精品解析：江苏省南通市海门实验学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

南通市海门实验学校2025级高一第一学期期中考试——数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据补集的性质及运算方法，我们求出,再根据交集的运算方法，即可求出答案． 【详解】解：全集，， ，0，3， 又，1，2， ， 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键，属于基础题． 2. 若实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A. 取特殊值判断；B.利用指数函数的单调性判断；C.当时，，故错误； D.利用不等式的基本性质判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，且单调递增，所以，故正确； C.当时，，故错误； D.因为，，所以，故正确； 故选：BD 3. “，为偶函数”的否定是（ ） A. ，为奇函数 B. ，不是偶函数 C. ，为奇函数 D. ，不是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接写出结果. 【详解】“，为偶函数”的否定是“，不是偶函数”. 故选：B 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域. 【详解】由函数的定义域是及有意义， 得，解得，且， 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得且，将化为求解即可. 【详解】由于关于的不等式的解集是， 所以则有且， 所以等价于， 解得，即不等式的解集为． 故选：D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的单调递增区间是 C. 若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是 D. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A：判断是否为同一个函数需要判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可；对于B：根据复合函数的单调性求解单调增区间；对于C：举出一个反例即可判断C；对于D：根据偶函数的定义即可列出等式，进而可求对称轴. 【详解】对于A：令，解得， 可知函数的定义域为， 令，解得或， 可知函数的定义域为， 两者定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故A错误； 对于B：令解得或， 可知函数的定义域为， 又因为函数在定义域上单调递增，且在上单调递减，在上单调递增， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是，故B错误； 对于选项C：例如，可知函数的最大值为3，最小值为1， 但的值域是，故错误， 对于选项D：若是偶函数，则， 所以函数的图象关于直线对称，故D正确； 故选：D 7. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上的函数值的特征，即可判断； 【详解】解：首先可求得的定义域为：，且关于原点对称， 又，∴是奇函数，故排除C，D选项， 又当时，，所以，则排除B选项， 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 8. 已知函数满足对任意的实数，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可知在R上是减函数，因此每一段函数都必须为减函数，同时在断开位置处也要满足减函数的定义，由此列出不等式求解即可. 【详解】函数是减函数， 则有， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. “是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件 C. 是方程有两个实数根的充分不必要条件 D. 的反函数是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由象限角的意义判断A；利用充分不必要条件的定义，结合象限角判断B；举例说明判断C；求出反函数判断D. 【详解】对于A，是第二象限角，A正确； 对于B，若是第四象限角，则， 即，于是是第二或第四象限角，充分性成立； 取，是第二象限角，而是第三象限角，必要性不成立， 因此“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件，B正确； 对于C，当时，方程无解，C错误； 对于D，由的反函数是，得，则，D错误. 故选：AB 10. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（ ） A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】AD 【解析】 【分析】利用图（1）和图（2）面积相等直接列式可判断A；根据三角形相似比求（3）中正方形边长，然后可得AE，利用等面积可得AF，由直角三角形斜边上的中线性质可得AD，然后根据题意推导可判断BCD． 【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A正确； B选项：因为AF⊥BC，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相似， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确． 故选：AD 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2，由求得半径，再由弧长公式求解. 【详解】设弧长为l，半径为r，弧度为， 因为扇形的面积为2， 所以， 又因为扇形圆心角的弧度数是2， 所以， 所以扇形的弧长为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13. 计算：_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若有唯一子集，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、补集、交集的定义求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）根据包含关系求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，，则或， 所以，． 【小问2详解】 若有唯一子集，则， 所以，解得，所以的取值范围为． 【小问3详解】 根据题意可得，解得，即的取值范围为． 16. 已知幂函数的图象不过原点． （1）求函数解析式； （2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义结合幂函数图象的特点可得出关于实数的等式或不等式，即可解出的值，由此可得出函数的解析式； （2）写出当时函数的解析式，然后设，可得，则可得出函数在时的解析式，综合可得答案. 【小问1详解】 因为幂函数的图象不过原点， 所以，解得，故. 【小问2详解】 因为是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，，则. 综上所述，. 17. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以， 所以的面积（单位：） 【小问2详解】 设一枚徽章的镀金费用为元，则 , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元. 18. 设函数满足对，总有，且当时，. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）若，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，理由如下： 取，则，解得：； 取，则， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减，理由如下： 取，，其中， ，， ，且当时，，， 即，故， 在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）分别赋值和即可推导得到奇偶性； （2）取，，其中，结合单调性定义可得结论； （3）利用奇偶性和抽象函数关系式可将不等式化为，结合单调性，并采用分离变量的方法得到，通过配凑法，结合对勾函数单调性可求得最小值，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为定义在上的奇函数，， 又，， ， ， 在上单调递减，在上恒成立， ， ，在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 即实数的取值范围为. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1） 因为，所以，，则， 故函数是“伪奇函数”． （2） （3） 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 因为，则， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， 函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时只需，解得， 此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，解得，此时. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 【解析】 【分析】（1）结合“伪奇函数”的定义判断即可； （2）令结合对数运算可知在有解，可得出的取值范围，再由在时恒成立，可得出，综合可得出实数的取值范围； （3）由在上有解，可化为在上有解，令，可知在有解，令，，对的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则， 可得，可得， 即在有解， 而，则，所以，则， 又因为在时恒成立，所以，则，即， 因此实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门实验学校2025级高一第一学期期中考试——数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. “，为偶函数”的否定是（ ） A. ，为奇函数 B. ，不是偶函数 C. ，为奇函数 D. ，不是偶函数 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的单调递增区间是 C. 若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是 D. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 7. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足对任意的实数，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. “是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件 C. 是方程有两个实数根的充分不必要条件 D. 的反函数是，则 10. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（ ） A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为________ 13. 计算：_______________ 14. 若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若有唯一子集，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 16. 已知幂函数的图象不过原点． （1）求函数解析式； （2）若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式． 17. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 18. 设函数满足对，总有，且当时，. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）若，且，都有，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $