第22章 直角三角形 章节（10知识点回顾+36题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第22章 直角三角形 章节（10知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1．直角三角形的性质 2．直角三角形全等的判定 3．角平分线的性质 4.勾股定理 5.勾股定理的证明 6.勾股定理的逆定理 7.勾股数 8.勾股定理与网格问题 9.勾股定理与折叠问题 10.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、锐角互余的三角形是直角三角形 三、斜边的中线等于斜边的一半 四、含30度角的直角三角形 五、用HL证全等 六、全等的性质和HL综合 七、作角平分线(尺规作图) 八、角平分线的性质定理 九、角平分线的判定定理 十、角平分线性质的实际应用 十一、用勾股定理解三角形 十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 十三、勾股定理与网格问题 十四、勾股定理与折叠问题 十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 十六、利用勾股定理证明线段平方关系 十七、勾股定理的证明方法 十八、以弦图为背景的计算题 十九、用勾股定理构造图形解决问题 二十、勾股定理与无理数 二十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 二十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 二十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 二十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 二十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十六、求河宽(勾股定理的应用) 二十七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 三十、求最短路径(勾股定理的应用) 三十一、判断三边能否构成直角三角形 三十二、在网格中判断直角三角形 三十三、利用勾股定理的逆定理求解 三十四、勾股树（数）问题 三十五、勾股定理逆定理的实际应用 三十六、勾股定理逆定理的拓展问题 知识梳理 知识点1．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，A B C A′ B′ C′ ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 知识点4.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：＝－；＝－. 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点5.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点6.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点7.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点8.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度=​。 知识点9.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点10.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 3．（22-23八年级上·上海·期中）若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是 ． 【答案】以中点为圆心，以为半径的圆（A、B除外） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，直角三角形中，点D是斜边的中点，    ∴， ∴点C的轨迹是以中点为圆心，以为半径的圆． 故答案为：以中点为圆心，以为半径的圆（A、B除外）． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，线段垂直平分线的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 可得均为直角三角形，继而由斜边上的中线性质得到，则点在的垂直平分线上，继而可求证． 【详解】证明：连接， ∵三边上的高相交于点M， ∴均为直角三角形， ∵P为的中点，Q为的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴． 题型四、含30度角的直角三角形 5．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角的直角三角形的性质及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，逆定理为：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边为斜边的一半，那么这个锐角为．据此分析即可． 【详解】解：A、不是斜边，故不能用角的直角三角形的逆定理判断，故不符合题意； B、不知哪个角为直角，故错误，不符合题意； C、在中，，则，符合角的直角三角形的逆定理，符合题意； D、应为，故错误，不符合题意， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型五、用HL证全等 7．如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角，王师傅要在该坡角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面和地面，且两块长方形木板的顶角交于点A，两长边交于点D，分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的和．这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则≌的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，理解题意是解题的关键． 根据题意找到三角形全等的条件，进而解题． 【详解】解：由题意知，， 在与中， ， ∴≌． 故选：B ． 8．如图，△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD平分∠BAC, 点E正好在BD的垂直平分线上，且AB=6，则△DBE的周长是 .    【答案】6 【知识点】全等三角形的性质、用HL证全等（HL） 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再求出△DBE的周长=AB，从而得解． 【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∴△DBE的周长=DE+BD+BE， =CD+BD+BE， =BC+BE， =AC+BE， =AE+BE， =AB， ∵AB=6， ∴△DBE的周长=6．    故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并求出△DBE的周长=AB是解题的关键． 9．已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案． 【详解】证明：如图，连接CD， ∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°， 在Rt△ADC和Rt△BCD中 ， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）， ∴AD=BC． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 题型六、全等的性质和HL综合 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．通过证明，得到，再由，得到，从而可以证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：，，（已知） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ，（已知） ，即，（线段的和差） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ．（内错角相等，两直线平行） 题型七、作角平分线(尺规作图) 11．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【答案】图见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确作出图形是解题的关键； 根据角平分线的作法作出的角平分线，作线段垂直平分线，以点为圆心，为半径画弧交射线于和，则点和即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 题型八、角平分线的性质定理 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】如图1过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，故①正确；根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故②错误；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故④正确． 【详解】解：如图1过作于， 平分，， ， ，故①正确； ， ， 、分别平分、，且、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ，故②错误； 在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 故④正确， 故选：A． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两部分知识、构造全等三角形是解题的关键； （1）过点A作交延长线于点F，由角平分线的性质定理得，再证明即可得； （2）证明，得，则． 【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点F， ∵平分，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九、角平分线的判定定理 14．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质， ∴点M应在∠ABC的平分线上． 故选C． 【点睛】本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键． 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，， 再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）过点分别作于点，于点Q，先根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌ （2）证明：过点分别作与点，于点，   ≌， ， 而， ， 为的角平分线． 题型十、角平分线性质的实际应用 16．如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（    ）    A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果． 【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，    ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DE=DF， ∴S△ABD：S△ADC=AB•DE：AC•DF=AB：AC=4：3． 故选C． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键． 17．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为 【答案】16 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2， ∴点P到AC、BC的距离为2， ∵△ABC的周长为16， ∴△ABC的面积=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键． 18．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、线段垂直平分线的判定 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【详解】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 题型十一、用勾股定理解三角形 19．（23-24八年级上·上海宝山·期末）直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，再根熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据勾股定理求出斜边长，据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：D． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知，点B是边上一点． (1)在的内部，求作点P，使点P到和两边的距离相等，并且 ． (2)如果，，试求出点P到的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查作图复杂作图，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的性质． （1）根据题意作出的平分线和的垂直平分线交于点P，即为所求； （2）如图所示，过点P作，求出，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，过点P作 ∵ 由作图得，平分，垂直平分 ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴点P到的距离是． 题型十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是 ∴ 如图，过A作于H， ， 则； 同理 ， 又 则． 故选：B． 22．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么 ． 【答案】225 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理和正方形的面积计算公式可得A的面积加C的面积等于B的面积，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理和正方形的性质可得正方形A的面积加上正方形C的面积等于正方形B的面积， ∵B的值为289，C的值为64， ∴A的值为， 故答案为：225． 题型十三、勾股定理与网格问题 23．如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：△ABC的面积=×BC×AE=2， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 题型十四、勾股定理与折叠问题 24．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】1或 【知识点】三线合一、勾股定理与折叠问题 【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴的面积是：； 当时， 如图，过A作于H，设， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的面积是：．． 故答案为：1或． 题型十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 25．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型十六、利用勾股定理证明线段平方关系 26．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 题型十七、勾股定理的证明方法 27．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、勾股定理的证明方法 【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：∵的面积为1， ∴，即， ∵，即， ∴，即， ∴的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解． 28．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的性质、勾股定理的证明方法 【分析】方法一：用4个全等的拼成如图所示的“弦图”，由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，根据大正方形的面积建立等式即可得到答案； 方法二：用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形，由全等三角形的性质可得，，，，，用两种方法表示出梯形的面积，建立等式即可得出答案． 【详解】证明：方法一：如图，用4个全等的拼成如图所示的“弦图”， ， 由图可得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ， ； 方法二：如图，用两个全等的和一个等腰直角三角形构成直角梯形， ， ， ，，，，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、掌握正方形、三角形、梯形的面积的计算是解此题的关键． 题型十八、以弦图为背景的计算题 29．有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 题型十九、用勾股定理构造图形解决问题 30．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可；设小正方形的边长为x，已知a=3，b=4，得AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3+x)2+(x+4)2=72； 整理得x2+7x-12=0，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积. 【详解】如图.    设小正方形的边长为x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即(3+x)2+(x+4)2=72， 整理得，x2+7x-12=0， 解得，或（舍去）， ∴该矩形的面积 故答案为. 【点睛】考查勾股定理，设出正方形的边长，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 题型二十、勾股定理与无理数 31．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 题型二十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 32．（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，在中，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯子底端将向左滑动米， 故答案为：． 题型二十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 33．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ） A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22 【答案】A 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 题型二十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 34．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 题型二十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 35．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 题型二十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 36．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 题型二十六、求河宽(勾股定理的应用) 37．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 题型二十七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5=17（米）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 题型二十八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 39．新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 题型二十九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 40．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 题型三十、求最短路径(勾股定理的应用) 41．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 【答案】． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理等．根据题意分两种情况分析，针对两种情况求出路径长，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：如图①所示，， 如图②所示，， ∵，， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为． 题型三十一、判断三边能否构成直角三角形 42．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型三十二、在网格中判断直角三角形 43．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，结合勾股定理可得，然后根据勾股定理的逆定理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故选：A． 题型三十三、利用勾股定理的逆定理求解 44．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； （2）根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）． 题型三十四、勾股树（数）问题 45．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】（1）32+=42，能构成直角三角形，但不是正整数，故错误； （2），能构成直角三角形，但不是整数，故错误； （3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确； （4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误． 故选A． 【点睛】本题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 题型三十五、勾股定理逆定理的实际应用 46．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，然后再计算其面积即可． 【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且 ，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，， ∴该花坛的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF． (1)如图，当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②连接BE，设线段CD＝x，线段BE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②函数的解析式是y＝，定义域是0＜x≤5；(2)△ADE的面积为或50+75． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）①在直角三角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由,利用即可得证； ②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域； （2）分两种情况考虑：①当点D在线段上时；②当点D在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可. 【详解】(1)①在Rt△ABC中， ∵∠B＝30°，AB＝10， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝AB＝5， ∴AC＝AF， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠EAD＝60°， ∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB， ∴∠CAD＝∠FAE， 在△AEF和△ADC中， ， ∴△AEF≌△ADC(SAS)； ②∵△AEF≌△ADC， ∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x， 又∵点F是AB的中点， ∴AE＝BE＝y， 在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2， ∴函数的解析式是，定义域是； (2)①当点D在线段CB上时， 由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形， ∴AD2＝50， △ADE的面积为； ②当点D在线段CB的延长线上时， 由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10， ∴在Rt△ACD中，勾股定理可得， △ADE的面积为， 综上所述，△ADE的面积为或． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 题型三十六、勾股定理逆定理的拓展问题 48．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 49．在一次“探究性学习”课中，数学老师给出如下表所示的数据： 请你认真观察线段a、b、c的长与n之间的关系，用含n（n为自然数，且n>1）的代数式 表示： a= b= c= 猜想：以线段a、b、c为边的三角形是否是直角三角形？并说明你的结论． 【答案】（1）n2﹣1， 2n， n2+1； （2）能构成直角三角形． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【详解】试题分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可． 试题解析：（1）由题意有：. （2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴. ∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 考点：1.列代数式；2.勾股定理的逆定理. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 直角三角形 章节（10知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1．直角三角形的性质 2．直角三角形全等的判定 3．角平分线的性质 4.勾股定理 5.勾股定理的证明 6.勾股定理的逆定理 7.勾股数 8.勾股定理与网格问题 9.勾股定理与折叠问题 10.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、锐角互余的三角形是直角三角形 三、斜边的中线等于斜边的一半 四、含30度角的直角三角形 五、用HL证全等 六、全等的性质和HL综合 七、作角平分线(尺规作图) 八、角平分线的性质定理 九、角平分线的判定定理 十、角平分线性质的实际应用 十一、用勾股定理解三角形 十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 十三、勾股定理与网格问题 十四、勾股定理与折叠问题 十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 十六、利用勾股定理证明线段平方关系 十七、勾股定理的证明方法 十八、以弦图为背景的计算题 十九、用勾股定理构造图形解决问题 二十、勾股定理与无理数 二十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 二十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 二十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 二十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 二十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 二十六、求河宽(勾股定理的应用) 二十七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 二十八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 二十九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 三十、求最短路径(勾股定理的应用) 三十一、判断三边能否构成直角三角形 三十二、在网格中判断直角三角形 三十三、利用勾股定理的逆定理求解 三十四、勾股树（数）问题 三十五、勾股定理逆定理的实际应用 三十六、勾股定理逆定理的拓展问题 知识梳理 知识点1．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，A B C A′ B′ C′ ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 知识点4.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：＝－；＝－. 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点5.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点6.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点7.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点8.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度=​。 知识点9.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点10.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 3．（22-23八年级上·上海·期中）若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是 ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 题型四、含30度角的直角三角形 5．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ． 题型五、用HL证全等 7．如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角，王师傅要在该坡角靠墙处铺设木板，他的做法为：①将两块等宽的长方形木板的长边分别贴住坡面和地面，且两块长方形木板的顶角交于点A，两长边交于点D，分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的和．这样就可以将坡角靠墙处贴合地铺设木板，则≌的依据是（   ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD平分∠BAC, 点E正好在BD的垂直平分线上，且AB=6，则△DBE的周长是 .    9．已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC 题型六、全等的性质和HL综合 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 题型七、作角平分线(尺规作图) 11．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 题型八、角平分线的性质定理 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 题型九、角平分线的判定定理 14．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 题型十、角平分线性质的实际应用 16．如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（    ）    A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定 17．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为 18．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    题型十一、用勾股定理解三角形 19．（23-24八年级上·上海宝山·期末）直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知，点B是边上一点． (1)在的内部，求作点P，使点P到和两边的距离相等，并且 ． (2)如果，，试求出点P到的距离是多少？ 题型十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么 ． 题型十三、勾股定理与网格问题 23．如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ． 题型十四、勾股定理与折叠问题 24．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ． 题型十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 25．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 题型十六、利用勾股定理证明线段平方关系 26．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 题型十七、勾股定理的证明方法 27．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 28．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若在中，，，，，则试用两种方法证明． 题型十八、以弦图为背景的计算题 29．有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 题型十九、用勾股定理构造图形解决问题 30．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为 ．    题型二十、勾股定理与无理数 31．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 题型二十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 32．（23-24八年级上·上海静安·期末）一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米．    题型二十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 33．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ） A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22 题型二十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 34．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 题型二十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 35．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 题型二十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 36．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型二十六、求河宽(勾股定理的应用) 37．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 题型二十七、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A． B． C． D． 题型二十八、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 39．新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 题型二十九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 40．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 题型三十、求最短路径(勾股定理的应用) 41．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 题型三十一、判断三边能否构成直角三角形 42．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 题型三十二、在网格中判断直角三角形 43．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 题型三十三、利用勾股定理的逆定理求解 44．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 题型三十四、勾股树（数）问题 45．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型三十五、勾股定理逆定理的实际应用 46．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是 ． 47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF． (1)如图，当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②连接BE，设线段CD＝x，线段BE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积． 题型三十六、勾股定理逆定理的拓展问题 48．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 49．在一次“探究性学习”课中，数学老师给出如下表所示的数据： 请你认真观察线段a、b、c的长与n之间的关系，用含n（n为自然数，且n>1）的代数式 表示： a= b= c= 猜想：以线段a、b、c为边的三角形是否是直角三角形？并说明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $