和倒数的定义可得，再将原式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：因为与互为相反数，的倒数是， 所以， 所以； 故答案为：． 变式1（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数的性质，因式分解的应用，代数式求值，灵活运用所学知识是关键． 根据互为相反数的和为0，可得；将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴． ∴． 故答案为：0． 变式2（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c的倒数是4， ∴， ∴ ， 故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键． ◇题型 11 求一个数的绝对值 典例1（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 变式1（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：18的绝对值是18， 故选：A． ◇题型 12 化简绝对值 典例1（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式12025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，有理数的加法，注意绝对值方程的解有两个． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的可能值，再分别计算． 【详解】∵ x的相反数是2， ∴． ∵， ∴或． 当 时，； 当 时，． ∴ 的值为 1 或 -5． 故选C． ◇题型 13 绝对值非负性的应用 典例1（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 变式1（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 变式2（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． ◇题型 14 利用几何意义化简绝对值 典例1（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 变式12025·河北邯郸·二模）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 变式22025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． ◇题型 15 乘方运算 典例1（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 变式1（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 变式2（2024·青海西宁·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂，同底数幂的除法，根据相关运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． ◇题型 16 乘方应用 典例1（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 变式1（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天 【答案】B 【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解． 【详解】解：绳结表示的数为 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键 ◇题型 17 求一个数的算术平方根 典例1（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 变式1（2025·江苏·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． ◇题型 18 利用算术平方根的非负性解题 典例1（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】11或13/13或11 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 变式1（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 变式2（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． ◇题型 19 求一个数的平方根 典例1（2022·四川攀枝花·中考真题）2的平方根是（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 2的平方根是， 故选：B． 变式1的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方，求平方根，先计算乘方运算，再求平方根即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． ◇题型 20 已知一个数的平方根，求这个数 典例1（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的性质，求一个数的平方根，根据绝对值的非负性可得，由平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 典例2（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 变式1（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． ◇题型 21 求一个数的立方根 典例1（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 变式1（2025·江苏南京·三模）的值是 ；8的立方根是 ． 【答案】 4 2 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的值是，8的立方根是， 故答案为：． 变式2（2025·湖北·模拟预测）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，负整数指数幂进行运算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． ◇题型 22 用科学记数法表示数 典例1（2025·西藏·中考真题）截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册．数据500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．作此题时，要表示为的形式，其中，n为整数，在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 根据，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 典例2（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 变式2（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． ◇题型 23 求一个数的近似数 典例1（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 典例2（2025·山东·一模）近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 变式1（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 【答案】B 【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可． 【详解】解：0.0158≈0.016． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键． 变式2（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，根据近似数的精确度求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． ◇题型 24 利用数轴比较实数大小 典例1（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 变式1（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可． 【详解】解：由图可知，， 故选：C． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键． 变式2（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，． A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、， ，则此项正确，符合题意； D、， ，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键 ◇题型 25 利用作差法比较实数大小 典例1（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． 变式1已知： ， ． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设．若x是整数，求y的整数值． 【答案】(1)； (2)y的整数值为：4，0，3，1． 【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系； （2）先表示y，再求y的整数值． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，． ∴； （2）解： ， ∵x，y是整数， ∴是2的因数． ∴，．对应的y值为： ∴或或或． ∴y的整数值为：4，0，3，1． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． ◇题型 26 利用作商法比较实数大小 典例1阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． ◇题型 27 利用平方法比较实数大小 典例1（24-25八年级上·吉林长春·月考）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，无理数的大小估算，根据实数的大小的比较方法即可求解，掌握实数的大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1（2025·浙江·三模）比较大小： 填“>，<或=” 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 变式2比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较；对于含有算术平方根的两个实数比较，采用平方法是常见的比较方法；先求出这两个正数的平方，再比较平方数的大小，平方数大的，其算术平方根也大． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． ◇题型 28 利用其他方法比较实数大小 典例1（2025·山西临汾·三模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小． 先求出各数的绝对值，然后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：>． 变式1（2025·河南平顶山·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的比较大小．先估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ，即， ，即， ， 故答案为：． 变式2（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． ◇题型 29 实数的运算 典例1（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 典例2（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 解｜题｜技｜巧 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 变式1（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 变式2（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 变式3（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 ◇难点 1 实数与数轴相结合的应用 典例11．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 典例2（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 变式1（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 【详解】由数轴可知， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键． 变式2（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理可得表示的数，从而可得表示的数是2，再结合题意得出，即可推出表示的数是，再结合题意可得表示的数是3，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为， 表示的数是2， ∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点， ∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为， ∴表示的数是3， ∴， 故答案为：． ◇难点 2 无理数的整数部分与小数部分求解 典例1（2025·重庆·二模）a是的整数部分，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算、不等式的性质等知识点，估算出的整数部分是解题的关键． 根据无理数的估算出的整数部分，然后利用不等式的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即a的值为3． 故选B． 典例2（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及求代数式的值，先估算出m，n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式1（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 变式2（24-25九年级下·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． ◇难点 3 含绝对值化简的实数混合运算 典例1（2025·宁夏·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，解题的关键是分别掌握各知识点的运算法则，准确进行化简和计算． 先化简绝对值，因为，所以；再计算特殊角的三角函数值，；接着计算负整数指数幂，；最后将各部分结果代入原式进行加减运算． 【详解】解： ． 变式1（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 变式2（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） ◇难点 4 实数规律探究 典例1（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 变式1（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)第n个等式为：，验证见解析 (3) 【分析】（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：，对等式右边进行整理即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字， 所以第四个式子右边应该是：； 故答案为：； （2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1， 再由（1）可知，第n个式子应该就是：； 等式右边左边， 所以猜想正确； （3） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． ◇难点 5 实数新定义运算 典例1（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1；2； (2)， 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：1；2； （2）若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 变式1（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． ◇测能力 1．（2025·浙江丽水·二模）若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若收入5元记为，则支出3元记为， 故选：D． 2．（2025·安徽淮南·二模）决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据168000用科学记数法表示为． 故选：C 3．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A．，，，，，故不符合题意； B．，，，，故符合题意； C．，，， ，故不符合题意； D．, ，，，故不符合题意； 故选：B． 4．（2025·新疆·模拟预测）如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出在3和4之间，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4之间， ∴与表示数的点最接近的是点是点P． 故选：D． 5．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C 6（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，求得a和b的值是解题的关键．根据的定义确定a和b的范围，结合连续整数的条件求解． 【详解】解：， ． ， 为小于或等于3的整数． ， ． ， 为大于或等于4的整数． 和为连续整数，且，， 唯一满足条件的连续整数为，． ， 故选：A． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 8．（2025·甘肃酒泉·二模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及算术平方根计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． ◇提能力 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长相关知识、数轴上的运动以及周期性规律．求解出的运动终点是解决本题的关键． 先确定圆滚动一周的距离，再根据运动时间计算滚动的周数和额外的距离，从而确定重合点的坐标． 【详解】解：的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标0，1，2，3． 沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动， 运动2025秒时，上的点与数轴上表示的点重合． 的运动起点为， 当时，运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为． ， 当时，的运动终点为． 故选：D． 2．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 3．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 4（2025·湖南怀化·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，根据题意，充分理解为与的距离，为与的距离，且满足，，则，分别代入数值到化简，得，，，再代入数值到，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵，规定，，， ∴， ∵记为与的距离，为与的距离， ∴， ∴， ∴ ∴， 则， 解得，， 则 ∴ 故选：A． 2 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1实数的分类 考点2实数的相关概念 考点3科学记数法与近似数 考点4实数大小比较 考点5实数的运算 命题突破👉破解常考题型 题型1 正负数的意义 题型2无理数的估算 题型3实数的分类 题型4用数轴上的点表示数 题型5求数轴上两点之间的距离 题型6根据点在数轴上的位置判断式子正负 题型7数轴上的动点问题 题型8求一个数的相反数 题型9多重符号化简 题型10反数的应用 题型11求一个数的绝对值 题型12化简绝对值 题型13绝对值非负性的应用 题型14利用几何意义化简绝对值 题型15乘方运算 题型16乘方的应用 题型17用科学记数法表示数 题型18求一个数的近似数 题型19利用数轴法比较实数大小 题型20利用类比法比较实数大小 题型21利用作差法比较实数大小 题型22利用作商法比较实数大小 题型23利用平方法比较实数大小 题型24利用其它方法比较实数大小 题型25求一个数的算术平方根 题型26利用算术平方根的非负性解题 题型27 求一个数的平方根 题型28 已知一个数的平方根，求这个数 题型29 求一个数的立方根 题型30 实数的运算 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1实数与数轴相结合的应用 难点2 无理数的整数部分与小数部分求解 难点3 含绝对值化简的实数运算 难点4 实数规律探究 难点5 新定义运算 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、 实数的分类： （1） 有理数 ①定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，可表示为两个整数的比值（，p、q为整数且q≠0） ② 性质：对应小数形式为有限小数或无限循环小数 （2）无理数 ① 定义：不能表示为两个整数比值的实数 ② 性质：对应小数形式为无限不循环小数；常见类型：含π的数、开方不尽的数、有特定规律的无限不循环小数（如0.1010010001…） 1.有理数易错： 1 误认为“分数仅指正分数”，忽略负分数也是有理数； 2 把无限循环小数归为无理数（实际是有理数）； 3 混淆“整数”范围，忘记0是整数且属于有理数。 2. 无理数易错： 1 认为“带根号的数都是无理数”（如√4=2是有理数）； ② 误将π的近似值（如3.14）当作π本身，或认为2π是有理数； ③ 把“有规律的无限小数”都归为有理数（如0.1010010001…是无理数）； ④ 忽略无理数的正负性（如-也是无理数）。 ◇考点 2 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 数轴 1. 定义：规定原点、正方向、单位长度的直线（三要素缺一不可） 2. 性质：实数与数轴上的点一一对应；右边的数>左边的数 相反数 1. 代数定义：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a，0的相反数是0） 2. 几何定义：数轴上关于原点对称的两点对应的数 3. 判定：a+b=0 ⇔ a、b互为相反数 绝对值（中考高频） 1. 代数定义：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0) 2. 几何定义：数轴上点到原点的距离；|x-a|表示x与a的距离 3. 核心性质：非负性（|a|≥0）；|a|=|b|⇒a=±b 倒数 1. 定义：乘积为1的两个数（a的倒数为，a≠0） 2. 关键：0无倒数；互为倒数的两数符号相同 3. 判定：a·b=1 ⇔ a、b互为倒数；带分数/小数需先化为假分数/分数再求倒数 一．数轴 1.画数轴遗漏三要素(原点/正方向/单位长度)或单位长度不统 2.误认为无理数不能在数轴上表示 3.利用数轴比较大小时，混淆左右与数的大小关系 二.相反数 1.多重符号化简时，判断“"号个数出错 2.混淆相反数与倒数概念 3.忽略相反数的几何意义(关于原点对称) 三.绝对值(中考高频) 1.忽略|a|≥0 的非负性 2.含字母绝对值化简，未判断符号直接去绝对值 3.混淆|x+a|的几何意义(应为 x与-a的距离) 4.多个绝对值相加求最小值，不会利用数轴找中间区间 四.倒数 1.认为 0 有倒数 2.负数倒数的符号判断错误 3.带分数/小数求倒数，未先化为假分数/分数 ◇考点 3 科学记数法和近似数 科学计数法 1. 定义：把一个数表示成a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）的形式 2. 核心规则： ① a的取值范围是1≤|a|<10（整数位仅留一位非零数字）； ② n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于原数整数位位数减1；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数（含小数点前的0） 近似数 1. 定义：与实际数值接近但有误差的数（由测量、估算等得到） 2. 精确度：① 精确到某一位（如个位、十分位、百分位，或10ⁿ位）；② 有效数字：从左起第一个非零数字到末位数字的所有数字（包括末尾的0）. 示例：近似数3.20精确到百分位，有3个有效数字（3、2、0）；3.2×10³精确到百位，有2个有效数字（3、2） 科学计数法依易错： 1.忽略a的取值范围（如错写36000=36×10³、0.00036=0.36×10⁻³）； 2. 确定n时计数错误（如36000整数位5位，错算n=5）；3. 处理负数时遗漏符号（如-36000错写为3.6×10⁴ 近似数易错： 1. 混淆精确度（如把3.20误判为精确到十分位）； 2. 有效数字计数错误（如遗漏3.20末尾的0，错算有效数字为2个）；3. 科学计数法表示的近似数精确度判断错误（如误将3.2×10³看作精确到个位）； 4. 四舍五入时进位错误（如把2.395精确到百分位错算为2.39，正确为2.40） ◇考点 4 实数大小比较 实数比较大小的6种方法： 数轴比较法 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 类别比较法 （1）正数＞0＞负数 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差比较法 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 平方比较法 ①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 倒数比较法 若>1/b，ab>0，则a<b 作商比较法 1)任意实数a，b，=1a=b 2)任意正实数a，b，>1a>b , <1a>b 3)任意负实数a，b，>1a<b , b<1a>b ◇考点 5 实数运算 运算 法则 0 次幂 a°=1(a≠0),见到0次幂值就写1 -1的奇偶次幂 ； 负整数指数幂 若a≠0，n为正整数， 则 乘方 去绝对值符号 常见算术平方根和立方根 特殊角的三角函数值 常见实数运算 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． ◇题型 1 正负数的意义 典例1（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 典例2（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 变式2（2025·四川内江·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·四川达州·中考真题）如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 ◇题型 2 无理数的估算 典例1（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 典例2（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 变式1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． ◇题型 3 实数的分类 典例1（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解｜题｜技｜巧 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 变式1（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 变式2（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 ◇题型 4 用数轴上的点表示数 典例1（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 变式1（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 变式2（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． ◇题型 5 求数轴上两点之间的距离 典例1（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 典例2乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 变式1．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    变式2（2025·广东韶关·三模）一只蚂蚁从数轴上表示点2的位置往数轴的负方向爬行，爬了5个单位长度后，它离原点的距离（    ） A． B．3 C． D．7 ◇题型 6 根据点再数轴上的位置判断式子的正负 典例1（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 B． 典例2（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法. 变式1（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 变式2（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． ◇题型 7 数轴上动点问题 典例1（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 解｜题｜技｜巧 解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 变式1（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．    (1)______，______； (2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）． 变式2（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． ◇题型 8 求一个数的相反数 典例1（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 变式1（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 变式2（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是 ． ◇题型 9 多重符号化简 典例12025·青海·中考真题）的值为（    ） A． B．2 C． D． 变式1（2025·江苏淮安·模拟预测）（   ） A．2 B． C． D． 变式2（2025·四川·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◇题型 10 相反数的应用 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）若与互为相反数，的倒数是，则的值为 ． 变式1（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 变式2（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C． D．16 ◇题型 11 求一个数的绝对值 典例1（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 变式1（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（   ） A．18 B． C． D． ◇题型 12 化简绝对值 典例1（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 变式12025·浙江·中考真题） ． 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 ◇题型 13 绝对值非负性的应用 典例1（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 变式1（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 变式2（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 ◇题型 14 利用几何意义化简绝对值 典例1（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 变式12025·河北邯郸·二模）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 变式22025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． ◇题型 15 乘方运算 典例1（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 变式1（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式2（2024·青海西宁·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ◇题型 16 乘方应用 典例1（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 变式1（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天 ◇题型 17 求一个数的算术平方根 典例1（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 变式1（2025·江苏·一模）计算： ． 变式2的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． ◇题型 18 利用算术平方根的非负性解题 典例1（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 变式1（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 变式2（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． ◇题型 19 求一个数的平方根 典例1（2022·四川攀枝花·中考真题）2的平方根是（    ）． A． B． C．2 D． 变式1的平方根是 ． ◇题型 20 已知一个数的平方根，求这个数 典例1（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 典例2（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 变式1（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为 ． 变式2（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． ◇题型 21 求一个数的立方根 典例1（2025·江西·中考真题）化简： 变式1（2025·江苏南京·三模）的值是 ；8的立方根是 ． 变式2（2025·湖北·模拟预测）计算：= ． ◇题型 22 用科学记数法表示数 典例1（2025·西藏·中考真题）截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册．数据500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 ◇题型 23 求一个数的近似数 典例1（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 典例2（2025·山东·一模）近似数精确到 位． 变式1（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 变式2（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． ◇题型 24 利用数轴比较实数大小 典例1（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 变式1（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 变式2（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． ◇题型 25 利用作差法比较实数大小 典例1（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 变式1已知： ， ． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设．若x是整数，求y的整数值． ◇题型 26 利用作商法比较实数大小 典例1阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． ◇题型 27 利用平方法比较实数大小 典例1（24-25八年级上·吉林长春·月考）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 变式1（2025·浙江·三模）比较大小： 填“>，<或=” 变式2比较大小： ．（填“”或“”） ◇题型 28 利用其他方法比较实数大小 典例1（2025·山西临汾·三模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 变式1（2025·河南平顶山·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 变式2（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． ◇题型 29 实数的运算 典例1（2025·陕西·中考真题）计算：． 典例2（2025·山东济南·中考真题）计算：． 解｜题｜技｜巧 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 变式1（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 变式2（2025·四川广元·中考真题）计算：． 变式3（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． ◇难点 1 实数与数轴相结合的应用 典例11．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 典例2（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 变式1（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． ． 变式2（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． ◇难点 2 无理数的整数部分与小数部分求解 典例1（2025·重庆·二模）a是的整数部分，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 典例2（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ． 变式1（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 变式2（24-25九年级下·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 ◇难点 3 含绝对值化简的实数混合运算 典例1（2025·宁夏·中考真题）计算：． 变式1（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 变式2（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2） 计算： ◇难点 4 实数规律探究 典例1（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 变式1（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 变式2（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） ◇难点 5 实数新定义运算 典例1（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 变式1（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． ◇测能力 1．（2025·浙江丽水·二模）若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025·安徽淮南·二模）决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·模拟预测）如图，在数轴上的四个点中，对应的数最接近的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2025·广东韶关·二模）若，则（    ） A．4 B． C． D． 6（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃酒泉·二模）计算：． ◇提能力 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 3．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 4（2025·湖南怀化·二模）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $