专题09 空间向量及其应用（必备知识+16大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题09 空间向量及其应用 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 空间向量及其运算 3 1. 空间向量的概念与运算 3 2. 共面向量 3 3. 空间向量平行的充要条件 3 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 3 1. 向量共面的充要条件 3 2. 空间向量基本定理 3 3. 空间向量的坐标表示 3 4. 坐标表示下的空间向量运算 3 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 4 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 4 1. 空间直线的方向向量 4 2. 平面的法向量 4 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 4 4. 求距离 4 5. 求角的大小 4 三、考点精析与突破 5 考点1 空间向量的加减运算 5 考点2 求空间向量的数量积 5 考点3 空间向量数量积的应用 6 考点4 空间向量基本定理 6 考点5 空间向量的坐标运算 7 考点6 空间向量模长的坐标表示 7 考点7空间向量平行的坐标表示 8 考点8 空间向量垂直的坐标表示 8 考点9 空间向量夹角余弦的坐标表示 8 考点10 判断空间直线、平面的位置关系 9 考点11 点到平面距离的向量求法 10 考点12 异面直线夹角的向量求法 11 考点13 线面角的向量求法 13 考点14 已知线面角求其他量 15 考点15 面面角的向量求法 16 考点16 已知面面角求其他量 17 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 知识点1 空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算； 2. 理解共面向量的定义； 3. 掌握空间向量平行的充要条件 1. 空间向量运算的熟练应用； 2. 共面向量的判定； 3. 空间向量平行关系的推导 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 掌握向量共面的充要条件； 2. 理解空间向量基本定理； 3. 掌握空间向量的坐标表示方法； 4. 熟练运用坐标表示下的空间向量运算； 5. 掌握空间向量的夹角、平行与垂直的判定方法 1. 空间向量基本定理的应用； 2. 空间向量坐标的准确表示； 3. 坐标运算的熟练计算； 4. 空间向量夹角、平行与垂直的判定 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 理解空间直线的方向向量的定义； 2. 掌握平面法向量的求法； 3. 掌握空间直线与平面平行、垂直的判定方法； 4. 掌握用空间向量求距离的方法； 5. 掌握用空间向量求线线角、线面角、二面角的方法 1. 平面法向量的求解； 2. 空间线面位置关系的判定； 3. 空间距离的计算； 4. 空间角（线线角、线面角、二面角）的求解 二、命题分析 空间向量及其应用考查分析表 模块 考频 考查内容 命题趋势 空间向量及其应用 2023年第12题、2025年第17题；2025年第13题、2024年第14题、2022年第15题等（结合空间直线与平面模块的位置关系、角的求解） 空间向量的数量积及其在共线、垂直中的应用；空间向量法求解二面角、线面角等空间角；空间向量在判断空间直线与平面位置关系中的应用 高频工具性考点，多与空间直线与平面的位置关系、空间角求解结合，在小题或解答题中考查，难度中等偏上，强调空间向量作为工具解决几何问题的能力，注重向量运算与几何分析的结合 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念(模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等)与平面向量中的情形相同； （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用。特别地，平面向量运算(加法、减法、与实数的乘法、数量积)的定义与性质直接适用于空间向量。 2. 共面向量 如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的，显然，任意两个向量都是共面的。 3. 空间向量平行的充要条件 空间中的向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得。 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得。 2. 空间向量基本定理 如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数、与，使得。 3. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标表示为，这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量、与的线性组合。 （2）给定空间两点与，则。 4. 坐标表示下的空间向量运算 设向量，，则 （1）； （2）； （3），； （4）。 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量，均为非零向量，则 （1）； （2），，； （3）。 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 空间直线的方向向量 对于空间一条直线，我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，但所有的方向向量互相平行。 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量。 2. 平面的法向量 对于非零向量，如果它所在的直线与平面垂直，我们把向量叫做平面的一个法向量。 一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量互相平行。 求一个平面的法向量，只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可。 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 ① 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行； 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直。 ② 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量； 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 ③ 两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量； 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行。 4. 求距离 ① 平面外一点到平面的距离由公式给出，其中是平面的一个法向量，是平面上任意一点； ② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理。 5. 求角的大小 ① 具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定： ② 具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定： ③ 具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 考点1 空间向量的加减运算 例1设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式1（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 变式2在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 变式3（2024·上海黄浦·二模）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 考点2 求空间向量的数量积 例1（2024·上海虹口·一模）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．    变式1（2024·上海嘉定·一模）已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 . 变式2（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 考点3 空间向量数量积的应用 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 变式1（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 变式2已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是 ． 考点4 空间向量基本定理 例1（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 变式1（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 变式2（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 变式3（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 考点5 空间向量的坐标运算 例1（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 变式1（2024·上海徐汇·一模）已知向量，若，则实数的值为 . 变式2（2024·上海长宁·一模）点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是 ． 变式3（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 变式4（2024·上海·模拟预测）设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（    ） A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能 考点6 空间向量模长的坐标表示 例1（2024·上海·一模）已知空间向量，则在方向上的投影向量为 ． 变式1已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 变式2正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 变式3若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 变式4空间向量的单位向量的坐标 ． 考点7空间向量平行的坐标表示 例1（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 变式1（24-25高三上·上海·期中）设．若向量与向量平行，则 ． 变式2已知向量，，若，则mn的值为 . 考点8 空间向量垂直的坐标表示 例1（2024·上海宝山·一模）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1已知空间向量，，，若，则 ． 变式2已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是 ． 变式3在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 . 考点9 空间向量夹角余弦的坐标表示 例1（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 变式1已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 变式2在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第 卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 ． 变式3已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为 ． 考点10 判断空间直线、平面的位置关系 例1（2025·上海·模拟预测）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 变式1（2024·上海·三模）如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（    ） A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线 B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线 C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线 D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线 变式2如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在平面与直线垂直 B．四边形可能是正方形 C．不存在平面与直线平行 D．任意平面与平面垂直 变式3在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 变式4如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 变式5如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，， 若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 考点11 点到平面距离的向量求法 （1）平面的法向量： 法向量是与平面内所有向量垂直的非零向量，设，利用“且”列方程组： （2） 点到平面的距离为： 例1（2024·上海静安·一模）在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1（2024·上海虹口·一模）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 变式2在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 变式3（2025·上海金山·二模）如图，在四棱锥中， 平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 变式4如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若，求点D到平面PBC的距离． 考点12 异面直线夹角的向量求法 数量积：（是的坐标，是的坐标） 模长：， 例1如图，在正方体中，分别是的中点.下列结论错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为 D．平面 变式1在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则 ． 变式2正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为 . 变式3如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点是圆锥的顶点，是圆柱下底面的一条直径，、是圆柱的两条母线，是弧的中点．    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求点到平面的距离． 变式4四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． (1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 变式5如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为arctan2． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求点与平面的距离． 考点13 线面角的向量求法 例1（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点. (1)当时，证明:平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值. 变式1（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 变式2（2025·上海金山·模拟预测）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 变式3（2025·上海普陀·二模）如图，在三棱柱中，，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 变式4（2024·上海徐汇·一模）如图，在四棱锥 中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 考点14 已知线面角求其他量 例1（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 变式1（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 变式2在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. 变式3如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值. 考点15 面面角的向量求法 例1（2025·上海黄浦·三模）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.    (1)证明：平面； (2)求的长. 变式1（2025·上海浦东新·三模）如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） (1)证明：平面平面； (2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 变式2（2025·上海·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点. (1)证明：平面； (2)若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 变式3（2025·上海闵行·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 变式4如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 考点16 已知面面角求其他量 例1在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．    (1)求证：； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 变式1已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，. (1)求证：； (2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为. 变式2如图，在三棱锥中，，O为AC的中点． (1)证明：⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值． 变式3四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 变式4如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知． (1)求证：平面平面； (2)当的长为何值时，二面角的大小为？ 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 3．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 4．已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ． 5．（24-25高三下·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点． (1)求证： ①直线平面； ②； (2)求二面角的正弦值． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．    (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 7．（2025·上海·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 8．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)点M在棱BC上，且，求二面角的大小． 2 / 90 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 空间向量及其应用 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 空间向量及其运算 3 1. 空间向量的概念与运算 3 2. 共面向量 3 3. 空间向量平行的充要条件 3 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 3 1. 向量共面的充要条件 3 2. 空间向量基本定理 4 3. 空间向量的坐标表示 4 4. 坐标表示下的空间向量运算 4 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 4 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 4 1. 空间直线的方向向量 4 2. 平面的法向量 4 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 5 4. 求距离 5 5. 求角的大小 5 三、考点精析与突破 5 考点1 空间向量的加减运算 5 考点2 求空间向量的数量积 8 考点3 空间向量数量积的应用 10 考点4 空间向量基本定理 13 考点5 空间向量的坐标运算 16 考点6 空间向量模长的坐标表示 20 考点7空间向量平行的坐标表示 23 考点8 空间向量垂直的坐标表示 24 考点9 空间向量夹角余弦的坐标表示 27 考点10 判断空间直线、平面的位置关系 29 考点11 点到平面距离的向量求法 38 考点12 异面直线夹角的向量求法 43 考点13 线面角的向量求法 52 考点14 已知线面角求其他量 61 考点15 面面角的向量求法 69 考点16 已知面面角求其他量 76 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 知识点1 空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算； 2. 理解共面向量的定义； 3. 掌握空间向量平行的充要条件 1. 空间向量运算的熟练应用； 2. 共面向量的判定； 3. 空间向量平行关系的推导 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 掌握向量共面的充要条件； 2. 理解空间向量基本定理； 3. 掌握空间向量的坐标表示方法； 4. 熟练运用坐标表示下的空间向量运算； 5. 掌握空间向量的夹角、平行与垂直的判定方法 1. 空间向量基本定理的应用； 2. 空间向量坐标的准确表示； 3. 坐标运算的熟练计算； 4. 空间向量夹角、平行与垂直的判定 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 理解空间直线的方向向量的定义； 2. 掌握平面法向量的求法； 3. 掌握空间直线与平面平行、垂直的判定方法； 4. 掌握用空间向量求距离的方法； 5. 掌握用空间向量求线线角、线面角、二面角的方法 1. 平面法向量的求解； 2. 空间线面位置关系的判定； 3. 空间距离的计算； 4. 空间角（线线角、线面角、二面角）的求解 二、命题分析 空间向量及其应用考查分析表 模块 考频 考查内容 命题趋势 空间向量及其应用 2023年第12题、2025年第17题；2025年第13题、2024年第14题、2022年第15题等（结合空间直线与平面模块的位置关系、角的求解） 空间向量的数量积及其在共线、垂直中的应用；空间向量法求解二面角、线面角等空间角；空间向量在判断空间直线与平面位置关系中的应用 高频工具性考点，多与空间直线与平面的位置关系、空间角求解结合，在小题或解答题中考查，难度中等偏上，强调空间向量作为工具解决几何问题的能力，注重向量运算与几何分析的结合 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念(模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等)与平面向量中的情形相同； （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用。特别地，平面向量运算(加法、减法、与实数的乘法、数量积)的定义与性质直接适用于空间向量。 2. 共面向量 如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的，显然，任意两个向量都是共面的。 3. 空间向量平行的充要条件 空间中的向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得。 知识点2 空间向量基本定理、空间向量的坐标表示 1. 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得。 2. 空间向量基本定理 如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数、与，使得。 3. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标表示为，这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量、与的线性组合。 （2）给定空间两点与，则。 4. 坐标表示下的空间向量运算 设向量，，则 （1）； （2）； （3），； （4）。 5. 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量，均为非零向量，则 （1）； （2），，； （3）。 知识点3 空间向量在立体几何中的应用 1. 空间直线的方向向量 对于空间一条直线，我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，但所有的方向向量互相平行。 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量。 2. 平面的法向量 对于非零向量，如果它所在的直线与平面垂直，我们把向量叫做平面的一个法向量。 一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量互相平行。 求一个平面的法向量，只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可。 3. 空间直线与平面之间的平行与垂直 ① 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行； 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直。 ② 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量； 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 ③ 两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量； 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行。 4. 求距离 ① 平面外一点到平面的距离由公式给出，其中是平面的一个法向量，是平面上任意一点； ② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理。 5. 求角的大小 ① 具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定： ② 具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定： ③ 具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 考点1 空间向量的加减运算 例1设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间向量的加减运算 【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由 ， 当“A、B、C、D四点在同一条直线上时，  A, B, C, D四点不共圆， 若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时. 故选: D 变式1（2025·上海闵行·二模）设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、求空间向量的数量积 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 变式2在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 【答案】8. 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果. 【详解】如图所示： ＝＝8. 故答案为：8. 变式3（2024·上海黄浦·二模）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案. 【详解】由，，，则； 由，，，则； 由，，，则； 显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为， 结合题意可作图如下： 在底面连接，作图如下： 由，即，则，易知； 由，即，则，易知； 由，即，则； 由，，则，易知； ，； . 故答案为：. 考点2 求空间向量的数量积 例1（2024·上海虹口·一模）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．    【答案】 【知识点】求二面角、求空间向量的数量积 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：.    变式1（2024·上海嘉定·一模）已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件，利用空间向量模的意义及数量积的运算律求得，进而求出范围. 【详解】由空间向量两两垂直，得 又，， 则 ，而， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式2（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【知识点】球的结构特征辨析、求空间向量的数量积 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 考点3 空间向量数量积的应用 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】和差化积公式、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 变式1（2024·上海普陀·一模）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 变式2已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解余弦不等式、二倍角的余弦公式、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量数量积的定义可设，且，再根据的范围得到关于的不等式，解出即可. 【详解】由题意得， 即， 由题意,可设.则， 因为，，是空间中两两不同的三个单位向量，故，即， 则有. 则，即， 于是，即，解得. 而，所以的取值范围是， 故答案为：. 考点4 空间向量基本定理 例1（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由向量共面定理有 ，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 变式1（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 变式2（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 变式3（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 考点5 空间向量的坐标运算 例1（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】    如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 变式1（2024·上海徐汇·一模）已知向量，若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 变式2（2024·上海长宁·一模）点P、M、N分别位于正方体的面上，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】建立空间直角坐标系可得的坐标表达式，配方后可得最值. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系， 设，其中. 则. 则 ， 当P、M、N在正方体同一面上时，则当时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，取得最小值； 当P、M、N不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设不同时为0， 此时 ； 综上，的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是建立坐标系利用坐标计算得，再由取等条件得到P、M、N位置关系从而得解. 变式3（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 【答案】3 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 变式4（2024·上海·模拟预测）设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（    ） A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】设出各点坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 由得， 所以， 所以， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：A． 考点6 空间向量模长的坐标表示 例1（2024·上海·一模）已知空间向量，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，则， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为： 变式1已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求出模的关系式，再分类分析求出最大值即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， 于是， 因此 由，得， 当时，，此时，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为； 当时，，，，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为，显然， 所以的最大值为. 【点睛】关键点睛：涉及多变量的最值问题，以某个量的取值情况分类讨论求解是解决问题的关键，如本题的. 变式2正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接 由正四棱台的结构特征,易知两两垂直， 故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为在正四棱台， 所以易计算得到： ，， 所以，, 因为是的中点,所以， 所以. 要使M、P、Q三点共线，则，共线， 则，解得：， 所以，, 所以， 所以. 故答案为:    变式3若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 变式4空间向量的单位向量的坐标 ． 【答案】 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【详解】，，. 故答案为： 考点7空间向量平行的坐标表示 例1（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 变式1（24-25高三上·上海·期中）设．若向量与向量平行，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量平行的坐标表示求得，从而得解. 【详解】因为向量与向量平行， 所以， 所以， 解得：， 所以. 故答案为： 变式2已知向量，，若，则mn的值为 . 【答案】-2 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可. 【详解】∵， ∴，解得：，， ∴. 故答案为：. 考点8 空间向量垂直的坐标表示 例1（2024·上海宝山·一模）如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，设出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， 设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得：，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于得的方程，至少有一个解， 即，整理得：，解得， 又因为，所以，所以棱长的最大值为. 故选：A 变式1已知空间向量，，，若，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】， ，，， 解得， 故答案为：. 变式2已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是 ． 【答案】3 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】分别以，为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 设，则， ，所以， 所以，所以， 所以， 所以当，时，取得最小值3． 故答案为：3. 变式3在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 . 【答案】. 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，得到直线过点，且方向向量为，又由，得到，进而求得点到直线的距离. 【详解】由题意，直线过点，且方向向量为， 又由，可得，可得， 所以，又由， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 考点9 空间向量夹角余弦的坐标表示 例1（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 变式1已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 变式2在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第 卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 ． 【答案】 五 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果； 利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案. 【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限. 由已知可得，，所以 故答案为：五； 变式3已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】依题意，，， ，而，则， 所以以、为一组邻边的平行四边形的面积. 故答案为： 考点10 判断空间直线、平面的位置关系 例1（2025·上海·模拟预测）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间线面位置关系逐项判断即可； 【详解】若，，，则平行或异面，错误； 若，，，则平行，或异面，或相交，错误； 若，，取直线的方向向量作为的法向量， 取直线的方向向量为作为的法向量，， 因为，即两平面所成角为，所以， 所以，即正确； 若，，，则平行或异面、或相交，错误； 故选：C 变式1（2024·上海·三模）如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（    ） A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线 B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线 C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线 D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题、面面垂直证线面垂直 【分析】连接，可得是的中点，可得与相交，进而可证，从而可得，从而可得. 【详解】连接， 因为点N为正方形ABCD的中心，所以是的中点， 所以平面，所以与相交， 因为四边形ABCD是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为是等边三角形，所以， 所以，所以，又因为是的中点， 所以. 故选：D. 变式2如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在平面与直线垂直 B．四边形可能是正方形 C．不存在平面与直线平行 D．任意平面与平面垂直 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D. 【详解】对于A：在正方体中平面， 显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误； 对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点， 由平面平面， 并且四点共面， 平面平面，平面平面， ∴， 同理可证，故四边形是平行四边形， 在正方体中，由几何知识得，平面， ∵平面，∴， 若是正方形，有， 此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误； 对于C：当为的中点时，为的中点，所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面，故C错误； 对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，    由几何知识得，, ∴, ∵， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴任意平面与平面垂直，故D正确. 故选：D 变式3在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．的最小值为 D．存在唯一的实数对，使得平面PDF 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、证明线面垂直 【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确. 【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，   平面，平面，平面， 则当在线段上移动时，其到平面的距离不变， 三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥， 平面， 设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，   ，，，即， 解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确； 对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值， 作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，   ，（当且仅当与重合时取等号）， ， ， ，， 即的最小值为，故C错误； 对于D，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， ，，， 若平面，则， ， 解得：（舍）或， 存在唯一的实数对，使得平面，故D正确. 故选：C. 变式4如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 变式5如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，， 若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积、证明面面垂直 【分析】（1）取AD中点N，连接EN，，易证得EN⊥平面ABCD，五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案. （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）因为，取AD中点N，连接EN，， 因为，所以， 又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，， 所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，， 平面，所以平面， 所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱， 高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形. 五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积. 即： （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系. 点，，，， 所以 得到： 所以，，平面AMD， 所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD. 证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以； 同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD， ，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE， 平面⊥平面AMD. 考点11 点到平面距离的向量求法 （1）平面的法向量： 法向量是与平面内所有向量垂直的非零向量，设，利用“且”列方程组： （2） 点到平面的距离为： 例1（2024·上海静安·一模）在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案. 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 所以该四棱锥的高. 故选：C. 变式1（2024·上海虹口·一模）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法 【分析】点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，求出以为邻边的平行四边形面积和点到平面距离，由柱体的体积公式即可得出答案. 【详解】空间中的动点P满足， 则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体， 将正四面体放入如图所示的正方体中， 则正四面体的内切球心O为正方体的中心， 设正方体的棱长为，所以，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 又因为点到平面距离为， 以为邻边的平行六面体的体积为：. 故选：A. 变式2在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据点面距公式代入计算即可得. 【详解】由点面距公式得. 故答案为：. 变式3（2025·上海金山·二模）如图，在四棱锥中， 平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，从而可证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）因为平面，平面， 所以， 在中，，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以点到平面的距离为. 变式4如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若，求点D到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PBC的一个法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接BD，如图，    ∵底面ABCD为菱形，，则， ∴△BCD为等边三角形， ∵E为BC的中点，∴， ∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴，∵平面PAD， ∴ED⊥平面PAD； （2）以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，， ∴， 设平面PBC的法向量为， 则，即，令，则， ∴， 又， ∴点D到平面PBC的距离为：. 考点12 异面直线夹角的向量求法 数量积：（是的坐标，是的坐标） 模长：， 例1如图，在正方体中，分别是的中点.下列结论错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为 D．平面 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用线线角的向量求法求解判断C. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 对于A，，，，A正确； 对于B，，则，，而平面， 因此平面，B正确； 对于C，，， 因此与所成的角为，C错误； 对于D，由平面，得平面的一个法向量， 又，平面，因此平面，D正确. 故选：C 变式1在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】 ， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 变式2正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出分别与直线所成角的正切值之和的表达式，从而得到点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点到平面的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可. 【详解】在正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 整理可得点到点和点的距离之和为， 所以点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线， 则点到平面的距离的最大值为1，此时点在中点的正上方； 最小值为时，点在点或者点的正上方， 所以四棱锥的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即， 结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题. 变式3如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点是圆锥的顶点，是圆柱下底面的一条直径，、是圆柱的两条母线，是弧的中点．    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角的大小． （2）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】（1）由圆柱和圆锥的性质可知底面圆，又是弧的中点， 所以两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）由（1）可得，， ，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 变式4四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． (1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】证明线面平行、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可； （2）根据中位线及线面平行的判定定理证明线面平行，再由点面距离的向量法公式求解. 【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以, 在中， 因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为， 所以， 则点A、B、D、P的坐标分别是， E是PB的中点，则，于是，. 设的夹角为θ，则有， 故， ∴异面直线DE与PA所成角的大小是. （2）连接， 分别是的中点， ， 平面PAD，平面PAD， 平面PAD. 因为，, 设平面PAD的法向量， 则，令，则， 所以，又， 则点E到平面PAD的距离. 变式5如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为arctan2． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求点与平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由已知求得C1C＝2，以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线PB与QC1所成角的大小； （2）求出平面AQC1的法向量，然后利用空间向量求出点与平面的距离. 【详解】（1）因为C1C⊥平面ABC，所以∠C1QC为C1Q与底面ABC所成角， 因为与底面所成的角为arctan2，， 所以， 所以C1C＝2． 以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），A（0，2，0）， 则， 设异面直线PB与QC1所成角的大小为θ， 所以， 则异面直线PB与QC1所成角的大小为； （2）设平面AQC1的法向量为， 由（1）知，，则 ，取y＝1，得． 又， 所以点C与平面AQC1的距离． 考点13 线面角的向量求法 例1（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点. (1)当时，证明:平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由垂直于圆锥的底面，所以，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）当三棱锥的体积最大时，得到为弧的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于圆锥的底面，所以， 当时，，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）当三棱锥的体积最大时，只需的面积最大，此时为弧的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得，所以， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角正弦值为. 变式1（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面的法向量，进而利用向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点是的中点，是中点.. 又平面平面平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系.则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量.， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. 变式2（2025·上海金山·模拟预测）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）先根据已知边的关系和角度，用勾股定理逆定理证，再结合面面垂直性质定理，因平面与平面垂直且交线为，得⊥平面，最后由面面垂直判定定理得证. （2）先确定直线与平面所成角为，设，用勾股定理表示相关线段长度，根据正弦值列方程求出.接着建立空间直角坐标系，根据向量关系求出坐标，进而得到相关向量坐标.最后借助向量夹角余弦公式计算即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，∴， ∵，， 又∵，∴， 又∵，∴． （2）由（1）可知， 则为直线与平面所成的角， 令，则，，， 在中，， ∴，即， 以点C为坐标原点，分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，得， ∴，，， 令平面的法向量为， 则，则，则， 令，则，，则， 令平面的法向量为， 则，则，则， 令，则，，则， 由已知可知二面角为锐二面角，令其大小为θ， 则， 故二面角的余弦值为． 变式3（2025·上海普陀·二模）如图，在三棱柱中，，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、求平面的法向量、线面角的向量求法 【分析】（1）连结，结合已知证明为菱形，以及.进而即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，进而得出相关点以及向量的坐标，然后求出平面的法向量以及，然后根据向量法求解即可得出答案. 【详解】（1）连结，连结CO 在中，， 故是等边三角形，所以为菱形， 所以，且是的中点. 因为， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）    以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的一个法向量， 则有，即. 令，可得平面的一个法向量为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 . 变式4（2024·上海徐汇·一模）如图，在四棱锥 中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：分析可知是二面角的平面角，以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；解法二：过作，交的延长线于，连接，再过作，交于，结合线面垂直的性质定理和判定定理可知即为直线与平面的所成角，求正弦值即可. 【详解】（1）因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以，又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. （2）解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即， 又平面平面， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：过作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又是在平面上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点14 已知线面角求其他量 例1（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、求线面角、空间位置关系的向量证明、已知线面角求其他量 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2） 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 变式1（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.    (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点是BD的中点，得到证明； （2）方法一：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到，证明出线面垂直，得到是二面角的平面角，求出各边长，从而得到； 方法二：作出辅助线，得到就是PC与平面ABCD所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小. 【详解】（1）连接BD，它与AC交于点，连接EF，   四边形ABCD为矩形， 为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于， ， 又点是BD的中点， 点是棱的中点. （2）方法一：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得. 四边形ABCD为矩形， ，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线， 平面PAD. 在平面PAD内作，垂足为，连接GF，则， 是二面角的平面角. 在直角三角形PAD中，，点是PD的中点，   ，且， 平面平面， ，故，所以， 故二面角的大小为. 方法二：∵PA⊥平面，平面， 且就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，    设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故， 解得且，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故，可得. 所以二面角的大小为. 变式2在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取的中点，连,可证明，，根据线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量的坐标，根据即可求解. 【详解】（1）取的中点，连, 因为，所以，且. 又，则，且. 又，则，则. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）易知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,, 则. 设，则. 则. 设平面的法向量为， 则， 令，则，即. 又,所以， 即，即，解得或（舍去）， 因为，所以,所以， 所以. 故. 变式3如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间垂直的转化、已知线面角求其他量 【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面； （2）首先设，，再以的中点为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解. 【详解】（1）由题设知 因为平面 平面，平面 平面，， 所以平面． 因为平面， 所以. 因为为等边三角形，是的中点， 所以. 因为，平面， 所以平面． 所以. （2）设，. 取的中点，的中点，连接，， 则，. 由（I）知平面，所以平面， 所以，. 如图建立空间直角坐标系，则 ，，，． 所以， ，，， . 设平面的法向量为， 则即 令，则，.于是. 因为直线和平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得， 解得或. 因为， 所以，即. 考点15 面面角的向量求法 例1（2025·上海黄浦·三模）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.    (1)证明：平面； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，把这个三棱锥换成以作底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 把这个三棱锥换成以作底面，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 设，则，则，， ，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得.      变式1（2025·上海浦东新·三模）如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） (1)证明：平面平面； (2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：，，得线面垂直，进而得面面垂直； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）在半圆柱内，平面，所以； 因为为上底面对应圆的直径，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，，，，， 所以，， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 取，所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 变式2（2025·上海·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点. (1)证明：平面； (2)若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线线平行，可证明线面平行，所以需要证明与平面内的一条直线即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，进而可将向量的坐标表示出来，设出平面和平面的法向量，利用坐标关系求出法向量的坐标，最后利用数量积求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）连接，如图所示. 因为点是劣弧的中点，， 所以. 因为，所以为等边三角形. 所以，根据内错角相等，两直线平行， 所以，因为平面，而不在平面上， 所以平面. （2）过点作交于点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，，则， 所以，， 因此，当四边形面积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 变式3（2025·上海闵行·二模）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又底面为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2）以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 变式4如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【详解】（1）连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2）如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 考点16 已知面面角求其他量 例1在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．    (1)求证：； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，在求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：作交于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且平面，， 所以平面， 因为平面，所以. （2）解：以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标， 如图所示，则， 设，因为，所以， 因为，所以，即， 又由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 因为，解得（舍去）或， 所以点或， 所以三棱锥的体积为.    变式1已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，. (1)求证：； (2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）根据余弦定理计算，根据勾股定理得到，确定平面，得到证明. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1），故， ，则，故， 又，平面，，故平面， 平面，故，    （2）△和△所在的平面互相垂直，则平面平面， 且平面，故平面， 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，设，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取得到， 则，解得，不满足题意. 综上所述：不存在点，使二面角的大小为. 变式2如图，在三棱锥中，，O为AC的中点． (1)证明：⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案. 【详解】（1）在中，，O为AC的中点． 则中线，且； 同理在中有，则； 因为，O为AC的中点． 所以且； 在中有，则， 因为，平面ABC， 所以⊥平面ABC． （2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 而， ， ， 设平面PAM的一个法向量为， 由得，， 令， 又x轴所在直线垂直于平面PAC， ∴取平面PAC的一个法向量， ， 平方得，令， ， ． 变式3四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法及二面角的大小求出的值，再求平面的法向量，根据点到平面的距离求解即可； （2）先求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）因为四边形是正方形，平面，平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 设，，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 取平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，解得，即， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 所以点到平面的距离. （2）由（1）得， 设平面的法向量， 则，取， 设直线与平面所成的角为，， 所以， 所以直线与平面所成的角为. 变式4如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知． (1)求证：平面平面； (2)当的长为何值时，二面角的大小为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）由题意可知平面，，再证平面，即可证平面平面； （2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，并取平面的一个法向量为，由题意可得，即可求解. 【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面， ∴平面． ∵平面，∴， 又为圆O的直径，∴， 而，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． （2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则， 即，令，可得 取平面的一个法向量为， ，即，解得， 则当的长为时，二面角的大小为． 1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间向量的坐标运算 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·期末）若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】分别求出点关于平面和轴的对称点的坐标，再判断即得. 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于轴的对称点为，而点与点显然关于坐标原点对称. 故选：A. 3．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 4．已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元二次不等式、求空间向量的数量积、空间向量的坐标表示 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴,建立空间直角坐标系，由坐标表示得，结合不等式的性质进行求解. 【详解】因为、，，平面， 所以平面，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为、、为空间中三个单位向量，与夹角为，即，则，，，即，，， 设，则， 因为， 所以， 所以且， 所以，即， 当时，解得；当时，解得； 所以，即， ，解得， 故， 则最大值为. 故答案为：. 【点睛】空间向量数量积的最值问题，可以根据所给向量的关系，直接列出方程或不等式关系，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用坐标运算找到代数关系，借助基本不等式或函数思想解决； 5．（24-25高三下·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点． (1)求证： ①直线平面； ②； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）①证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； ②证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）易得，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）①在正三棱柱中，， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，面， 所以平面； ②因为，是线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面， 所以； （2）在中，由于，所以， 则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．    (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为. 7．（2025·上海·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，， (1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析，体积为 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【详解】（1）连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 8．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)点M在棱BC上，且，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据等腰和等边三角形的性质证明以及，然后利用线面垂直的判断证明平面ABC （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求角公式求解即可 【详解】（1）连结OB，，，所以， 所以是等腰直角三角形，又点O是AC的中点，所以， 由已知可得，是等边三角形，所以， 又，所以，所以， 中，，O是AC的中点，所以， ，，，且平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC． （2）OB，OC，OP两两垂直，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 则，，，， 由，即 所以点 则，， 设平面APM的—个法向量为， 则，令， 平面PAC的一个法向量， ， 所求二面角的平面角是锐角，所以二面角为的大小为． 2 / 90 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $