5.1勾股定理及其逆定理第1课时勾股定理 课件2025--2026学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探究、证明及应用，以第14届国际数学教育大会会标中的赵爽弦图导入，结合古代数学文化，通过剪拼全等直角三角形观察面积关系推导定理，搭建从几何直观到代数表达的学习支架，衔接直角三角形性质与后续实数概念。 其亮点在于融合数学文化与探究实践，以拼图活动培养数学眼光中的几何直观和创新意识，通过面积法推理证明体现数学思维中的推理能力，例题涵盖古算问题、生活情境及折叠问题，强化数学语言中的模型意识与应用意识。学生能经历完整探究过程，教师可依托实例和分层练习提升教学实效。

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 第 14 届国际数学教育大会（ICME-14）的会标蕴藏着 丰富的数学元素，展现了我国古代数学文化的魅力。 章头言 什么是勾股定理？勾股之“形”又将怎样更新我们对“数”的认识？ 尤其是位于螺旋中心，由四个直角三角形构成的正方形图案，是我国古代数学家的杰作，形象地展示了被誉为“千古第一定理”的勾股定理。 章头言 本章我们将追溯一段数学发展的历史，穿梭于几何和代数两大领域之间。在几何方面，我们将探索勾股定理及其逆定理；在代数方面，我们将认识数的一种新运算——开方运算，并将数的范围从有理数扩大至实数。实数理论的建立，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础。 章头言 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.1勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理 第14届国际数学教育大会会标中心的图案,是依据汉末三国初数学家赵爽(生卒年不详)的弦图创作的。 它是由什么图形组成的？ 蕴含着怎样的数学知识？ 创设情境 导入新课 剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出图所示的图形。判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状,并说明理由。 探究一 勾股定理 观察与发现 剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出图所示的图形。判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状,并说明理由。 两个四边形都是正方形。因为它们各自的边相等,四个角都为直角。 探究一 勾股定理 观察与发现 观察下图, （1）这两个正方形的面积怎样表示? 它们有什么关系? 探究一 勾股定理 思考与交流 设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c。 （2）从中你能发现直角三角形的 三边a,b,c之间有什么关系吗? （1））大、小正方形的边长分别为 c 和 b- a, 探究一 勾股定理 它们的面积分别为 c2 和(b- a)2。 ∴a2+b2=c2。 （2）直角三角形的三边a,b,c之间有： a2+b2=c2。 由图可知c2=(b- a)2+4× ab, 利用手中四个全等的直角三角形纸片 （1）你还能拼出其它不同的正方形吗?试一试。 （2）能用拼出的图形说明：a2+b2=c2 吗? 探究一 勾股定理 思考与交流 设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c。 b a c 探究一 勾股定理 观察与发现 （1）拼出的正方形如图所示 探究一 勾股定理 观察与发现 （2）大、小正方形的边长分别为 a b c a+b 和 c, （a+b）2 =c2+4× ab ∴a2+b2=c2。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理： A B C a b c 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 探究一 勾股定理 概括与表达 a2+b2=c2。 勾 股 勾 股 弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理. 探究一 勾股定理 解:在△ABC中,∠C=90°,由勾股定理, 得a2+b2=c2。 例1、在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别 a,b, c (1)若a=8,b=6,求c; (2)若c=25,b=15,求a; (3)若a:b=3:4,c = 15,求a和b。 例题解析 ∵c=15,∴ 5x = 15, ∴x=3。 ∴a=3x=3×3=9, b=4x=4×3=12。 (1)∵a=8，b= 6, ∴c2=a2+b2=82+62=100, ∴c=10。 (2)∵c=25，b=15, ∴a2=c2-b2=252-152=400, ∴a=20。 (3)设a=3x,b=4x(x>0), ∴c2=a2+b2=(3x)²+(4x)² =25x2, ∴c=5x。 1.在△ABC 中,∠C=90°,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C 所对的三条边。 (1)若a=3,b=4,则c= ; (2)若a=5,c=13,则b= ; (3)若b∶c=4∶5,a=15,则b= ,c= 。 巩固练习 5 12 20 25 利用勾股定理,可以证明 “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”(HL)。 探究二 证明“HL” 思考与交流 已知，如图,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, ∠C=∠C'=90°,BC=B'C', AB=A'B', 证明:△ABC≌△A'B'C'。 证明:在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, 由勾股定理,得 AB2=BC2+AC2,A'B'2=B'C'2+A'C'2。 ∵BC=B'C',AB=A'B', ∴AC2=A'C'2。 ∴AC=A'C'。 在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, BC=B'C', AB=A'B', AC=A'C', 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS)。 解:如图,过点A作AD⊥BC,则∠ADB=90°。 例2、在△ABC 中,BC=6,AB=AC=5。求△ABC 的面积。 A B C D AD2=AB2-BD2=52-32=16。 ∵AB=AC,BC=6, ∴BD=BC=3。 在Rt△ABD 中,∠ADB=90°, AB=5,BD=3。由勾股定理,得 ∴AD=4。 ∴S△ABC= BC·AD = ×6×4=12, 即△ABC 的面积为12。 例题解析 大意为:如图,有一个边长为10尺的正方形水池,在水池正中间有一根芦苇AD,它高出水面1尺,即CD 为1尺。如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B 处,它的顶端刚好到达岸边的水面,问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少。 例3、《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题: 今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何。 例题解析 解方程,得x=12。 解:设水池的水深为x尺,则这根芦苇的长度为(x+1)尺。即AC=x,AD=x+1。 在Rt△ABC 中,BC=5,AB=AD=x+1。 由勾股定理,得 BC2+AC2=AB2, 即 52+x2=(x+1)2。 ∴ x+1=13。 ∴这个水池的水深为12尺,这根芦苇的长度为13尺。 2.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯足距墙脚3m。若梯子的顶端下滑1m,则梯足将滑动( ) A.0m B.1m C.2m D.3m B 例4、如图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为 DE,求CD的长。 解:设CD =xcm,则AD=BD=(8-x)cm。 在Rt△ACD 中,AD² = AC2+CD², 即(8-x)² = 6+x2,解得x=2,即 CD的长为7cm。 练习.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 A B C D F E X (8- X) X 10 10 8 6 4 3.已知直角三角形两边的长分别是3和4,求第三边 长的平方。 巩固练习 4.如图，一棵树在离地面6米处(点B)折断，树顶部点A落在离树底部(点C)8米处，则树折断前有多少米? 5.一个零件的形状如图所示，在这个零件中，∠A和∠DBC都为直角，工人师傅量得这个零件AD=4cm，AB=3 cm，BC=12cm，求这个零件CD边的长及这个四边形零件的面积. 6.如图,△ABC 是直角三角形,分别以两条直角边AB,AC 为边向外作正方形。如果两个正方形的面积分别是36和64,求BC 的长。 巩固练习 如图,图中所有四边形都是正方形，正方形Ⅰ的边长为7你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？ B A C D Ⅰ Ⅱ Ⅲ 答案：49 7 a b c 拓展与延伸 例7. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少. A B A B C 2 1 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）. 本节课你有什么收获？ 1.选择题 （1）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定 C 当堂检测 D （2）、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（ ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 厘米； D、 厘米； 12 13 25 A O 8米 6米 B 10米 2.填空题 （1）如右图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ）。 （2）如图，从电线杆的顶端A点，扯一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢丝绳的长度是（ ） 。 3.某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高2米，消防队员取来7米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火? $