第02讲 整式与因式分解（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦“整式与因式分解”核心考点，覆盖代数式、整式概念、运算及因式分解等中考必查内容，以“考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”为主线，通过考点梳理构建知识网络，方法指导（如避坑口诀）强化解题技巧，真题训练（典例变式均选自中考题）突破易错难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“核心素养导向的分层突破”设计，如针对多项式乘积不含某项求参数问题，采用“展开合并-系数定位-方程求解”三步法，培养运算能力与推理意识。练测提能分基础与综合两级，配合规律探索题型训练模型意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应试能力。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1代数式类 考点2整式的相关概念 考点3整式运算 考点4因式分解 命题突破👉破解常考题型 题型1实际问题中的代数式 题型2求代数式的值 题型3 整式的加减 题型4 幂的混合运算 题型5 整式的乘除 题型6 乘法公式的应用 题型7 整式的化简求值 题型8 整式的混合运算 题型9 判断因式分解的正误 题型10 因式分解 题型11 因式分解的应用 题型12 图形类规律探索 题型13 数字类规律探索 题型14 数式中的新定义问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1多项式乘积不含某项求参数问题 难点2多项式与图形面积结合问题 难点3  因式分解的高级应用 难点4 利用完全平方配方求最值问题 难点5. 规律探究与新定义问题 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 代数式 1. 列代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式 代数式的书写要求： （1）数字与字母相乘数字写在字母前面，乘号可省略或用“・”；系数为 1 或 - 1 时，1 省略不写。 （2）字母与字母相乘乘号省略，相同字母相乘写成乘方形式。 （3）除法运算不用 “÷”，统一写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘带分数化为假分数，避免混淆。 （5）项式带单位多项式整体加括号后再写单位。 （6）符号规范代数式中出现减号，按 “代数和” 书写，省略加号和括号。 2. 代数式的值 求代数式的值的常见方法： （1）直接代入法：步骤：1. 明确字母取值 2.直接代入式子计算 （2）化简代入法：步骤：1. 先去括号、合并同类项化简 2.代入数值计算 （3）整体代入法：步骤：1. 将代数式变形为含已知式子的形式 2. 把已知式子的值整体代入 ◇考点 2 整式的相关概念 1.单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 - 系数：单项式中的数字因数（注意符号，如-3x²的系数是-3）。 次数：单项式中所有字母的指数和（如2x³y的次数是3+1=4）。 2.多项式：几个单项式的和。 项：组成多项式的每个单项式（包括符号，如x²-2x+1的项是x²、-2x、1）。 次数：多项式中次数最高的项的次数（如2x³-3x²y+5y²的次数是3）。 常数项：不含字母的项。 单项式： 1.系数判断错误 ① 忽略系数的符号；② 把π当成字母（π是常数）；③ 单独字母/数字的系数误判。 2. 次数判断错误 ① 忘记字母的指数为1（如的指数是1不是0）；② 多个字母时漏加指数；③ 常数项的次数误判。 3. 单项式定义混淆 认为含加减运算或分母含字母的式子是单项式。 多项式： 1. “项”的判断错误 忽略项的符号，或漏数常数项。 2. 次数判断错误 找错最高次项，或计算最高次项的次数时漏加字母指数。 3. 升幂/降幂排列错误 排列时忘记带项的符号，或混淆排列的依据（按哪个字母的指数排列）。 4. 整式概念混淆 把分式（分母含字母）当成多项式（单项式和多项式统称整式）。 ◇考点 3 整式的运算 1.整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 2.幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 3.整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 1. 幂的运算中混淆法则（如把aᵐ·aⁿ算成aᵐⁿ，把(aᵐ)ⁿ算成aᵐ⁺ⁿ）。 2. 乘法公式漏项或符号错误（如(a-b)²算成a² - b²，忽略中间项-2ab）。 3. 去括号时，括号前是“-”，只改变第一项符号，其余项不变号。 4. 同类项判断错误（如把x²y和xy²当作同类项） ◇考点 4 因式分解 1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法（中考重点） （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法（中考高频）： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤（中考要求）：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 1. 提公因式时漏提符号（如-x²+xy = -x(x - y)，不是x(-x+y)）。 2. 公式法中混淆平方差和完全平方公式的结构（如把a²+2ab+b²用平方差公式分解）。 3. 十字相乘法中常数项拆分错误（如把x²-5x+6拆成(x+2)(x+3)，忽略符号）。 4. 分解不彻底（如2x²-8只分解到2(x²-4)，未继续分解为2(x+2)(x-2)）。 5. 混淆因式分解和整式乘法（如把(a+b)(a-b)拆成a² - b²，属于整式乘法，不是因式分解）。 ◇题型 1 实际问题中的代数式 典例1（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 典例2（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 变式1（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 变式2．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 变式3（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可． 【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元， 故答案为；． ◇题型 2 求代数式的值 典例1（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 典例2（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 变式1（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 变式2（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 变式3（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． ◇题型 3 整式的加减 典例1（2025·湖北武汉·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 解｜题｜技｜巧 整式加减三步骤法： 1.去括号 括号前是“+”号：直接去掉括号，括号内各项符号不变 括号前是“-”号：去掉括号后，括号内各项都要变号（+变-，-变+） 括号前有系数：使用乘法分配律，将系数与括号内每一项相乘，不要漏乘 2.标记同类项 用不同符号（如波浪线、直线、圆圈）标记不同类的同类项 同类项判断标准：所含字母相同，且相同字母的指数也相同 同类项与系数大小和字母顺序无关 3.合并同类项 将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 变式1（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 14． 变式2（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． ◇题型 4 幂的混合运算 典例1（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 解｜题｜技｜巧 1.逆用法则求数值”：对应法则逆用； 2.“底数统一是关键”：对应底数变形； 3.“整体代换巧求值”：对应整体代换法； 4.“符号奇偶先判断”：对应符号处理； 5.最后一句提醒特殊值（1、-1、0 次幂）的分类讨论，避免漏解。 变式1（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 变式2（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 变式3（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． ◇题型 5 整式的乘除 典例1（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： 解｜题｜技｜巧 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘。 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 变式2（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． ◇题型 6 乘法公式的应用 典例1（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 典例2（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 解｜题｜技｜巧 正用：直接代入公式计算（如(2x+3)(2x-3) = 4x² - 9）。 逆用：用于因式分解或代数式变形（如a²-4ab+4b²=(a-2b)²）。 变形：利用a²+b²=(a+b)²-2ab、(a-b)²=(a+b)²-4ab等，求代数式的值 变式1（2024·四川·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 变式2（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． ◇题型 7 整式的化简求值 典例1（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 解｜题｜技｜巧 （1）去括号法则的正确应用（符号变化、乘法分配律的全面覆盖）； （2）同类项的准确判断与合并（字母相同、相同字母的指数相同）； （3）“先化简，再求值” 的解题流程（避免直接代入的复杂运算）。 变式1（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 变式2（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 变式3（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． ◇题型 8 整式的混合运算 典例1（2025·陕西·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据完全平方公式和单项式乘以多项式展开，然后合并同类项解答即可． 【详解】解： ． 变式1（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 变式2（2025·重庆垫江·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则和分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法、完全平方公式计算，再进行加减即可； （2）先算括号内的减法，再进行乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◇题型 9 判断因式分解的正误 典例1（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 变式1（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念及方法是关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 变式2（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义得出即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． ◇题型 10 因式分解 典例1（2025·吉林·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 典例2（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1.优先提公因式，再考虑公式法或十字相乘法。 2. 对于二次三项式，先看a是否为1，再拆分常数项（常数项为正，拆成同号两数；常数项为负，拆成异号两数，且绝对值大的数与一次项系数同号）。 3.分解后检查：是否为整式积的形式，是否分解彻底。 变式1（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． ◇题型 11 因式分解的应用 典例12022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 变式1（2022·江苏苏州·中考真题）已知，，则 ． 【答案】24 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键 变式2（2022·四川乐山·中考真题）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解： ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 变式3（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． ◇题型 12 图形类规律探索 典例1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 典例2（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 变式1（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 变式2（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 变式3（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． ◇题型 13 数字类规律探索 典例1（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 变式1（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 变式2（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． ◇难点 1 多项式乘积不含某项求参数问题 典例1（2024·四川德阳·二模）如果计算的结果不含项，那么n的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零即可得出答案． 【详解】解： ， ∵的结果不含项， ∴， ∴， 故选：C． 典例2（2023·湖南长沙·模拟预测）2021年2月20日，长沙市奋力实施“三高四新”战略全面推进高质量发展大会圆满召开．推进农业农村现代化是实施“三高四新”战略、建设现代化新湖南的重要基础．为积极响应响应党的政策，某科技公司为助力“数字农场”建设，计划对农场进行返利销售．返利前，销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元． (1)返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？ (2)农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设备销售方式不变，B型设备每台返利a万元．在返利政策下，科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，求a的值．（说明：科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润．） 【答案】(1)返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利万元 (2)a的值为 【分析】（1）设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x，y万元，根据销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元列出方程组求解即可； （2）设A型设备销售m台，则B型设备销售台，获利为万元，然后根据科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润列出w关于m的代数式，再根据获利与A型设备销售量无关进行求解即可． 【详解】（1）解：设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x，y万元 依题意得：， 解得：． 答：返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利万元． （2）解：设A型设备销售m台，则B型设备销售台，获利为万元， 依题意得：， ∵科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关， ∴，即， ∴a的值为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意列出对应的方程和式子是解题的关键． 变式1（2022·山东德州·模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x的一次项，则含x的一次项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开式中不含x的一次项， ， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题． 变式2（2022·云南文山·一模）如果多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，则的值为（    ） A．-12 B．-6 C．6 D．18 【答案】B 【分析】先计算与的乘积，然后根据题意，列方程求解即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则，并根据题意求出a、b的值． ◇难点 2 多项式与图形面积结合问题 典例1（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 典例2（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③ (2)证明见解析 (3)①2 ②结论仍成立，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设， ∴，，，， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设，， ∴，，，， ∴， ， ∴仍成立． 【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 变式1（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 变式2（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 【答案】(1)5 (2)，， (3)8 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、整式运算的应用，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）结合完全平方公式，可得，然后将代入计算即可； （2）利用图中矩形面积等于长宽、各部分面积之和两种方式表达，即可获得答案； （3）首先将经计算可得，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）根据题意，大矩形的长为，宽为，则其面积为：， 大矩形的面积也可以表示为：， 最终可以得到等式：； （3）根据（2）中方法可以列出等式：， 将，代入上述等式中， 可得． 变式3（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积．    (1)珍珍要拼一个长为，宽为的长方形，需要A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，求的值； (2)将一张A卡片放在B卡片的内部得到如图2所示的图形；将A、B卡片并列放置后构造成如图3所示的新的正方形．若图2中阴影部分的面积为5，一张C卡片的面积为6，求图3中阴影部分的面积； (3)轩轩和淇淇各用4张卡片拼成了如图4所示的正方形和图5所示的一个长方形，记轩轩所拼正方形的面积为，淇淇所拼长方形的面积为，要比较的大小，轩轩认为必须告诉a，b的值；淇淇认为不用告诉a，b的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)29 (3)淇淇的看法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果，即可确定x、y、z的值，进而可得答案； （2）根据图2中阴影部分面积为5，得到，根据C的面积得到，再表示出图3中阴影部分面积即可得到答案； （3）分别表示出，再求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，需要A卡片2张，B卡片1张，C卡片3张， ∴， ∴； （2）解：∵图2中阴影部分面积为5， ∴， ∵一张C卡片的面积为6， ∴， ∴图3中阴影部分面积 ； （3）解；淇淇的看法正确，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴淇淇的看法正确． ◇难点 3 因式分解的高级应用 典例1（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可． 【详解】解：长方形的长和宽分别为，， ，， ， ， 故答案为：． 典例2（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 变式1（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 变式2（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】(1)91 (2)能够被2整除，理由见解析 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可； （2）算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（）， ∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是． （2）解：能够被2整除．                             理由如下： 由题意，得． 能被2整除， 由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． ◇难点 4 利用完全平方配方求最值问题 典例1（2024·浙江·模拟预测）若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式及二次函数的性质，熟练掌握完全平方公式及二次函数的性质是解题的关键； 由题意易得，然后根据完全平方公式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵，即，， ∴ ， ∵， ∴， ∴最小值为； 故答案为． 变式1（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，把原式配成完全平方式即可求解 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故最小值为2 故选：B ． 变式2（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据已知条件利用完全平方公式得到，再由非负性的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴当时，P有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． ◇难点 5 探究规律与新定义问题 典例1（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 典例2（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 变式1（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 变式2（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． ◇测能力 1．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 4．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 5．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 8．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． ◇提能力 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1代数式类 考点2整式的相关概念 考点3整式运算 考点4因式分解 命题突破👉破解常考题型 题型1实际问题中的代数式 题型2求代数式的值 题型3 整式的加减 题型4 幂的混合运算 题型5 整式的乘除 题型6 乘法公式的应用 题型7 整式的化简求值 题型8 整式的混合运算 题型9 判断因式分解的正误 题型10 因式分解 题型11 因式分解的应用 题型12 图形类规律探索 题型13 数字类规律探索 题型14 数式中的新定义问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1多项式乘积不含某项求参数问题 难点2多项式与图形面积结合问题 难点3  因式分解的高级应用 难点4 利用完全平方配方求最值问题 难点5. 规律探究与新定义问题 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 代数式 1. 列代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式 代数式的书写要求： （1）数字与字母相乘数字写在字母前面，乘号可省略或用“・”；系数为 1 或 - 1 时，1 省略不写。 （2）字母与字母相乘乘号省略，相同字母相乘写成乘方形式。 （3）除法运算不用 “÷”，统一写成分数形式。 （4）带分数与字母相乘带分数化为假分数，避免混淆。 （5）项式带单位多项式整体加括号后再写单位。 （6）符号规范代数式中出现减号，按 “代数和” 书写，省略加号和括号。 2. 代数式的值 求代数式的值的常见方法： （1）直接代入法：步骤：1. 明确字母取值 2.直接代入式子计算 （2）化简代入法：步骤：1. 先去括号、合并同类项化简 2.代入数值计算 （3）整体代入法：步骤：1. 将代数式变形为含已知式子的形式 2. 把已知式子的值整体代入 ◇考点 2 整式的相关概念 1.单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。 -系数：单项式中的数字因数（注意符号，如-3x²的系数是-3）。 次数：单项式中所有字母的指数和（如2x³y的次数是3+1=4）。 2.多项式：几个单项式的和。 项：组成多项式的每个单项式（包括符号，如x²-2x+1的项是x²、-2x、1）。 次数：多项式中次数最高的项的次数（如2x³-3x²y+5y²的次数是3）。 常数项：不含字母的项。 单项式： 1.系数判断错误 ① 忽略系数的符号；② 把π当成字母（π是常数）；③ 单独字母/数字的系数误判。 2. 次数判断错误 ① 忘记字母的指数为1（如的指数是1不是0）；② 多个字母时漏加指数；③ 常数项的次数误判。 3. 单项式定义混淆 认为含加减运算或分母含字母的式子是单项式。 多项式： 1.“项”的判断错误 忽略项的符号，或漏数常数项。 2. 次数判断错误 找错最高次项，或计算最高次项的次数时漏加字母指数。 3. 升幂/降幂排列错误 排列时忘记带项的符号，或混淆排列的依据（按哪个字母的指数排列）。 4. 整式概念混淆 把分式（分母含字母）当成多项式（单项式和多项式统称整式）。 ◇考点 3 整式的运算 1.整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 2.幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 3.整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 ①平方差公式： ②完全平方公式： （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 1. 幂的运算中混淆法则（如把aᵐ·aⁿ算成aᵐⁿ，把(aᵐ)ⁿ算成aᵐ⁺ⁿ）。 2. 乘法公式漏项或符号错误（如(a-b)²算成a² - b²，忽略中间项-2ab）。 3. 去括号时，括号前是“-”，只改变第一项符号，其余项不变号。 4. 同类项判断错误（如把x²y和xy²当作同类项） ◇考点 4 因式分解 1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法（中考重点） （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a²- b² =(a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法（中考高频）： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤（中考要求）：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 1. 提公因式时漏提符号（如-x²+xy = -x(x - y)，不是x(-x+y)）。 2. 公式法中混淆平方差和完全平方公式的结构（如把a²+2ab+b²用平方差公式分解）。 3. 十字相乘法中常数项拆分错误（如把x²-5x+6拆成(x+2)(x+3)，忽略符号）。 4. 分解不彻底（如2x²-8只分解到2(x²-4)，未继续分解为2(x+2)(x-2)）。 5. 混淆因式分解和整式乘法（如把(a+b)(a-b)拆成a² - b²，属于整式乘法，不是因式分解）。 ◇题型 1 实际问题中的代数式 典例1（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 变式2．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 变式3（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． ◇题型 2 求代数式的值 典例1（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 典例2（2025·四川·中考真题）若，则 ． 变式1（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 变式2（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    变式3（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． ◇题型 3 整式的加减 典例1（2025·湖北武汉·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 整式加减三步骤法： 1.去括号 括号前是“+”号：直接去掉括号，括号内各项符号不变 括号前是“-”号：去掉括号后，括号内各项都要变号（+变-，-变+） 括号前有系数：使用乘法分配律，将系数与括号内每一项相乘，不要漏乘 2.标记同类项 用不同符号（如波浪线、直线、圆圈）标记不同类的同类项 同类项判断标准：所含字母相同，且相同字母的指数也相同 同类项与系数大小和字母顺序无关 3.合并同类项 将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 变式1（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． ◇题型 4 幂的混合运算 典例1（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 1.逆用法则求数值”：对应法则逆用； 2.“底数统一是关键”：对应底数变形； 3.“整体代换巧求值”：对应整体代换法； 4.“符号奇偶先判断”：对应符号处理； 5.最后一句提醒特殊值（1、-1、0 次幂）的分类讨论，避免漏解。 变式1（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式3（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． ◇题型 5 整式的乘除 典例1（2024·陕西·中考真题）计算：． 解｜题｜技｜巧 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘。 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 变式2（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． ◇题型 6 乘法公式的应用 典例1（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 典例2（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 解｜题｜技｜巧 正用：直接代入公式计算（如(2x+3)(2x-3)=4x²-9）。 逆用：用于因式分解或代数式变形（如a²-4ab+4b²=(a-2b)²）。 变形：利用a²+b²=(a+b)²-2ab、(a-b)²=(a+b)²-4ab等，求代数式的值 变式1（2024·四川·中考真题）已知，，则 ． 变式2（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 ◇题型 7 整式的化简求值 典例1（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解｜题｜技｜巧 （1）去括号法则的正确应用（符号变化、乘法分配律的全面覆盖）。 （2）同类项的准确判断与合并（字母相同、相同字母的指数相同）。 （3）“先化简，再求值” 的解题流程（避免直接代入的复杂运算）。 变式1（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 变式2（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 变式3（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． ◇题型 8 整式的混合运算 典例1（2025·陕西·模拟预测）计算：． 变式1（2025·陕西咸阳·二模）化简：． 变式2（2025·重庆垫江·模拟预测）计算： (1)； (2)． ◇题型 9 判断因式分解的正误 典例1（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1（2025·山东·二模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 变式2（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． ◇题型 10 因式分解 典例1（2025·吉林·中考真题）因式分解： ． 典例2（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 解｜题｜技｜巧 1.优先提公因式，再考虑公式法或十字相乘法。 2. 对于二次三项式，先看a是否为1，再拆分常数项（常数项为正，拆成同号两数；常数项为负，拆成异号两数，且绝对值大的数与一次项系数同号）。 3.分解后检查：是否为整式积的形式，是否分解彻底。 变式1（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 ． 变式2（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． ◇题型 11 因式分解的应用 典例12022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 变式1（2022·江苏苏州·中考真题）已知，，则 ． 变式2（2022·四川乐山·中考真题）已知，则 ． 变式3（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． ◇题型 12 图形类规律探索 典例1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 典例2（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 变式1（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 变式2（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 变式3（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． ◇题型 13 数字类规律探索 典例1（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 变式1（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． ◇难点 1 多项式乘积不含某项求参数问题 典例1（2024·四川德阳·二模）如果计算的结果不含项，那么n的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 典例2（2023·湖南长沙·模拟预测）2021年2月20日，长沙市奋力实施“三高四新”战略全面推进高质量发展大会圆满召开．推进农业农村现代化是实施“三高四新”战略、建设现代化新湖南的重要基础．为积极响应响应党的政策，某科技公司为助力“数字农场”建设，计划对农场进行返利销售．返利前，销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元． (1)返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？ (2)农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设备销售方式不变，B型设备每台返利a万元．在返利政策下，科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，求a的值．（说明：科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润．） 变式1（2022·山东德州·模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（　　） A． B． C． D． 变式2（2022·云南文山·一模）如果多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，则的值为（    ） A．-12 B．-6 C．6 D．18 ◇难点 2 多项式与图形面积结合问题 典例1（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 典例2（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 变式1（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2（2025·河北·一模）根据解决问题． (1)若，，求的值； (2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式； (3)如图2，结合图中数据，若，，求的值． 变式3（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积．    (1)珍珍要拼一个长为，宽为的长方形，需要A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，求的值； (2)将一张A卡片放在B卡片的内部得到如图2所示的图形；将A、B卡片并列放置后构造成如图3所示的新的正方形．若图2中阴影部分的面积为5，一张C卡片的面积为6，求图3中阴影部分的面积； (3)轩轩和淇淇各用4张卡片拼成了如图4所示的正方形和图5所示的一个长方形，记轩轩所拼正方形的面积为，淇淇所拼长方形的面积为，要比较的大小，轩轩认为必须告诉a，b的值；淇淇认为不用告诉a，b的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． ◇难点 3 因式分解的高级应用 典例1（2025·河北唐山·二模）长和宽分别是的长方形的周长为8，面积为7，则的值为 ． 典例2（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 变式1（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 变式2（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ ◇难点 4 利用完全平方配方求最值问题 典例1（2024·浙江·模拟预测）若，，则的最小值为 ． 变式1（2025·四川南充·一模）代数式的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 变式2（2025·重庆·模拟预测）若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为 ． ◇难点 5 探究规律与新定义问题 典例1（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 典例2（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 变式1（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 变式2（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． ◇测能力 1．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 8．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． ◇提能力 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 3．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $