5.1勾股定理及其逆定理教学课件2025-2026学年青岛版数学八年级上册

5.1勾股定理及其逆定理 20XX 青岛版八年级上册第5章勾股定理与实数 1.通过观察、思考、小组交流，借助几何画板演示，猜想直角三角形三边之间的数量关系，并能用自己的语言进行叙述； 2.通过拼图操作，尝试用多种方法证明勾股定理，并能用准确的符号语言表述该定理； 3.通过题组训练和古代趣题，能应用勾股定理计算直角三角形的未知边长，解决简单的实际问题，感悟方程思想。 学习 目标 观察地面图案，思考并回答问题： ①由等腰直角三角形构成的三个正方形的面积有什么关系？（用S1 、S2、S3 表示） ②若等腰直角三角形三边分别为a、b、c，则S1 、S2、S3 分别用a、b、c怎样表示？ ③由①可得到等腰直角三角形的三边之间有什么关系？(用a、b、c表示） 毕达哥拉斯的故事 a S1 S2 S3 任务一：勾股定理的猜想 3 ①由等腰直角三角形构成的三个正方形的面积有什么关系？（用S1 、S2、S3 表示） ②若等腰直角三角形三边分别为a、b、c，则S1 、S2、S3 分别怎样表示？ ③由①可得到等腰直角三角形的三边之间有什么关系？(用a、b、c表示） a2+b2=c2 S1 a b c S1=a2 S2=b2 S3=c2 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. S1+S2=S3 任务一：勾股定理的猜想 4 只有直角三角形:a2+b2=c2 【观察与发现】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 任务一：勾股定理的猜想 等腰三角形 一般的三角形 直角三角形 a b c a a b b c c 【活动】 剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出如图所示的图形。 【问题】 （1）判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状,并说明理由。 （2）设直角三角形的两条直角边长分别为a、 b,斜边长为c。观察图形，这两个正方形的面积怎样表示?它们有什么关系? （3）从中你能发现直角三角形的三边a,b,c之间有什么关系吗? 赵爽弦图 【操作与思考】 a b c 任务二：勾股定理的证明 a2+b2=c2 a b c 【形】 【数】 直角三角形、正方形 面积 将“数”的关系，用“形”直观展现，体现了一种非常重要的数学思想——数形结合。 a2+b2=c2 b b a a c c ┐ ┌ ┌ b b b b a a a a c c c c 多种证法 A C B a b c 勾股定理 勾 股 【概括与表达】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言： ∵ 在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ a2+b2=c2 9 任务三：勾股定理的应用--(回扣第二章HL定理的证明) 【思考与交流】 【概括与表达】 如果斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 如图，将一张长方形硬纸片沿虚线剪开，可得到一张直角三角形纸片，其一条直角边长为6cm，斜边为8cm. （1）将你的直角三角形纸片与同学的进行比较，它们能重合吗？ （2）改变上述条件中直角边和斜边的长度，再试一试。 6cm 8cm 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”） 已知，如图,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, ∠C=∠C'=90°,BC=B'C',AB=A'B', 证明:△ABC≌△A'B'C'。 证明:在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, 由勾股定理,得： AB2=BC2+AC2,A'B'2=B'C'2+A'C'2。 ∵BC=B'C',AB=A'B', ∴AC2=A'C'2。 ∴AC=A'C'。 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中, BC=B'C', AB=A'B', AC=A'C', 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS)。 任务三：勾股定理的应用 练习：在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A，∠B,∠C所对的三条边。 （1）若a=3，b=4，则c= == （2）若a=8，c=10，则b= = 变式：在Rt△ABC中,a、b、c分别是∠A，∠B,∠C所对的三条边。 若a=3，b=4，则c= = 5 6 任务三：勾股定理的应用 分类思想 A C B a b c 无理数 解:过点A作AD⊥BC,垂足为D 则∠ADB=90°。 在Rt△ABD和Rt△ABD中： AB=AC AD=AD ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) 例1、在△ABC中,BC=6,AB=AC=5。求△ABC的面积。 A B C D 即△ABC的面积为12。 在Rt△ABD中,∠ADB=90°, AB=5,BD=3。 由勾股定理,得: AD2=AB2-BD2=52-32=16。 ∴AD=4。 作垂线构造直角三角形 任务三：勾股定理的应用 指范围 找条件 列算式 得结果 5 5 6 大意为:如图,有一个边长为10尺的正方形水池,在水池正中间有一根芦苇AD,它高出水面1尺,即CD 为1尺。如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B处,它的顶端刚好到达岸边的水面,问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少。 例2、《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何。 解:设水池的水深为x尺,则这根 芦苇的长度为(x+1)尺。 即AC=x,AD=x+1。 在Rt△ABC中, BC=5,AB=AD=x+1。 由勾股定理,得 BC2+AC2=AB2, 即 52+x2=(x+1)2。 解方程,得x=12。 ∴ x+1=13。 ∴这个水池的水深为12尺, 这根芦苇的长度为13尺。 方程思想 E 5 任务三：勾股定理的应用 建筑工程中用于测量直角，如房屋地基校验计算梁架长度和桥梁斜拉索长度。 导航定位中，GPS通过三颗卫星坐标，用勾股定理三维空间距离公式计算接收机三维位置。 天文学中用三角式插法，结合勾股定理估算恒星到地球距离。 物理学中用于力的合成与分解，如平行四边形定则求合力速度合成，平抛运动和速度。 计算机图形学中用于计算图形两点距离，向量模长是渲染碰撞检测的基础。 日常生活中用于测量物体高度，如通过影子长度和仰角算术钩规划最短路线两点直线距离计算。 课堂总结 你掌握了哪些新知识？你体验了哪些思想方法？你收获了哪些感悟启发？ 图形与几何 数与式 直角三角形 有理数 勾股定理 勾股定理的证明、内容、应用 数 形 特殊-一般 猜想-推理-归纳 研究了什么 怎么研究 用什么思想方法 ①求直角三角形边长 ②几何问题 ③建筑、导航、计算机、物理学、天文学、日常…… 有什么作用 转化、方程、数形结合、分类、建模思想 无理数 实数 拓展作业 请你设计一个用尽量少的工具、安全的措施，测量周围一条河流河水的深度的方案。 必做题：125页1、2题 选做题：128页6、8题 分层作业 愿各位同学亦如这不断生长的勾股树，既能向下扎根，夯实数学的基础，亦能向上生长，探索无限的未来。 谢谢！ $