专题02 实数（必备知识+10大题型+分层训练）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类（有理数、无理数），掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质 高频易错点，容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根 基础必考点，常出现在小题，易因概念混淆失分 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的概念与性质 能判断二次根式有意义的条件，熟练运用二次根式的性质 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的运算（乘除、加减） 能熟练进行二次根式的乘除运算、加减运算（先化简再合并同类二次根式） 核心考点，是解答题的重要组成部分，运算过程中易因化简不彻底、符号错误失分 知识点01 平方根与算术平方根 - 知识点：若x2 = a（a≥0），则x是a的平方根，记为；其中非负的平方根是a的算术平方根。 - 示例：求16的平方根和算术平方根，平方根为=4，算术平方根为=4。 - 易错点：混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成4；忽略被开方数非负，如计算（无意义）。 知识点02 立方根 - 知识点：若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根。 - 示例：求-8的立方根，=-2（因(-2)3=-8）。 - 易错点：符号判断错误，如误将算成3；与平方根混淆，认为负数没有立方根。 知识点03 实数的分类与性质 - 知识点：实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 - 示例：在、3.14、中，是无理数，3.14和是有理数。 - 易错点：误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。 知识点04 二次根式的运算 - 知识点：二次根式乘除：*=（a≥0,b≥0），=（a≥0,b>0）；加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。 - 示例：计算+，化简得2+3=5。 - 易错点：运算前未化简，如直接计算+得；忽略被开方数取值范围，如计算*（无意义）。 题型一 无理数的识别 解｜题｜技｜巧 1. 定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式，p、q为整数且q≠0），则为无理数。例如π、无法写成分数，是无理数。 2. 小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5）或无限循环（如0.3...），则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001...），则为无理数。 3. 常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数（、）、特定常数（π、e）、构造的无限不循环小数，可快速识别。 4. 运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限不循环小数，则结果为无理数。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π， 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义．无理数是不能表示为两个整数之比的数，如：π、、等，它们的小数部分是无限不循环的，判断四个选项每组的数是否为无理数即可． 【详解】解：A、0.07，，π中的0.07、不是无理数，不符合题意； B、，π，中的不是无理数，不符合题意； C、，，π中的，，π都是无理数，故符合题意； D、，π，中的不是无理数，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，是整数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数， ，，…是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． 题型二 程序设计与实数运算 解｜题｜技｜巧 1. 理清程序逻辑：仔细看清楚每一步的判断条件和运算，特别是循环的条件。 2. 逐步计算推理：从初始流程开始，一步步代，直到分支走向输出为止。 【典例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握实数的运算法则．把64代入程序进行计算即可求解． 【详解】解∶ 由题意得当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 解｜题｜技｜巧 1.  还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式）的n次方 = 常数”的形式（n=2为平方根，n=3为立方根）。 2. 根据根的定义求解： - 平方根：若a2 = b（b≥0），则a = ，注意b<0时无实数解。 - 立方根：若a3 = b（b为任意实数），则a =，立方根只有一个实数解。 3. 检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。 【典例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查利用平方根求方程的解，将常数移动到等号右边，利用平方根定义开平方，由此得到方程的解． 【详解】解：移项，得，即． 开平方，得． ∴，． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）移项，运用平方根计算即可； （2）运用立方根计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 解得，． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：． （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 题型四 平方根与立方根的综合应用 解｜题｜技｜巧 1.判符号：平方根有±，立方根符号同原数。 2.互推验：平方根定原数，立方根验一致性。 3.拆概念：综合题先拆定义，分情况讨论符号。 【典例4】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 题型五 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 解｜题｜技｜巧 1. 判断二次根式：紧扣定义——形如（a≥0）的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略），二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。 2. 判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 3. 判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类。 【典例5】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数中的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 被开方数不含分母，且因式和的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 题型六 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 1. 抓核心性质：牢记两大核心性质， = |a|（注意绝对值，避免直接等于a）和 = （a≥0，b0），以此为化简依据。 2. 先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。 3. 分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。 4. 处理绝对值：化简\sqrt{a^2}时，根据a的正负去绝对值。 5. 最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。 【典例6】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质，结合，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 【变式2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 题型七 判断二次根式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先抓核心前提，被开方数必须非负，运算结果需是最简二次根式；再查运算规则，同类根式才能合并，加减只算系数、根号不变。乘除要满足非负条件，.乘方牢记，每步核对，就能快速判对错。 【典例7】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和算术平方根的非负性． 通过逐项计算判断正确性． 【详解】解：A：∵，∴A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C错误； D：∵，∴D正确； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法和乘除运算，根据二次根式的性质和二次根式的加法和乘除运算法则求解即可． 【详解】A．，故错误． B．，故B正确． C．，故C错误． D．（除非），故D错误． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 故选：C 题型八 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2. 先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。 3. 巧用运算律：乘法分配律（a(b+c)=ab+ac）可简化计算，避免逐项展开。 4. 注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。 【典例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·广东清远·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简、平方差公式和完全平方公式的应用、二次根式的加减法法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先化简绝对值，负整数指数，平方差公式展开，再利用二次根式的加减法法则计算即可； （2）先用化简二次根式，再利用二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 二次根式中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。 2. 套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。 3. 结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。 4. 举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。 【典例9】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 题型十 二次根式中的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1. 列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。 2. 用字母表示规律：将发现的规律用含n（n为正整数）的式子概括，注意标注n的取值范围。 3. 验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。 4. 按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。 【典例10】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字规律探索，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． （1）观察已知条件中的等式可知：带分数的整数部分为，分数部分的分子与整数部分相同，分数的分母为整数部分的平方，按照此规律进行解答即可； （2）根据（1）中所找规律，然后进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， 第5个等式：； （2）第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （2）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （3）先由分母有理化的方法，再由有理数加减运算化简，最后由平方差公式及二次根式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】选项A， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； 选项B， 中， 能开方为 ， 可化简为 ，不是最简二次根式； 选项C， 的被开方数为和形式，无平方因子，且不能化简， 是最简二次根式； 选项D， = = ，可化简， 不是最简二次根式； 故选C． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在下列实数中无理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环的小数进行判断即可． 【详解】解：， 无理数为：，，， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，实数运算等知识﹒先估算出，得到，，即可求出﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分， ∴﹒ 故答案为： 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算括号内的减法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （3）先化简二次根式和计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西百色·期末）下列各数中，能使有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可求． 【详解】解：使有意义，即， 解得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式的计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算以及同类二次根式的概念，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除运算法则以及同类二次根式的概念，对每个选项进行计算判断． 【详解】解：，而，，故A项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B项错误． ，故C项正确． ，，故D项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的另一边长为， ∵， ∴剪下的正方形的最大面积是， 故选：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值． 将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值． 【详解】解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，，不符合题意，舍去； ③当时，，即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，理解新定义是解题的关键．分别估计和在哪两个整数之间，再根据新定义得出，，两者相减即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，数轴上从左到右依次有四点，点分别表示1和，点到点的距离与点到点的距离相等，设点表示的数为，当点表示的数是时，的值是 ； 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴、数轴上两点的距离、一元一次方程的几何应用、二次根式的加减，根据数轴上两点距离公式得到，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 9．（21-22七年级下·湖北恩施·期末）按要求解答问题： (1)计算：； (2)求式中的值：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、绝对值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值、乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得解； （2）利用平方根解方程即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 10．（24-25八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、平方差公式、完全平方公式、乘方运算等知识点，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质以及乘方运算法则化简，然后再按照二次根式的混合运算法则化简即可； （2）先用完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)5；2； (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的算术平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求出m的值即可； （2）根据无理数的估算方法估算出m的取值范围，进而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴m的整数部分为2，小数部分为，即， ∴． 12．（19-20七年级下·安徽亳州·期末）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 实数的分类与性质 能正确对实数进行分类（有理数、无理数），掌握实数的相反数、绝对值、倒数等性质 高频易错点，容易忽视无理数的判定及实数性质的综合应用，小题、解答题均有涉及 平方根与算术平方根 能准确区分平方根和算术平方根的概念，熟练计算非负数的平方根、算术平方根 基础必考点，常出现在小题，易因概念混淆失分 立方根 能理解立方根的定义，熟练计算实数的立方根，明确其唯一性 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的概念与性质 能判断二次根式有意义的条件，熟练运用二次根式的性质 基础考点，多在小题中考查，难度较低但需注意符号 二次根式的运算（乘除、加减） 能熟练进行二次根式的乘除运算、加减运算（先化简再合并同类二次根式） 核心考点，是解答题的重要组成部分，运算过程中易因化简不彻底、符号错误失分 知识点01 平方根与算术平方根 - 知识点：若x2 = a（a≥0），则x是a的平方根，记为；其中非负的平方根是a的算术平方根。 - 示例：求16的平方根和算术平方根，平方根为=4，算术平方根为=4。 - 易错点：混淆平方根与算术平方根，如误将16的算术平方根写成4；忽略被开方数非负，如计算（无意义）。 知识点02 立方根 - 知识点：若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根。 - 示例：求-8的立方根，=-2（因(-2)3=-8）。 - 易错点：符号判断错误，如误将算成3；与平方根混淆，认为负数没有立方根。 知识点03 实数的分类与性质 - 知识点：实数分为有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）；实数与数轴上的点一一对应，且实数的相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 - 示例：在、3.14、中，是无理数，3.14和是有理数。 - 易错点：误将无限循环小数归为无理数；忽略无理数的绝对值计算。 知识点04 二次根式的运算 - 知识点：二次根式乘除：*=（a≥0,b≥0），=（a≥0,b>0）；加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式。 - 示例：计算+，化简得2+3=5。 - 易错点：运算前未化简，如直接计算+得；忽略被开方数取值范围，如计算*（无意义）。 题型一 无理数的识别 解｜题｜技｜巧 1. 定义判断法：若一个数不能表示为两个整数的比值（即分数形式，p、q为整数且q≠0），则为无理数。例如π、无法写成分数，是无理数。 2. 小数特征法：无理数的小数形式是无限不循环小数。若小数有限（如0.5）或无限循环（如0.3...），则为有理数；若无限且无循环规律（如1.010010001...），则为无理数。 3. 常见类型法：记住典型无理数，如开方开不尽的数（、）、特定常数（π、e）、构造的无限不循环小数，可快速识别。 4. 运算排除法：有理数间的加、减、乘、除（除数不为0）运算结果仍为有理数，若运算后出现无限不循环小数，则结果为无理数。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π， 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在实数，，，，，，…中，无理数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 程序设计与实数运算 解｜题｜技｜巧 1. 理清程序逻辑：仔细看清楚每一步的判断条件和运算，特别是循环的条件。 2. 逐步计算推理：从初始流程开始，一步步代，直到分支走向输出为止。 【典例2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 解｜题｜技｜巧 1.  还原“单根”形式：先通过移项、系数化为1，将方程化为“（未知数表达式）的n次方 = 常数”的形式（n=2为平方根，n=3为立方根）。 2. 根据根的定义求解： - 平方根：若a2 = b（b≥0），则a = ，注意b<0时无实数解。 - 立方根：若a3 = b（b为任意实数），则a =，立方根只有一个实数解。 3. 检验结果：将解代入原方程，验证是否满足等式，排除计算错误。 【典例3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x (1) (2) 题型四 平方根与立方根的综合应用 解｜题｜技｜巧 1.判符号：平方根有±，立方根符号同原数。 2.互推验：平方根定原数，立方根验一致性。 3.拆概念：综合题先拆定义，分情况讨论符号。 【典例4】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 题型五 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 解｜题｜技｜巧 1. 判断二次根式：紧扣定义——形如（a≥0）的式子。关键看两点：一是根指数为2（可省略），二是被开方数a非负，两者同时满足即为二次根式。 2. 判断最简二次根式：需同时满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 3. 判断同类二次根式：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类。 【典例5】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 题型六 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 1. 抓核心性质：牢记两大核心性质， = |a|（注意绝对值，避免直接等于a）和 = （a≥0，b0），以此为化简依据。 2. 先判被开方数非负：先确认被开方数是正数或0，若含字母需明确取值范围，保证二次根式有意义。 3. 分解被开方数：将被开方数拆为“平方数×非平方数”。 4. 处理绝对值：化简\sqrt{a^2}时，根据a的正负去绝对值。 5. 最终检查：确保结果满足“被开方数不含平方因子”“不含分母”，即化为最简二次根式。 【典例6】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为 【变式2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 题型七 判断二次根式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先抓核心前提，被开方数必须非负，运算结果需是最简二次根式；再查运算规则，同类根式才能合并，加减只算系数、根号不变。乘除要满足非负条件，.乘方牢记，每步核对，就能快速判对错。 【典例7】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 遵循运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右进行。 2. 先化简再运算：将所有二次根式化为最简形式，减少计算量。 3. 巧用运算律：乘法分配律（a(b+c)=ab+ac）可简化计算，避免逐项展开。 4. 注意符号与细节：计算时留意负号，分母有理化要彻底，最后检查结果是否为最简二次根式。 【典例8】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【变式1】（24-25八年级上·广东清远·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 题型九 二次根式中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 精读定义，明确规则：先逐字理解新定义的含义，标注关键条件（如定义域、运算公式等）。 2. 套用定义转化问题：将新定义中的符号、表达式代入题目，转化为熟悉的二次根式运算。 3. 结合二次根式性质验证：化简或计算时，同步运用二次根式的非负性、最简形式等性质，确保结果符合数学规范。若新定义涉及字母，需结合定义域判断取值范围。 4. 举例验证，避免错用：若对定义理解模糊，可代入简单数值试算，验证运算逻辑是否正确，再解决原题。 【典例9】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 题型十 二次根式中的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1. 列举前几项，直观找规律：先计算前3-4个式子的结果，观察被开方数、根号外系数、结果的变化趋势。 2. 用字母表示规律：将发现的规律用含n（n为正整数）的式子概括，注意标注n的取值范围。 3. 验证规律正确性：对概括的式子进行代数证明，左边通过二次根式性质化简，看是否等于右边。 4. 按规律解决问题：根据验证后的规律，计算指定项或推导后续式子。 【典例10】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）在下列实数中无理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (3) 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西百色·期末）下列各数中，能使有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列二次根式的计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 二、填空题 5．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 8．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，数轴上从左到右依次有四点，点分别表示1和，点到点的距离与点到点的距离相等，设点表示的数为，当点表示的数是时，的值是 ； 三、解答题 9．（21-22七年级下·湖北恩施·期末）按要求解答问题： (1)计算：； (2)求式中的值：． 10．（24-25八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 11．（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 12．（19-20七年级下·安徽亳州·期末）先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $