专题01 勾股定理（必备知识+8大题型+分层训练）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（a² + b² = c²），并准确应用于直角三角形边长计算 基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错点在于对最长边的判断 勾股定理的实际应用 能将实际问题（如测量距离、高度，路径规划等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解 常以应用题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问题 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 知识点01 勾股定理 - 知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²（a、b为直角边，c为斜边）。 - 示例：若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，解得c = 5。 - 易错点：混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式（如错算为c² + a² = b²）。 知识点02 勾股定理的逆定理 - 知识点：若三角形三边长a、b、c满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。 - 示例：三角形三边长为5、12、13，因5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，故该三角形是直角三角形。 - 易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用5² + 13²与12²比较，导致判断错误）。 知识点03 勾股定理的实际应用 - 知识点：将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。 - 示例：梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h，由h² + 6² = 10²，得h = 8米。 - 易错点：建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 知识点04 最短路径问题（立体图形表面） - 知识点：展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 - 示例：圆柱高8cm，底面半径3cm（周长18.84cm），展开侧面后直角边为8cm和18.84cm，最短路径≈√(8² + 18.84²)≈20.5cm。 - 易错点：展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 题型一 判断勾股数 解｜题｜技｜巧 1. 看奇偶性：勾股数中必有2个奇数1个偶数，或全为偶数（如3,4,5是“两奇一偶”，6,8,10是“全偶”），若不符合此规律，直接排除。 2. 用基本公式验证：对三个数a＜b＜c，计算**a² + b²**是否等于c²，这是最核心的判断标准，避免因“看着像”（如5,6,7）而误判。 3. 找倍数关系：若一组数是某组基本勾股数（如3,4,5；5,12,13）的整数倍，那它也是勾股数（如3×2=6，4×2=8，5×2=10，6,8,10是勾股数）。 4. 排除常见错误组合：熟记非勾股数的“陷阱组合”，如7,8,9（7²+8²=113≠81=9²）、9,10,11（9²+10²=181≠121=11²），快速筛除错误选项。 【典例1】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 题型二 勾股定理解三角形 解｜题｜技｜巧 勾股定理解三角形解题技巧 1. 明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。 2. 锁定三边关系：牢记核心公式 a² + b² = c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为 c² - a² = b² 计算。 3. 结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=1/2ab=1/2ch）联动求解。 4. 规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。 【典例2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，垂足为D．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为：6 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D为中点，，交于点E， 交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用． （1）延长到N，使，连接，，证明，得到，，根据勾股定理解答； （2）设，则，，在中，，在中，，由（1）知，，进而得，再得关于x的方程，解方程进一步求解即可． 【详解】（1）证明：延长到N，使，连接，， ∵D是中点， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； （2）解：设，则，， 在中，， 在中，， 由（1）知，， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型三 勾股定理与网格问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与网格问题解题技巧 1. 定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。 2. 计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3. 解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“1/2×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式3】（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 题型四 勾股定理与折叠问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理与折叠问题解题技巧 1. 抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。 2. 设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。 3. 构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4. 验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。 【典例4】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 题型五 勾股定理的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理实际应用解题技巧 1. 建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2. 提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为x。 3. 套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a² + b² = c²（或变形公式）列方程，求解未知量。 4. 结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例5】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 【变式1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】(1)； (2)符合安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 【变式2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式3】（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 题型六 利用勾股定理求最短路径问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理求最短路径解题技巧 1. 化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2. 确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。 3. 用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式 c = √(a² + b²)，计算出的斜边长度即为最短路径。 4. 验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 【典例6】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为 ． 【答案】/17厘米 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理，将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长， 此时，， ∴， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面左面和上面，由勾股定理得； 最短路径的长为 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 题型七 勾股定理及逆定理的综合问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理及逆定理综合问题解题技巧 1. 明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。 2. 双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 3. 标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。 4. 分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。 【典例7】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 题型八 勾股定理验证及应用问题 解｜题｜技｜巧 勾股定理验证与应用解题技巧 1. 验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。 2. 应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。 【典例8】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 【变式2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 【变式3】（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为，在水杯下底面A处有一只蚂蚁，想吃到水杯内侧B处的食物，已知B处距下底，则蚂蚁爬行的最短路径长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱形水杯展开图如下，关于水杯上边沿的对称点为点， ∵一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为， ∴，， ∵B处距下底， ∴，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，，证明，得到，因此．过点C作于点H，则，根据勾股定理求出，进而根据的面积求出，即可解答． 【详解】解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 三、解答题 7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意； D、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，勾股定理的内容：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在运用的时候一定要分清楚直角边和斜边，掌握勾股定理的运用是解本题的关键．根据勾股定理逐项求解判断即可． 【详解】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南·期末）如图，从电线杆离地面8米（米）处向地面拉一条长为10米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， ∴是直角三角形， 又∵米，米， ∴（米）， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查尺规基本作图-作角平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连结．利用勾股定理求得，再证明，得出，，，从而得出．然后设，则．利用勾股定理建立方程求解，得出，最后用三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，连结． ，，， ． 由作图步骤可知平分， ． 在和中， ∴ ∴，，． ， ． 设，则． 在中，，解得， ， ． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级下·青海玉树·期末）若的三边长分别为，则是 三角形．（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，，由勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 为直角三角形． 故答案为：直角． 6．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，，，，，取的中点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，延长交于点，连接，由，得，根据证明，进而利用全等三角形的性质及勾股定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键是． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 【答案】 锐角 或 【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整． 三、解答题 9．（24-25八年级下·广西防城港·期末）在中，，，，，求： (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值； （2）由于所求边是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入，的值即可求得的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：在中，，， ∴． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 11．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)______，______； (2)连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 12．（24-25八年级下·广东河源·期末）图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： (1)如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． (2)如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①；②边上的高为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由勾股定理求出AB的长即可； ②根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【详解】（1）①根据勾股定理可得，； 故答案为：； ②设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； （2）设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理 (期末复习讲义) 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（a2+b2=c2), 基础必考点，在选择、填空、解答题中均 并准确应用于直角三角形边长计算 有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错 理 是否为直角三角形 点在于对最长边的判断 勾股定理的实际 能将实际问题（如测量距离、高度，路径 常以应用题形式出现，考查建模能力，需 应用 规划等)转化为直角三角形模型，运用勾 注意单位及实际意义的验证 股定理求解 勾股定理与网 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展 难点考点，综合性强，常出现在中档题或 格、折叠、最短 开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问 压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 路径问题的综合 题 记·必备知识 属知识点01勾股定理 ·知识点：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2+b2=c2(α、b为直角边，c为斜边)。 -示例：若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足32+42=c2,即9+16=c2,解得c=5。 ·易错点：混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式（如错算为c2+α2=b2)。 图知识点02勾股定理的逆定理 -知识点：若三角形三边长α、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。 -示例：三角形三边长为5、12、13，因52+122=25+144=169=132，故该三角形是直角三角形。 -易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用52+132与122比较，导致判 断错误)。 局知识点03勾股定理的实际应用 ·知识点：将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长。 1/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。示例：梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h,由2+62=102，得h=8米。 -易错点：建模时错判直角边与斜边（如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 局知识点04最短路径问题（立体图形表面） ~知识点：展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 -示例：圆柱高8cm,底面半径3cm（周长18.84cm),展开侧面后直角边为8cm和18.84cm,最短路径≈ √(82+18.842)≈20.5cm。 ·易错点：展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 破·重难题型 它题型一 判断勾股数 解|题|技|巧 :1.看奇偶性：勾股数中必有2个奇数1个偶数，或全为偶数（如3,4,5是“两奇一偶”，6,8,10是“全 偶”)，若不符合此规律，直接排除。 :2.用基本公式验证：对三个数a<b<c,计算*a2+b2*是否等于c2,这是最核心的判断标准，避免 :因“看着像”（如5,6,7）而误判。 3.找倍数关系：若一组数是某组基本勾股数（如3,4,5；5,12,13）的整数倍，那它也是勾股数（如3× 2=6,4×2-8,5×2=10,6,8,10是勾股数)。 4.排除常见错误组合：熟记非勾股数的“陷阱组合”，如7,8,9(72+82=113≠81=92)、9,10,11(92 +102=181≠121=112)，快速筛除错误选项。 【典例1】(24-25八年级下，四川南充期末)下列各数组中，是勾股数的是() A.1,1,√2B.1,5,2 C.12,13,5 D.4,5,6 【变式1】(24-25八年级下·安微马鞍山期末)下列几组数据中，不是勾股数的是() A.3,4,5 B.5,12,13 C.7,24,25 D.1,√2，√5 【变式2】(24-25八年级上·江苏扬州期末)下列四组数中是勾股数的一组是() A景京司 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.32,42,53 【变式3】(24-25八年级下·安徽马鞍山期末)下列各组数为勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.√5，√4，√7 C.8,15,17 D.4,5,6 2/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 它题型二勾股定理解三角形 解|题|技|巧 勾股定理解三角形解题技巧 1.明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过己知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形 为直角三角形。 2.锁定三边关系：牢记核心公式a2+2=c2(c为斜边)，已知任意两边，直接代入公式求第三边； 若遇平方差，可变形为c2-a2=b2计算。 3.结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快 速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=12ab=12ch)联动求解。 4.规范解题步骤：先标注直角、己知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股 数)，避免计算错误。 【典例2】(2425八年级上·四川成都期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.如 果AC=5,BC=3,则BD的长为 D 【变式1】(24-25八年级上江苏南京期末)如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水 平、竖直方向的AB,BC两段构成，若BC段长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的 长度为 cm 警方提醒您已进入 24小时监控区域 请注意您的言行举止 【变式2】(25-26八年级上河南新乡·期末)图1是第七届国际数学教育大会(ICME一7)的会微图案.如 图2所示，如果0A,=A42=A2A=…=A,Ag=2,那么OA,的长为 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ICME-7 A8 图1 图2 【变式3】(24-25七年级下山东济南期末)如图，在ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF, DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF. D (1)证明：CF2+BE2=EF2; (2)若AB=10,AC=8,AF=3,求BE的长. 题型三 勾股定理与网格问题 解|题|技巧 勾股定理与网格问题解题技巧 1.定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差” 构成直角边。 2.计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找 其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3.解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“12×直角边1×直角边2”；判断三角形形状， 算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例3】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都 为1，ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是() 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AC=10 B.∠B=909 C.只有两条边长为无理数 D.4C边上的高为号而 【变式1】(24-25八年级下·安微合肥期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是() A.40° B.45 C.50° D.609 【变式2】(24-25八年级下·云南普洱期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形 ABCD的顶点都在格点（网格线的交点）上. (I)求线段BC和CD的长. (2)∠BAD是直角吗？请说明理由 【变式3】(24-25八年级上江西期末)在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方 形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图. 图1 图2 (I)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为3√2的线段AB; (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3,2√2，√5的三角形. ☑题型四 勾股定理与折叠问题 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解|题|技巧 勾股定理与折叠问题解题技巧 1.抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合， 二者长度一致)，标注在图中。 2.设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x,结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段， 尤其注意直角三角形的三边。 3.构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理 公式列方程，解方程即可求出x的值。 4验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合 理数值。 【典例4】(24-25八年级上江苏期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90%,AB=6,BC=8,将ABC折叠， 使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB'的长为() B A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 【变式1】(24-25八年级下·湖南邵阳期末)如图，将长为4cm,宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN.则线段CN的长为」 D 【变式2】(24-25七年级下·湖北荆门期末)按国际标准，A系列纸为长方形.将A4纸按如图所示的方式 进行两次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与点 D恰好重合.则4D AB B'D(E) 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级上河南郑州期末)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边 AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. B. M B(M 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=一 (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 巴题型五 勾股定理的实际应用问题 解|题技|巧 勾股定理实际应用解题技巧 1.建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜 边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2.提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量， 设为x。 3.套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a2+b2=c2(或变形公式)列方程，求解未知量。 4.结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知 线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例5】(24-25八年级上重庆江北期末)如图，在河流的一侧有一村庄C,河边有两个取水点A、B, 村庄修建了道路CA和CB,其中CA=AB.由于某种原因，道路CA不再通行，村庄为了方便村民取水，决定 在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并修建道路CH.经测量：CB=25百米，CH=24百米， HB=7百米. B (I)判断CH是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)求新修的道路CH比原来的道路CA短了多少百米？（结果保留两位小数） 【变式1】(24-25八年级下·山东日照·期末)如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得AB=CD=6dm, BC =3dm AD =9dm,BC L CD. B (I)求出BD的长： (②)根据相关安全标准，AB与BD的夹角需为90°，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准 【变式2】(24-25八年级下·河北邢台期末)如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖 机A,B,且A,B均位于地下管道AC的同侧，售卖机A,B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之 间的距离为300米，MN1AB于点N,M到AB的距离为240米，假设所有管道的材质相同. (1)求B,N之间的距离； (②)珍珍认为：从管道AC上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，BM是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确， 【变式3】(24-25八年级下·河北保定期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设 计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计. 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在CD上选取两点E, F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水， 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F; 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 8/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,F铺设管道 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了∠ABC=90°. D 街 y 街道 C ()施工人员测量的是点_与点之间的距离： (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用. (3)若LEGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案 所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用. 它题型六 利用勾股定理求最短路径问题 解|题|技|巧 勾股定理求最短路径解题技巧 1.化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的 斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2.确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是 底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高：长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边 是利余棱长。 3.用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式c=√(a2+b2),计算出的斜边长度即为最 短路径。 4.验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 【典例6】(24-25八年级上·甘肃酒泉·期末)如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B,圆柱高为15cm ,底面半径为8cm,蚂蚊爬行的最短路线长为。 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(24-25八年级下，内蒙古通辽期末)如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木 块.已知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点 A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米。 D A 【变式2】(24-25八年级下.甘肃陇南期末)如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶 点A出发，经过长方体的前面和右面到顶点B的最短路程为 B 3 【变式3】(25-26八年级上河南新乡·期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问 题探索与分析。 【提出间题】已知0<x<1,求1+x2+V1+(1-x2的最小值. 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为V+x和1+(1-x)2的线 段，将代数求和转化为线段求和问题. 【解决问题】(1)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则V1+x2+1+(1-x)2= B P (2)在(1)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求V+x+1+1-x)2的最小值； 【应用展】(3)直接写出9+x+9+3-x的最小值为 ☑题型七 勾股定理及逆定理的综合问题 10/20