易错点2.1 弹力和胡克定律 讲义 -2026届高考物理一轮复习

本高中物理讲义聚焦相互作用中弹力与胡克定律高考核心考点，以形变、弹力产生条件为基础，通过判断三法、方向大小计算方法及轻绳杆弹簧模型比较构建知识体系，结合考点梳理、方法指导、典例剖析与分层训练，系统突破易错点，提升复习针对性。 资料以科学思维为导向，创新运用“假设法”“状态法”判断弹力及三类模型对比表格，培养学生模型建构能力；分层训练覆盖基础到真题情境，典例精讲破解胡克定律x的理解难点，助力学生高效提升解题技能，为教师把控复习节奏提供实用指导。

高考易错点解读和针对训练 第二章 相互作用 易错点2.1 弹力和胡克定律 易错点解读 1.形变 （1）形变：物体在力的作用下　形状　或　体积　的变化。 （2）弹性形变：形变后撤去作用力时能够　恢复原状　的形变。 （3）弹性限度：当形变超过一定限度时，撤去作用力后，物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫弹性限度。 2.弹力 （1）定义：发生弹性形变的物体，由于要　恢复原状　，会对与它接触的物体产生力的作用，这个力叫作弹力。 （2）产生条件：物体相互　接触　且物体发生　弹性形变　。 （3）方向：总是与施力物体形变的方向　相反　。 3.胡克定律 （1）内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比。 （2）表达式：F＝kx（k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧　自身性质　决定；x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度）。 易错点：1.发生形变的物体对与它接触的物体产生弹力的作用。 2.胡克定律F＝kx中x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度。 4. 判断弹力有无的“三法” （1）.条件法：根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。此方法多用来判断形变较明显的情况。 （2）假设法：对形变不明显的情况，可假设两个物体间弹力不存在，看物体能否保持原有的运动状态，若运动状态不变，则此处可能不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定有弹力。 （3）状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力的平衡条件判断弹力是否存在。 5. 弹力方向的判断 （3）根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。 6. 弹力大小的计算方法 （1）对有明显形变的弹簧、橡皮条等物体，弹力的大小可以由胡克定律F＝kx计算。 注意：x表示弹簧伸长（或缩短）的长度，形变量没有超出弹性限度。 （2）对于难以观察的微小形变，可以根据物体的受力情况和运动情况，运用共点力的平衡条件或牛顿第二定律来确定弹力大小。 7. 有关弹力的“三类模型”问题的比较 轻绳 轻杆 轻弹簧 质量大小 0 0 0 受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、 压缩形变、 弯曲形变 拉伸形变、 压缩形变 受外力作用时形变量大小 微小， 可忽略 微小， 可忽略 较大， 不可忽略 弹力方向 沿着绳， 指向绳 收缩的 方向　 既能沿着 杆，也可以 跟杆成任 意角度 沿着弹簧 轴线，指向 弹簧恢复 原长的方向 弹力大小 变化情况 可以突变 可以突变 弹簧两端 有物体时 不能突变 【典例剖析】 【典例1】如图所示是锻炼身体用的拉力器，并列装有四根相同的弹簧，每根弹簧的自然长度为40cm，某人用600N的力把它们拉长至1.6m，则（　BC　） A.人的每只手受到拉力器的拉力大小为300N B.每根弹簧产生的弹力大小为150N C.每根弹簧的劲度系数为125N/m D.每根弹簧的劲度系数为500N/m 解析　由题意，根据力的相互性知，人的每只手受到拉力器的拉力大小为600N，故A错误；由于四根弹簧并联，每根弹簧受到的拉力相等，故每根弹簧产生的弹力大小均为150N，B正确；每根弹簧的伸长量为x＝1.6m－0.4m＝1.2m，每根弹簧产生的弹力大小F＝150N，则由胡克定律F＝kx得，每根弹簧的劲度系数k＝＝125N/m，故C正确，D错误. 答案 BC 【方法点拨】　当弹簧并联使用时，各弹簧的弹力大小之和等于总弹力，要仔细分析每根弹簧受到的力，再根据胡克定律计算弹簧的伸长量. 【典例2】两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示.开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则（　B　） A.b弹簧的伸长量为L B.b弹簧的伸长量为 C.P端向右移动的距离为2L D.P端向右移动的距离为（1＋）L 解析　两根轻弹簧串联，两弹簧产生的弹力大小相等，根据胡克定律F＝kx得k1L＝k2xb，则b弹簧的伸长量xb＝，故A错误，B正确；开始时a、b两弹簧均处于原长状态，则P端向右移动的距离s等于两根弹簧伸长量之和，即s＝L＋xb＝（1＋）L，故C、D错误. 答案 B 【方法点拨】　弹簧串联在一起使用时，每根弹簧的弹力相等，均等于外界施加的力的大小，每根弹簧的伸长量x与其劲度系数k成反比. 【针对性训练】 1. 如图所示为一轻质弹簧的弹力大小和弹簧长度的关系图像，根据图像判断，正确的结论是（　　） A.弹簧的劲度系数为1 N/m B.弹簧的劲度系数为100 N/m C.无法判断弹簧的原长 D.弹簧伸长2 cm时，弹力的大小为4 N 答案 B 解析：　由题图可知，弹簧的弹力F＝0时，弹簧的长度为L0＝6 cm，即弹簧的原长为6 cm，可以判断弹簧的原长，故C错误；由题图可知弹力为F1＝2 N时，弹簧的长度为L1＝4 cm，弹簧压缩的长度x1＝L0－L1＝6 cm－4 cm＝2 cm＝0.02 m，由胡克定律可知，弹簧的劲度系数为k＝100 N/m，故A错误，B正确；当弹簧伸长2 cm时，弹力的大小为F＝kx＝100×0.02 N＝2 N，故D错误。 2.（2025·湖北荆门龙泉中学期末）一根轻弹簧一端固定，用大小为F1的力压轻弹簧的另一端，平衡时长度为l1，若改用大小为F2的力拉轻弹簧， 则平衡时长度为l2。轻弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，则下列说法正确的是（　　） A.轻弹簧的劲度系数为 B.轻弹簧的劲度系数为 C.轻弹簧的原长为 D.轻弹簧的原长为 答案：BC 解析：设轻弹簧的原长为l0，轻弹簧的劲度系数为k，根据胡克定律得F1＝k（l0－l1），F2＝k（l2－l0），两式联立得k＝，l0＝，故选项B、C正确，A、D错误。 3 如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重力为2 N的小球，小球处于静止状态，则弹性杆对小球的弹力（　　） A.大小为2 N，方向平行于斜面向上 B.大小为1 N，方向平行于斜面向上 C.大小为2 N，方向垂直于斜面向上 D.大小为2 N，方向竖直向上 答案：D 解析：小球受重力和杆的支持力（弹力）作用而处于静止状态，由二力平衡条件可知，弹性杆对小球的弹力与小球的重力等大反向，即弹性杆对小球弹力的大小为2 N，方向竖直向上，故选D。 　4.如图所示的装置中，各小球的质量均相等，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力大小分别为F1、F2、F3，其大小关系是（　　） A.F1＝F2＝F3 B.F1＝F2＜F3 C.F1＝F3＞F2 D.F3＞F1＞F2 答案 A 解析：　图甲中，以弹簧下方的小球为研究对象，小球受竖直向下的重力mg和弹簧向上的弹力，根据二力平衡条件得，F1＝mg；在乙、丙图中，小球受竖直向下的重力和细线的拉力，根据二力平衡条件得，弹簧的弹力大小均等于细线拉力的大小，则F2＝F3＝mg，故甲、乙、丙三图中平衡时弹簧的弹力大小相等，故A项正确，B、C、D错误。 5 (2024·四川眉山模拟)如图2所示，一根非弹性绳的两端分别固定在两座假山的A、B处，A、B两点的水平距离BD＝9 m，竖直距离AD＝4 m，A、B间绳长为15 m。重为240 N的猴子抓住套在绳子上的滑环在A、B间滑动，某时刻猴子在最低点C处静止，则此时绳的张力大小为(绳处于拉直状态)(　　) 图2 A.75 N B.125 N C.150 N D.200 N 答案　C 解析　在最低点，设绳子与竖直方向的夹角为θ，以猴子为研究对象，根据受力平衡可得2FTcos θ＝G，如图所示，根据几何关系可知sin θ＝＝＝，解得θ＝37°，则此时绳的张力大小为FT＝＝ N＝150 N，故C正确。 6 (2023·山东卷，2)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距为1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　) A.10 N/m B.100 N/m C.200 N/m D.300 N/m 答案　B 解析　由题意知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧产生的形变量等于相邻两盘间距，由ΔF＝kΔx得mg＝3kx，解得k＝100 N/m，故B正确。 7 如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，重力加速度为g。现使小车以加速度a(a≠0)向右做匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　) A.杆对小球的弹力一定竖直向上 B.杆对小球的弹力一定沿杆斜向上 C.杆对小球的弹力大小为mg D.杆对小球的弹力大小为 答案　D 解析　对小球受力分析如图所示，由图可知，当a大小不同时，杆上的弹力与竖直方向的夹角也不同，方向不一定沿杆，但一定是斜向上，且F>mg，选项A、B、C错误；由几何关系可知，F＝，选项D正确。 8 .(2024·浙江杭州东方中学期中)如图所示，关于下列四幅图中的弹力说法正确的是(　　) A.甲图中，由于书的形变，对桌面产生向下的弹力F1 B.乙图中，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的长度成正比 C.丙图中，碗对筷子的弹力沿筷子斜向上，如图中箭头所示 D.丁图中，绳的拉力不一定沿着绳收缩的方向 答案　A 解析　F1为桌面受到的压力，是由于书的形变，对桌面产生向下的弹力，A正确；根据胡克定律可知，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的形变量成正比，B错误；图中碗对筷子的弹力应垂直该处碗的切面斜向上，即接触点与碗心的连线向上，C错误；绳的拉力一定沿着绳而指向绳收缩的方向，D错误。 9. 如图甲所示，一轻质弹簧下端固定在水平面上，上端放一个质量为2m的物块A，物块A静止后弹簧长度为l1；若在物块A上端再放一个质量为m的物块B，静止后弹簧长度为l2，如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度范围内，则(　　) A.弹簧的劲度系数为 B.弹簧的劲度系数为 C.弹簧的原长为3l1－3l2 D.弹簧的原长为3l1－2l2 答案　BD 解析　设弹簧的劲度系数为k，根据题意，当A静止时，在物块A上端再放一个质量为m的物块B，弹簧的压缩量增加了l1－l2，则有mg＝k(l1－l2)，解得k＝，故A错误，B正确；设弹簧的原长为l，则根据题意有2mg＝k(l－l1)，3mg＝k(l－l2)，联立解得l＝3l1－2l2，故C错误，D正确。 10.(2024·天津和平区期末)如图4所示，一小球固定在轻杆上端，AB为水平轻弹簧，小球处于静止状态，图中虚线画出了杆对小球的作用力方向的可能情况，下列分析正确的是(　　) 图4 A.F1和F2均可能正确，且F1一定大于F2 B.F2和F3均可能正确，且F2一定大于F3 C.F3和F4均可能正确，且F3一定大于F4 D.只有F2是可能正确的，其余均不可能正确 答案　B 解析　小球处于静止状态，所受合力为零，杆对小球的作用力方向不可能是F1，故A错误；当弹簧的弹力为零时，杆对小球的作用力方向是F3，由平衡条件知F3＝mg，故D错误；当弹簧处于伸长状态时，杆对小球的作用力方向可能是F2，则F2等于重力和弹力的合力，所以F2＞mg＝F3，故B正确；当弹簧处于压缩状态时，杆对小球的作用力方向可能是F4，但F4一定大于F3，故C错误。 11.(2024·广东广州培正中学模拟)如图10所示，为一种倾斜放置的装取台球的装置，圆筒底部有一轻质弹簧，每个台球的质量均为m，半径均为R，圆筒的内径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后，又会冒出一个台球，刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，忽略球与筒间的摩擦力。则弹簧的劲度系数为(　　) 图10 A. B. C. D. 答案　A 解析　小球整体处于平衡状态，对最上面的小球受力分析，沿筒方向受力平衡有mgsin θ＝ΔF＝k·2R，解得k＝，故A正确。 12. 口罩是一种卫生用品，为了佩戴舒适，口罩两边的弹性绳的劲度系数比较小。某同学将弹性绳拆下，当弹性绳下端悬挂一块橡皮擦时，弹性绳的长度为30 cm，悬挂两块相同的橡皮擦时，弹性绳的长度为40 cm，如图11所示。当弹性绳下端悬挂一支笔时，弹性绳的长度为35 cm。若弹性绳满足胡克定律，且弹性绳始终在弹性限度内，不计弹性绳受到的重力，则下列说法正确的是(　　) 图11 A.弹性绳的原长为20 cm B.弹性绳的劲度系数为10 N/m C.一支笔受到的重力是一块橡皮擦受到的重力的1.5倍 D.将一块橡皮擦和一支笔一起挂在弹性绳下端时，弹性绳长45 cm 答案　ACD 解析　设弹性绳的原长为l0，当悬挂一块橡皮擦时，有mg＝k(l1－l0)①，当悬挂两块橡皮擦时，有2mg＝k(l2－l0)②，当悬挂一支笔时，有m′g＝k(l3－l0)③，由①②得l0＝20 cm，由于橡皮擦的重力未知，所以弹性绳的劲度系数求不出具体数值，故A正确，B错误；由①③得＝＝1.5，故C正确；将一块橡皮擦和一支笔一起挂在弹性绳下端时，设弹性绳长为l4，有mg＋m′g＝k(l4－l0)④，由以上各式联立得l4＝45 cm，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考易错点解读和针对训练 第二章 相互作用 易错点2.1 弹力和胡克定律 易错点解读 1.形变 （1）形变：物体在力的作用下　形状　或　体积　的变化。 （2）弹性形变：形变后撤去作用力时能够　恢复原状　的形变。 （3）弹性限度：当形变超过一定限度时，撤去作用力后，物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫弹性限度。 2.弹力 （1）定义：发生弹性形变的物体，由于要　恢复原状　，会对与它接触的物体产生力的作用，这个力叫作弹力。 （2）产生条件：物体相互　接触　且物体发生　弹性形变　。 （3）方向：总是与施力物体形变的方向　相反　。 3.胡克定律 （1）内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比。 （2）表达式：F＝kx（k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧　自身性质　决定；x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度）。 易错点：1.发生形变的物体对与它接触的物体产生弹力的作用。 2.胡克定律F＝kx中x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度。 4. 判断弹力有无的“三法” （1）.条件法：根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。此方法多用来判断形变较明显的情况。 （2）假设法：对形变不明显的情况，可假设两个物体间弹力不存在，看物体能否保持原有的运动状态，若运动状态不变，则此处可能不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定有弹力。 （3）状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力的平衡条件判断弹力是否存在。 5. 弹力方向的判断 （3）根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。 6. 弹力大小的计算方法 （1）对有明显形变的弹簧、橡皮条等物体，弹力的大小可以由胡克定律F＝kx计算。 注意：x表示弹簧伸长（或缩短）的长度，形变量没有超出弹性限度。 （2）对于难以观察的微小形变，可以根据物体的受力情况和运动情况，运用共点力的平衡条件或牛顿第二定律来确定弹力大小。 7. 有关弹力的“三类模型”问题的比较 轻绳 轻杆 轻弹簧 质量大小 0 0 0 受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、 压缩形变、 弯曲形变 拉伸形变、 压缩形变 受外力作用时形变量大小 微小， 可忽略 微小， 可忽略 较大， 不可忽略 弹力方向 沿着绳， 指向绳 收缩的 方向　 既能沿着 杆，也可以 跟杆成任 意角度 沿着弹簧 轴线，指向 弹簧恢复 原长的方向 弹力大小 变化情况 可以突变 可以突变 弹簧两端 有物体时 不能突变 【典例剖析】 【典例1】如图所示是锻炼身体用的拉力器，并列装有四根相同的弹簧，每根弹簧的自然长度为40cm，某人用600N的力把它们拉长至1.6m，则（　　） A.人的每只手受到拉力器的拉力大小为300N B.每根弹簧产生的弹力大小为150N C.每根弹簧的劲度系数为125N/m D.每根弹簧的劲度系数为500N/m 【典例2】两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示.开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则（　　） A.b弹簧的伸长量为L B.b弹簧的伸长量为 C.P端向右移动的距离为2L D.P端向右移动的距离为（1＋）L 【针对性训练】 1. 如图所示为一轻质弹簧的弹力大小和弹簧长度的关系图像，根据图像判断，正确的结论是（　　） A.弹簧的劲度系数为1 N/m B.弹簧的劲度系数为100 N/m C.无法判断弹簧的原长 D.弹簧伸长2 cm时，弹力的大小为4 N 2.（2025·湖北荆门龙泉中学期末）一根轻弹簧一端固定，用大小为F1的力压轻弹簧的另一端，平衡时长度为l1，若改用大小为F2的力拉轻弹簧， 则平衡时长度为l2。轻弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，则下列说法正确的是（　　） A.轻弹簧的劲度系数为 B.轻弹簧的劲度系数为 C.轻弹簧的原长为 D.轻弹簧的原长为 3 如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重力为2 N的小球，小球处于静止状态，则弹性杆对小球的弹力（　　） A.大小为2 N，方向平行于斜面向上 B.大小为1 N，方向平行于斜面向上 C.大小为2 N，方向垂直于斜面向上 D.大小为2 N，方向竖直向上 　4.如图所示的装置中，各小球的质量均相等，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力大小分别为F1、F2、F3，其大小关系是（　　） A.F1＝F2＝F3 B.F1＝F2＜F3 C.F1＝F3＞F2 D.F3＞F1＞F2 5 (2024·四川眉山模拟)如图2所示，一根非弹性绳的两端分别固定在两座假山的A、B处，A、B两点的水平距离BD＝9 m，竖直距离AD＝4 m，A、B间绳长为15 m。重为240 N的猴子抓住套在绳子上的滑环在A、B间滑动，某时刻猴子在最低点C处静止，则此时绳的张力大小为(绳处于拉直状态)(　　) 图2 A.75 N B.125 N C.150 N D.200 N 6 (2023·山东卷，2)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距为1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　) A.10 N/m B.100 N/m C.200 N/m D.300 N/m 7 如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，重力加速度为g。现使小车以加速度a(a≠0)向右做匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　) A.杆对小球的弹力一定竖直向上 B.杆对小球的弹力一定沿杆斜向上 C.杆对小球的弹力大小为mg D.杆对小球的弹力大小为 8 .(2024·浙江杭州东方中学期中)如图所示，关于下列四幅图中的弹力说法正确的是(　　) A.甲图中，由于书的形变，对桌面产生向下的弹力F1 B.乙图中，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的长度成正比 C.丙图中，碗对筷子的弹力沿筷子斜向上，如图中箭头所示 D.丁图中，绳的拉力不一定沿着绳收缩的方向 9. 如图甲所示，一轻质弹簧下端固定在水平面上，上端放一个质量为2m的物块A，物块A静止后弹簧长度为l1；若在物块A上端再放一个质量为m的物块B，静止后弹簧长度为l2，如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度范围内，则(　　) A.弹簧的劲度系数为 B.弹簧的劲度系数为 C.弹簧的原长为3l1－3l2 D.弹簧的原长为3l1－2l2 10.(2024·天津和平区期末)如图4所示，一小球固定在轻杆上端，AB为水平轻弹簧，小球处于静止状态，图中虚线画出了杆对小球的作用力方向的可能情况，下列分析正确的是(　　) 图4 A.F1和F2均可能正确，且F1一定大于F2 B.F2和F3均可能正确，且F2一定大于F3 C.F3和F4均可能正确，且F3一定大于F4 D.只有F2是可能正确的，其余均不可能正确 11.(2024·广东广州培正中学模拟)如图10所示，为一种倾斜放置的装取台球的装置，圆筒底部有一轻质弹簧，每个台球的质量均为m，半径均为R，圆筒的内径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后，又会冒出一个台球，刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，忽略球与筒间的摩擦力。则弹簧的劲度系数为(　　) 图10 A. B. C. D. 12. 口罩是一种卫生用品，为了佩戴舒适，口罩两边的弹性绳的劲度系数比较小。某同学将弹性绳拆下，当弹性绳下端悬挂一块橡皮擦时，弹性绳的长度为30 cm，悬挂两块相同的橡皮擦时，弹性绳的长度为40 cm，如图11所示。当弹性绳下端悬挂一支笔时，弹性绳的长度为35 cm。若弹性绳满足胡克定律，且弹性绳始终在弹性限度内，不计弹性绳受到的重力，则下列说法正确的是(　　) 图11 A.弹性绳的原长为20 cm B.弹性绳的劲度系数为10 N/m C.一支笔受到的重力是一块橡皮擦受到的重力的1.5倍 D.将一块橡皮擦和一支笔一起挂在弹性绳下端时，弹性绳长45 cm 学科网（北京）股份有限公司 $