第5章一次函数 单元综合达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第5章一次函数》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 2．小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（   ） A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量 C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误 3．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升）与流出的时间（分）间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象过点和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．直线向右平移2个长度单位，则平移后所得的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 6．正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为克时的时间是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是(   ) A．关于的方程组的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．不等式的解集是 二、填空题（满分24分） 9．已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长，正常情况下，导火线每秒钟燃烧，则导火线燃烧时的剩余长度与燃烧时间之间的函数关系式是 ． 10．若一次函数（，为常数，）的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为3，则 ． 11．已知一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则常数 ． 12．已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为 ． 13．如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是 14．如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ． 16．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题（满分72分） 17．已知与成正比例，且时． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 19．两架无人机、准备在米高空完成包头文旅宣传“北疆有情，包头有请”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米/秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． (1)______； (2)求无人机与在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式 无人机：_______； 无人机：_______． (3)求当为何值时，无人机和无人机竖直高度相距米． 20．【数学活动回顾】：我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点组成的图象叫作方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象；（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为_________，由此你得出这个二元一次方程组的解是_________； 【拓展延伸】： （3）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，试求a，b的值． 21．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；请说明理由． 22．【问题探究】 （1）在如图1所示的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点． ①求直线的函数表达式； ②若的面积为9，且点在轴正半轴上，求点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，经过、两点的直线是某城市景观规划中的一条景观大道，它与轴正半轴上的点处的景观支线（轴）相连，景观设计部门计划在轴正半轴上找一个点，使得由点A、B、C所构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B、C两点的景观道路所在的直线的函数表达式． 23．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了函数图象的概念，根据函数的定义判断y是否为x的函数，函数定义为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：A项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C项：对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D项：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了常量和变量的定义． 根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：∵的速度匀速骑行，用时小时骑行千米， ∴10是常量，和是变量． 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式， 先求出每分钟流出的油量，再根据剩油量等于总油量减去流出的油量解答即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：C. 4．A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数中自变量系数的符号，判断函数值随自变量的变化规律，进而比较两点的函数值大小． 先确定一次函数中自变量x的系数符号，判断函数值y随x的增减变化；再比较两点横坐标的大小，结合增减性得出对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中，自变量x的系数为，且， ∴ 该一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小． 又∵ 点和的横坐标满足， ∴ 对应的函数值满足． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．根据平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得，平移后的解析式为． 故选：B． 6．A 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可得出答案． 【详解】解：A、正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项符合题意； B、正比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 7．C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知电子秤读数与沉沙时间成一次函数关系，根据数据求出一次函数解析式，再代入求出x的值，最后结合起始时间计算即可． 【详解】解：观察表格数据发现每过2小时，增加克，即每小时增加6克． ∴与是一次函数关系，设解析式为 ． 将 ， 和，代入得 ， 解得， ∴函数关系式为 ， 令 ，代入函数关系式： 解得， ∵实验开始时间是上午，沉沙时间小时， ∴结束时间为：． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式的综合应用，解题的关键是利用“数形结合”思想，通过函数图象的交点、与坐标轴的交点及图象上下位置关系，快速判断选项正误． 根据图象特征直接分析判断各选项即可． 【详解】解：A、方程组的解为两函数图象交点的坐标， ∵ 两函数交于， ∴ 解为，此选项符合题意； B、方程的解是与轴交点的横坐标，由图可知与轴交于，故解为，并非，此选项不符合题意； C、方程的解是两函数图象交点的横坐标，两函数交于，故解为，并非，此选项不符合题意； D、不等式的解集是图象在图象下方时的范围， 由图可知，交点右侧，图象在下方，故解集为，并非，此选项不符合题意； 故选：A． 9．解：由题意得，燃烧的长度为． 因此，函数关系式为（，因为当时，，解得）． 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：函数图象与轴交点的纵坐标为3， 经过， 把，代入得， 解得． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 分别令求出与y轴交点坐标，由三角形的面积公式求出与x轴交点坐标，代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：如图： 当，则，即， 由题意可知：， ∴，解得：，即点， 代入一次函数的解析式得：， 解得． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据增减性求出最大值和最小值，求和即可． 【详解】解：一次函数中，， ∴函数值随自变量增大而减小， ∵， ∴当时，，最大 当时，，最小， ∴最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解． 【详解】解：直线和直线交于点， 方程组的解就是点的坐标． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．根据已知的函数关系式，将自变量代入，进而求出对应的函数值． 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，，则可得，，再作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，则可得点即为所求，然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】解：将代入得：，即， ∴， 将代入得：，解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 即当值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 16．①②③ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． ①利用待定系数法求出解析式即可判断；②观察图象看时甲乙谁的图象在上方即可判断；③分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【详解】解：设甲气球上升过程中与的函数关系为：，观察图象可知，函数图象经过点和点， 则， 解得， 故甲气球上升过程中与的函数关系为：，所以①正确； 观察图象可知，时，甲气球在乙气球的下方，所以②正确； 由甲气球上升过程中与的函数关系为，可知甲气球的上升速度为， 观察图象可知，乙气球用时从上升至， 故乙气球的上升速度为：， 设上升时间为x时，两气球高度差为， 根据题意，, 解得， 故两气球高度差为时，上升时间为，所以③正确； 上升时，乙气球距离地面高度为： ，所以④错误， 综上，错误的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 17．(1) (2) 【分析】（1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解即可得到答案； （2）把代入函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：与成正比例 设 时， 解得：， ，即：， 与之间的函数关系式为； （2）当时， 解得：． 18．(1) (2)温度，时间，时间，温度 (3)0至8分钟，8至分钟 【分析】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 【详解】（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 19．（1）解：∵无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升， ∴ 故答案为：； （2）解：设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 设无人机在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：；； （3）依题意，， 解得：或， 当无人机达到米停止后，无人机需达到米时与无人机距离米， ∴， 解得：， ∴或或时，无人机和无人机相距米． 20．（1）见解析；（2），；（3），． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图像． （1）分别取两个点，让它们的坐标满足方程与，然后过这两点画直线即可； （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解； （3）将和代入方程解方程组即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标为：， 由此可得这个二元一次方程组的解为：， 故答案为：，； （3）将和代入方程， 得 解得：，． 21．(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2) (3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，一次函数基本性质，列代数式，解决最值问题，解题的关键是理解题意，列出等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据清洁方式列出二元一次方程组求解即可； （2）设型机器人有台，型机器人有台，根据工作效率列出方程，然后用含的代数式表示即可； （3）根据题意列出一次函数，利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁平方米，B型机器人每小时清洁平方米，根据题意得， 解得 ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， 整理得； （3）解：由（2）得，设型机器人有台，型机器人有台，根据题意得， ， ∴当取最小值时，的值最小， 又∵取正整数， ∴当时，，的值最小为（万元）， ∴购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为万元． 22．（1）①；②；（2）或或 【分析】（1）①用待定系数法求直线的函数解析式； ②根据的面积为 9 可得的长，确定的长，可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当时，②如图2，，③如图3，，利用待定系数法可得结论． 【详解】解：（1）①设直线的解析式为：， ∵直线过点、点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②∵的面积为 9 ， ， ， ， 或， 或． ∵点C在轴正半轴上， ∴． （2）分三种情况：①如图 1 ，当时， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②如图2，，∵轴， 同理可得直线的解析式为：； ③如图，∵轴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 同理可得直线的解析式为：； 综上，直线的解析式为：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次方程的解法，三角形面积，等腰三角形，考查了分类讨论思想的运用，第（2）题要注意分类讨论的目的性，通过数形结合找等量关系． 23．(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点B坐标，再根据求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出，再根据面积关系得到，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，继而确定点C的坐标即可； （3）根据条件可得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即， ∴，即， 将点A坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：， ∵点C在直线上， ∴当时，，即； 当时，，即． ∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵， ∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时， ∴，即点P的横坐标为或， 如图： ∴点P的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或， 如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $