第22章 直角三角形（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

第22章 直角三角形 教学目标 1. 了解直角三角形的性质及推论； 2. 知道直角三角形全等的判定方法； 3. 掌握角平分线的性质与判定； 4. 熟悉勾股定理及其逆定理； 5. 学习勾股定理的应用。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的性质；直角三角形全等的判定； （2）角平分线的性质与判定； （3）勾股定理及其应用。 2.难点 （1）新定义题；动态几何题；分类讨论思想； （2）直角三角形的综合应用。 知识点1 直角三角形的性质 1.直角三角形的性质1 定理 直角三角形的两个锐角互余. 其逆命题也是正确的，即得到直角三角形的一个判定定理： 定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 2.直角三角形的性质2 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的性质2的推论 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 或这样表述： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则这条边所对的角为直角。 3.直角三角形的性质3 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【即学即练】 1．在中，，，则 ． 2．如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 4．如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 知识点2 直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. 可用来证明的推论 有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. 【即学即练】 1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 2．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 4．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 角平分线 1.角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为0. 注意：研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角. 2.角平分线的判定 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 3.三角形的内心 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 4.作垂直平分线与角平分线的交点 例 如图22-2-11,已知∠AOB及其内部一点C. 求作∠AOB内部一点P,使PC=PO,且点P到直线OA、OB的距离相等. 分析 假定点P已经作出，由PC=PO,可知点P一定在线段OC的垂直平分线上.又由点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等，可知点P在∠AOB的平分线上.因此，P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点. 作法 (1)连接OC,作线段OC的垂直平分线MN; (2)作∠AOB的平分线OD,OD与MN相交于点P. P就是所求的点(图22-2-12). 【即学即练】 1．如图，点在的平分线上，于，于，若，则 的长度为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 2．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 3．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 知识点4勾股定理 一、勾股定理 我们来研究直角三角形三边之间的关系. 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单地说：垂线段最短. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数.以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形. 三、应用勾股定理解决实际问题 （1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。 （2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。 （3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 （4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。 （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短问题。 四、勾股定理的有关作图题 例 给出单位长度1,作长为√3的线段. 分析 根据勾股定理，可知两条直角边长都为1的直角三角形，它的斜边长等于√2;两条直角边长分别为√2、1的直角三角形，它的斜边长就等于√3. 作法 如图22-3-11. (1)作两条直角边长都为1的直角三角形ACB₁,其中∠C=90°; (2)以斜边AB₁为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形AB₁B₂. 斜边AB2的长度是√3,它就是所求的线段. 【即学即练】 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 2．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ． 3．如图，已知，于点．点对应的数是0，点对应的数是，，那么数轴上点B所表示的数是 ． 4．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 题型01 直角三角形的两锐角互余 【典例1】．在中，，，则的度数为(    ) A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式1】．在中，，是的2倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型02 含30°角的直角三角形 【典例1】．中，，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2】．如图，在中，，是高，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 【变式1】．如图，在中，，是斜边的中线，，，则的长为 cm． 【变式2】．如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，连接和，若的周长是11，则 ． 题型04 直角三角形全等的判定 【典例1】．如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在和中，，，，则（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2】．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（    ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 题型05 角平分线的性质 【典例1】．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【变式1】．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 【变式2】．如图所示，在三角形纸片中，，，，平分，于，则面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．36 题型06 角平分线的判定（含内心） 【典例1】．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【变式1】．如图，已知点到三边的距离相等，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型07 角平分线有关的尺规作图及其应用 【典例1】．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则 ． 题型08 勾股数 【典例1】．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 题型09 直角三角形的判定 【典例1】．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【变式1】．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 【变式2】．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型10 用勾股定理解三角形 【典例1】．在直角三角形中，，则 ． 【变式1】．如图，三角形中，，D为的中点， 连接，， ，则 ． 【变式2】．如图，在中，，则的面积是 ． 题型11 网格问题 【典例1】．在的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【变式2】．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型12 勾股定理的应用 【典例1】．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【变式1】．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【变式2】．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】．在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 题型13 解答题 【典例1】．如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【变式1】．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【变式2】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【变式3】．已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 【变式4】．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【变式5】．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 一、单选题 1．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 4．如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，于，能根据“”判定判断的是（    ） A． B． C． D． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 9．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 12．在中，，，，则 ． 13．如图，中，，，且的面积是4，则的长为 ． 14．如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 15．如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 16．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 17．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为 ． 18．在中，于点D，点E在边的右侧，，，连接，若，，，与交于M，则 ． 三、解答题 19．如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 20．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 21．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 22．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 23．在中，． (1)如图①，是的角平分线，，求的长； (2)如图②，下列结论：①平分；②；③．请从中选取两个作为条件，第三个作为结论写出一个真命题，并证明． 24．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法． 【探索求证】请你利用图1，验证勾股定理： 【问题解决】如图2，在中，是边上的中点，连接，过点作交于点，若，求线段的长； 【延伸拓展】在等腰直角中，，平分，，以为直角边作等腰直角，连接，求的面积． 25．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 直角三角形 教学目标 1. 了解直角三角形的性质及推论； 2. 知道直角三角形全等的判定方法； 3. 掌握角平分线的性质与判定； 4. 熟悉勾股定理及其逆定理； 5. 学习勾股定理的应用。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的性质；直角三角形全等的判定； （2）角平分线的性质与判定； （3）勾股定理及其应用。 2.难点 （1）新定义题；动态几何题；分类讨论思想； （2）直角三角形的综合应用。 知识点1 直角三角形的性质 1.直角三角形的性质1 定理 直角三角形的两个锐角互余. 其逆命题也是正确的，即得到直角三角形的一个判定定理： 定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 2.直角三角形的性质2 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的性质2的推论 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 或这样表述： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则这条边所对的角为直角。 3.直角三角形的性质3 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【即学即练】 1．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和，通过内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】，，， 故选D． 3．如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． 先求出，再得出，即可推出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 5．下列命题正确的是（   ） A．在中，，则 B．在中，，则 C．在中，，则 D．在中，，则 【答案】C 【分析】本题考查了角的直角三角形的性质及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，逆定理为：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边为斜边的一半，那么这个锐角为．据此分析即可． 【详解】解：A、不是斜边，故不能用角的直角三角形的逆定理判断，故不符合题意； B、不知哪个角为直角，故错误，不符合题意； C、在中，，则，符合角的直角三角形的逆定理，符合题意； D、应为，故错误，不符合题意， 故选：C． 知识点2 直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. 可用来证明的推论 有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. 【即学即练】 1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、根据斜边直角边定理判定两个三角形全等，故本选项不合题意； B、两个锐角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意； C、一锐角和斜边对应相等，可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； D、两条直角边对应相等，可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； 故选：B． 2．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理可得的度数，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 由作法得：平分，，根据角平分线的性质可得，再证明，可得，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分，， ∵，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 知识点3 角平分线 1.角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为0. 注意：研究角平分线有关问题时，约定所涉及的角小于平角. 2.角平分线的判定 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 3.三角形的内心 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 4.作垂直平分线与角平分线的交点 例 如图22-2-11,已知∠AOB及其内部一点C. 求作∠AOB内部一点P,使PC=PO,且点P到直线OA、OB的距离相等. 分析 假定点P已经作出，由PC=PO,可知点P一定在线段OC的垂直平分线上.又由点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等，可知点P在∠AOB的平分线上.因此，P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点. 作法 (1)连接OC,作线段OC的垂直平分线MN; (2)作∠AOB的平分线OD,OD与MN相交于点P. P就是所求的点(图22-2-12). 【即学即练】 1．如图，点在的平分线上，于，于，若，则 的长度为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可得． 【详解】解：∵点在的平分线上，于，于，且， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 3．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 4．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作图可知，是的角平分线， 又， ， 的值为， 故选：A． 知识点4勾股定理 一、勾股定理 我们来研究直角三角形三边之间的关系. 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单地说：垂线段最短. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数.以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形. 三、应用勾股定理解决实际问题 （1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。 （2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。 （3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 （4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。 （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短问题。 四、勾股定理的有关作图题 例 给出单位长度1,作长为√3的线段. 分析 根据勾股定理，可知两条直角边长都为1的直角三角形，它的斜边长等于√2;两条直角边长分别为√2、1的直角三角形，它的斜边长就等于√3. 作法 如图22-3-11. (1)作两条直角边长都为1的直角三角形ACB₁,其中∠C=90°; (2)以斜边AB₁为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形AB₁B₂. 斜边AB2的长度是√3,它就是所求的线段. 【即学即练】 1．下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ． 【答案】或/或4 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 3．如图，已知，于点．点对应的数是0，点对应的数是，，那么数轴上点B所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和勾股定理．能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．首先根据勾股定理得，又点B在数轴的负半轴上，则点B对应的数是 【详解】解：由图可知，，作，垂足为C，， 在x的负半轴上， 数轴上点B所表示的数是， 故答案为： 4．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为； 故箭在投壶外面部分的长度不可能是； 故选A． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 题型01 直角三角形的两锐角互余 【典例1】．在中，，，则的度数为(    ) A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴． 故选：B ． 【变式1】．在中，，是的2倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键；根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：是的2倍， ， ， ， ， ， 故选：． 题型02 含30°角的直角三角形 【典例1】．中，，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选B． 【变式1】．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式2】．如图，在中，，是高，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是含角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，． 【详解】解：∵，是高， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 题型03 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 【变式1】．如图，在中，，是斜边的中线，，，则的长为 cm． 【答案】1 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合三角函数求斜边长度是解题的关键． 先利用三角函数求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长． 【详解】解：在中，，， 由，得， 是斜边的中线， ． 故答案为：1． 【变式2】．如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，连接和，若的周长是11，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据线段中点与三角形中位线性质可得，根据的周长是11，得的周长为22，根据，求解即得． 【详解】解：∵，是的中点，点是的中点， ∴． ∵的周长是11， ∴的周长为22． ∴． ∵， ∴． 故答案为：8． 题型04 直角三角形全等的判定 【典例1】．如图，已知，垂足为O，，，则可得到，理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴ ()， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握直角三角形全等的判定方法是解决此题的关键． 【变式1】．如图，在和中，，，，则（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴△ABC和△ADC均为直角三角形 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系． 【变式2】．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（    ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE=DE，由角平分线的性质可得出DE=DC、AE=AC，根据周长的定义即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此题得解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵DE⊥AB，即 ∴ ∴DE=BE ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE=DE． ∵AD平分∠CAB交BC于D， ∴DE=DC， 又∠C＝90°，      ∴在和中， ∵ ∴ ∴AE=AC， ∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性质找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解题的关键． 题型05 角平分线的性质 【典例1】．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 【变式1】．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解最小值是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，此时根据角平分线性质得出，再逐一判断即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 所以的最小值为， 所以，，不符合题意，符合题意； 故选：． 【变式2】．如图所示，在三角形纸片中，，，，平分，于，则面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此可得的长，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型06 角平分线的判定（含内心） 【典例1】．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 【变式1】．如图，已知点到三边的距离相等，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握角平分线的判定定理及三角形内角和是解题的关键． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据角平分线的概念得到，，然后利用三角形内角和定理整体求解即可． 【详解】， 点到三边的距离相等， 点是三条角平分线的交点 ， ． 在中，． 故选：C． 【变式2】．如图，在中，，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴ ∴， ∴是的平分线． ∴． 故选C． 题型07 角平分线有关的尺规作图及其应用 【典例1】．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，过点D作于E，由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 【变式1】．如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴； 故选B． 【变式2】．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 勾股数 【典例1】．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理及勾股数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意； C、，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项C不符合题意； D、，且都是正整数，是勾股数，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 题型09 直角三角形的判定 【典例1】．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．从三角形三边的关系利用勾股定理的逆定理和从角的关系利用三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A．设，由三角形内角和为可知：，解得，故，是直角三角形，不符合题意； B．由三角形内角和定理可知：，即，此时是直角三角形，不符合题意； C．已知条件可变形为，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D．设，此时，无法构成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1】．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 【答案】①②③ 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【详解】解：①，结合内角和得， 由，解得， ∴为直角三角形； ②，则最大角， ∴为直角三角形； ③，展开得，即， ∴为直角三角形； ④，，，∵， ∴， ∴不能构成三角形； 综上，能判断是直角三角形的是①②③． 故答案为：①②③． 【变式2】．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解：可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 题型10 用勾股定理解三角形 【典例1】．在直角三角形中，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由于直角三角形中直角顶点未明确，需分情况讨论：当为斜边时，或当为斜边时（为斜边时不符合三角形边长关系，故舍去）． 【详解】解：若，则为斜边，由勾股定理得； 若，则为斜边，由勾股定理得； 若，则为斜边，但，不能为斜边，故此种情况不成立． ∴长为或． 故答案为：或． 【变式1】．如图，三角形中，，D为的中点， 连接，， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用斜边的中线等于斜边的一半求得，再利用勾股定理求． 【详解】解：∵三角形中，，D为的中点，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题是求三角形的面积，过点作边上的高，先求高，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过点作于点D . 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，作出已知边上的高是解题的关键． 题型11 网格问题 【典例1】．在的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据勾股定理，求出三边的长；再根据勾股定理的逆定理，验证是否满足直角三角形． 【详解】解：A、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵ ∴构成直角三角形，故A选项符合题意； B、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵， ∴不构成直角三角形，故B选项不符合题意； C、由勾股定理求得三边长分别为，，4， ∵， ∴不构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵， ∴不构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型12 勾股定理的应用 【典例1】．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 【变式1】．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 【变式2】．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】．在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 ． 【答案】 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长． 【详解】解：∵小正方形的面积是25， ∴AC=5， ∵△ABC≌△CDE， ∴设AB=CD=x， ∵大正方形的面积为49， ∴BD=7， ∴BC+CD=7， ∴BC=7-x， 在Rt△ABC中：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键． 题型13 解答题 【典例1】．如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 【变式1】．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)的长为12； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； （2）解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 【变式2】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为15 【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：是的斜边边上的中线，且， ， ， 是等边三角形， 的周长为15． 【变式3】．已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 【答案】猜想，证明见解析 【分析】根据题意可知点P在的角平分线上，则，由此推出，设，由平行线的性质可得，如图所示，取中点H，连接，则，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，进而可证明，得到，则． 【详解】解：猜想，证明如下： ∵点到两边的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 如图所示，取中点H，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义和角平分线的判定，平行线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般是解题的关键． 【变式4】．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 【变式5】．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，即两个锐角互余，其和为． 根据在直角三角形中，两个锐角互余，其和为，即可解答． 【详解】解：∵直角三角形中两个锐角互余， ∴另一个锐角为． 故选D． 2．中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：D 4．如图，在中，，平分，于E，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而由可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 6．如图，中，于，能根据“”判定判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“”即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴符合条件是的：， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定定理“”，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面展开图，最短路径问题，勾股定理等知识点．首先画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接， ∵圆柱的底面半径为，， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短的路线长是． 故选：C． 9．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 10．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，那么斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，斜边长为， 故答案为：． 12．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查含的直角三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”直接解题即可． 【详解】在中，，，， ∵ ， ∴ （直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）， 即， 故答案为：． 13．如图，中，，，且的面积是4，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查角的直角三角形的性质，过点C作于点D，，然后运用面积计算是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：4． 14．如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 17．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据作图得到平分，进而得到点到的距离相等均为的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据作图得：平分， ∴点到的距离相等， ∵， ∴， ∴点到的距离均为的长， ∴， ∴； 故答案为：． 18．在中，于点D，点E在边的右侧，，，连接，若，，，与交于M，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形的面积，勾股定理．根据证明可得，，结合三角形的面积可求，及的长，即可得的长，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 三、解答题 19．如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，由三角形的高的定义得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是底边上的高， ∴，即， ∵E为的中点， ∴． 20．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 21．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 22．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 23．在中，． (1)如图①，是的角平分线，，求的长； (2)如图②，下列结论：①平分；②；③．请从中选取两个作为条件，第三个作为结论写出一个真命题，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）过点D作，垂足为点E，证明，再利用勾股定理求得，即可解答； （2）选择不同的条件和结论，分别证明即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点E． 平分， ， ， ． ． 在和中 ， ，， 在中，， ， ． 设，则，． 在中，， ． ． 解得，即； （2）解：共有三种， 已知：平分，， 求证： 证明：， ． ， ． ． 是等腰三角形； 已知：平分，， 求证： 证明：， ， 平分， ， ； 已知：，， 求证：平分， 证明：， ， ， ， ，即平分． 24．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法． 【探索求证】请你利用图1，验证勾股定理： 【问题解决】如图2，在中，是边上的中点，连接，过点作交于点，若，求线段的长； 【延伸拓展】在等腰直角中，，平分，，以为直角边作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】见解析；； 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等面积证明即可； （2）过作交的延长线于，连接，先证，得到，再利用勾股定理得到，最后利用勾股定理求即可； （3）过点作于，过点作，交延长线于，根据角平分线定理可知，进而得到，，根据角的和差关系得出，利用证明，可得，，即可证明是等腰直角三角形，，再利用勾股定理计算的长，，利用三角形面积公式求面积即可． 【详解】证明：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为， 因此图形面积为， 还可以看成一个直角梯形，其面积为， ∴, 即， ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【问题解决】解：过作交的延长线于，连接， ，， ，即， ， ， 是边上的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ； 【延伸拓展】解：如图，过点作于，过点作，交延长线于， ∵平分，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 25．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，，再由等边三角形的性质与判定得，，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，由旋转的性质和等量代换得，从而证得，得，，证得，得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，是等边三角形，得，进而得，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $