专题03 位置与坐标（必备知识+7大题型+分层训练）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

专题03 位置与坐标（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、原点、象限），明确点的坐标表示方法 基础必考点，常出现在小题，是后续知识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的坐标规律 高频考点，易与对称、象限问题综合考查，小题为主，易错点集中在对称点坐标的符号变化 用坐标表示地理位置 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置，或根据坐标确定地点 应用考点，多以实际应用题形式出现，考查建模和应用能力 轴对称与坐标变化 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称），推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据坐标变化判断轴对称关系 核心考点，易与几何图形的轴对称综合考查，在小题和解答题中均有体现，易错点为坐标变化规律的混淆 知识点01 平面直角坐标系的基本概念 - 知识点：平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（x轴、y轴）组成，交点为原点；坐标用有序数对(x,y)表示，x是横坐标（对应x轴），y是纵坐标（对应y轴）。 - 示例：点A(3, -2)，横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。 - 易错点：混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)；误判点所在象限，如点(-1,-3)错认为在第二象限（实际在第三象限）。 知识点02 点的坐标特征 - 知识点：各象限内点的坐标符号：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 - 示例：点B(-5, 1)关于x轴对称的点为(-5, -1)，关于y轴对称的点为(5, 1)。 - 易错点：对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持不变；混淆x轴、y轴上点的坐标特征，如认为x轴上点横坐标为0。 知识点03 用坐标表示地理位置 - 知识点：可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点。 - 示例：以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长度1km，图书馆坐标为(2, 3)，即位于学校东2km、北3km处。 - 易错点：建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 知识点04 轴对称与坐标变化 - 知识点：图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变，横坐标变为相反数。 - 示例：三角形顶点为C(1,2)、D(3,4)、E(5,1)，关于x轴对称后的顶点为C'(1,-2)、D'(3,-4)、E'(5,-1)。 - 易错点：轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 题型一 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 1. 明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 - 第一象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）>0（“+，+”） - 第二象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）>0（“-，+”） - 第三象限：横坐标（x）<0，纵坐标（y）<0（“-，-”） - 第四象限：横坐标（x）>0，纵坐标（y）<0（“+，-”） 2. 先判符号，再对号入座：拿到点的坐标（x，y）后，先分别判断x和y的正负，再对照上述规律，确定对应的象限。例如点（-3，2），x=-3<0，y=2>0，对应第二象限。 3. 排除特殊情况：若x=0或y=0，点在坐标轴上（x轴、y轴），不属于任何象限，需先排除这类情况再判断。 【典例1】（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 题型二 平面直角坐标系中点的特征 解｜题｜技｜巧 1. 抓坐标符号定位置：核心是判断横（x）、纵坐标（y）的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递增”记符号：一（+，+）、二（-，+）、三（-，-）、四（+，-），非正负（x=0或y=0）则在坐标轴上。 2. 记坐标轴特殊特征：x轴上点y=0，向右x增大；y轴上点x=0，向上y增大；原点坐标（0，0），是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 3. 用对称关系快速推导：关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。 【典例2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段的长度． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意得到，求解即可得出答案； （2）根据题意得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知点． (1)若点P在轴上，求点P的坐标； (2)若点，轴，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查x轴上和平行于y轴上点坐标的特征，根据此特征确定点的横坐标或纵坐标是解答此题的关键． （1）根据x轴上点的纵坐标为，得，求m值即可得P点坐标； （2）根据题意直线，可得P、Q的横坐标均为，由此得，确定m值可得P点的横坐标，进而计算长． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ∴， ； （2）解：轴， ， ， ，   ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案． 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）由题意知，点M的坐标为，即， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴， 解得． 题型三 已知平面直角坐标系中的对称点求参数 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 【典例3】（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）若点和关于x轴对称，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标的特征，可得a，b的值，再代入，即可求解． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：2025 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·青海·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特点，代数式求值，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可列式求出a、b，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 题型四 平面直角坐标系中作轴对称图形 解｜题｜技｜巧 1. 牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 - 关于x轴对称：横坐标（x）不变，纵坐标（y）变为相反数。 - 关于y轴对称：纵坐标（y）不变，横坐标（x）变为相反数。 - 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2. 按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3. 用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图准确。 【典例4】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，和平面直角坐标系内点的坐标的确定，以及作关于x轴对称的轴对称图形，熟练掌握和灵活运用各知识点是解决此题的关键． （1）根据点的坐标为，即可建立正确的平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可； （2）分别作点，，关于轴的对称点，，，连接，，，则即为所求； （3）用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：所建立的平面直角坐标系，如图所示： 点B的坐标为：； （2）解：所作如下图所示： （3）解： ， 答：的面积为5． 【变式1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及三角形面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求三角形面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）直接根据关于轴对称的点的坐标变化规律写出坐标； （3）利用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：由关于轴对称的点的坐标特征可知： ； （3）解：． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，写出点的坐标； （1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征找到点，，的坐标，然后描点连线画出； （3）由坐标系得到点，，的坐标； 【详解】（1）解： （2）解：如图，为所作； （3）根据坐标系可得： 题型五 平面直角坐标系中的面积问题 解｜题｜技｜巧 1. “补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形。 2. “分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如三角形面积=底×高÷2）计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3. 利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例5】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，点的坐标，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得出，故，，再结合线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，则，，即可作答． （2）先表达，再结合，，得出轴，即，根据的面积是12平方单位，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴，， （2）即：，； 解：由题意得：，， 由（1）得，， ∴轴， 即， 则三角形的面积， ∵的面积是12平方单位， ∴， 解得， 即当秒时，的面积是12平方单位 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）只要，即可求证，推出或，可得结论． 【详解】（1）解： 即， ，， ，， ，， 点，点， ，； （2）解：连接，t秒后，，， ； （3）解：存在． ∵， ∴， ∴，，， ， 只要，即可求证， 或， 或． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段交于第一象限的点B，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A，C均在x轴上，C点坐标为，线段． (1)A点坐标为______，B点坐标为______； (2)若线段上存在一点D，使（O为原点），求D点纵坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)点D的纵坐标为2； (3)且． 【分析】（1）首先确定，结合点A在x轴负半轴上，可知点坐标；再根据点B在第一象限，B点到x轴，y轴的距离，可确定点坐标； （2）首先计算的面积，易得，进而计算点D的纵坐标即可； （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，易得，，，，，由可求得，进而可得，令，解得的值，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为， ∴， ∵线段， ∴， 又∵点A在x轴负半轴上， ∴， ∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4， ∴． 故答案为：，； （2）∵， 又∵， ∴，即，解得， ∵点D在第一象限， ∴，即点D的纵坐标为2； （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N， 则，，，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，令， ∵，即， ∴， ∴，解得或， ∵， ∴， 当点与点重合，即时，点在同一直线上，无法构成三角形， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 题型六 平面直角坐标系中新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 2. 结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 3. 用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 【典例6】（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏固原·期末）综合与实践 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了“阶派生点”的定义，由题目已知“阶派生点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“；”即可求解； （2）设出点P的坐标，根据“阶派生点”的定义即可求解； （3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点，再根据在哪个轴分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：；， 点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意可知，解得：， 点的坐标为； （3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴， 的“4阶派生点”为：，即 当在轴上，，， ； 当在轴上，，， ． 题型七 平面直角坐标系中规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1. “列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号（1、2、3…），列出“序号-横坐标-纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n。 2. 结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 3. 用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例7】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点，，，，…，按此规律，求： (1)点的坐标； (2)点的坐标(为正整数)； (3)若点到轴的距离为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，求一个数的算术平方根，找到纵坐标是横坐标的平方，是解题的关键； （1）根据规律直接写出点的坐标； （2）根据纵坐标是横坐标的平方写出点的坐标； （3）根据到轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：点，，，， ∴ （2）解：依题意，点的坐标为 （3）解：由（2）可得 ∴． 又∵为正整数， ∴ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）点在第（   ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，实数， 在平面直角坐标系中，第一象限点的坐标符号为，第二象限为，第三象限为，第四象限为．根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征判断． 【详解】点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征， 因此点在第四象限． 故选D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点所在的象限；根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．由此可分别求出m和n的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点N在y轴上：点N的坐标为． ， 解得：． ∵点M在x轴上，点M的坐标为， ， 把代入得， 解得： 将和代入，得． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知点P位于x轴上方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则点P的坐标为（　         　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，到x轴的距离为2，得到，到y轴的距离为5，得到，点P位于x轴上方，得到，去绝对值解答即可． 本题考查了点的位置，点到坐标轴的距离，熟练掌握到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，在x轴的上方的意义是是解题的关键． 【详解】解：根据题意，到x轴的距离为2，得到，到y轴的距离为5，得到，点P位于x轴上方，得到，得，， 故点P的坐标为或， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知点向左平移4个单位后，到y轴的距离为2，则a的值为 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查坐标系中点的平移，以及点到坐标轴的距离，先确定点平移后的坐标，再根据到轴的距离建立方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：点向左平移4个单位后的对应点的坐标为：， ∵点到轴的距离为2， ∴， 解得：或． 故答案为：2或6． 6．（24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及熟知垂线段最短是解题的关键．根据题意画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 过点B作直线l的垂线，垂足为M， 根据垂线段最短可知， 当点C在点M处时，线段长度最小， 此时点C的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第四象限，且点到轴的距离是1，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握点在坐标轴上，点在象限中，点到坐标轴距离的计算是关键． （1）根据点在轴上，得到横坐标为，由此列式求解即可； （2）根据点在第四象限，且点到轴的距离是1，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 得， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：点在第四象限，且点到轴的距离是1， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 8．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图．在边长为1的正方形网格中，三角形（点均在格点上），已知，点，点． (1)请根据图中B，C两点的坐标，画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标___________， (2)的面积为___________； (3)已知点是平面直角坐标系内一动点，若的面积为8，求的值． 【答案】(1)图见解析， (2)10 (3)或． 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形面积计算公式是解题的关键． （1）根据点B、C的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形面积公式列关于m的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴平面直角坐标系如图所示： 则点A的坐标为． 故答案为：； （2）解：， ∴的面积为10． 故答案为：10； （3）解：点在直线上， 根据题意，得， 解得或． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离公式为， 将点代入公式，得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点所在的象限；根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．由此可分别求出m和n的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点N在y轴上：点N的坐标为． ， 解得：． ∵点M在x轴上，点M的坐标为， ， 把代入得， 解得： 将和代入，得． 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，，则线段．其中正确是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的相关知识．逐一分析各命题的正确性即可． 【详解】解：①：若，则或，此时点在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误； ②：点的横坐标为负，纵坐标，满足第二象限的条件，故②正确； ③：点与的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线平行于轴，故③正确； ④：点与的纵坐标相同，线段的长度为横坐标之差的绝对值：，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为t，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为t， ∴， 解得， ∴当时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为，即在x的正半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为，即到达点D， ∴点； 当时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为，即在x的负半轴上， ∴点； 当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即到达点A， ∴点； 当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x的正半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环， ∴， ∴点， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 根据点与点关于x轴对称，，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为 ，此时点C的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，垂线段最短，平行坐标轴的点的坐标特征，垂直于坐标轴的点的坐标特征，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 根据题意画出图形，再根据垂线段最短求解线段的最小值，再由平行于y轴的点的坐标特征及垂直y轴的点的坐标特征即可解答． 【详解】解：如图， 当时，线段最短， ∵点，若轴， ∴最小值为， ∴此时， 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求出a的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为 故答案为： （2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以， 解得， 所以 故答案为： 三、解答题 9．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03位置与坐标（期末复习讲义) 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 能准确识别平面直角坐标系的组成（坐标轴、 基础必考点，常出现在小题，是后续知 的概念 原点、象限)，明确点的坐标表示方法 识的基础 点的坐标特征 能熟练掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标特 高频考点，易与对称、象限问题综合考 征，以及对称点（关于x轴、y轴、原点）的 查，小题为主，易错点集中在对称点坐 坐标规律 标的符号变化 用坐标表示地理 能根据实际情境建立平面直角坐标系，用坐标 应用考点，多以实际应用题形式出现， 位置 描述地理位置，或根据坐标确定地点 考查建模和应用能力 轴对称与坐标变 能根据轴对称的性质（关于x轴、y轴对称）， 核心考点，易与几何图形的轴对称综合 化 推导并应用点的坐标变化规律；反之，能根据 考查，在小题和解答题中均有体现，易 坐标变化判断轴对称关系 错点为坐标变化规律的混淆 记·必备知识 同知识点01平面直角坐标系的基本概念 -知识点：平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴(x轴、y轴)组成，交点为原点；坐标用有序数对(x) 表示，x是横坐标（对应x轴)，y是纵坐标（对应y轴)。 ·示例：点A(3,-2),横坐标是3，纵坐标是-2，位于第四象限。 ·易错点：混淆横、纵坐标的顺序，如将点(2,3)写成(3,2)：误判点所在象限，如点(-1，-3)错认为在第二象限 (实际在第三象限)。 邑知识点02点的坐标特征 -知识点：各象限内点的坐标符号：第一象限（什，+），第二象限(，+)，第三象限(，)，第四象限（什+，-）：x轴上点 纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点 纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 -示例：点B(-5,1)关于x轴对称的点为(-5，-1)，关于y轴对称的点为(5,1)。 ·易错点：对称点坐标符号变化错误，如关于y轴对称的点误将横坐标保持不变；混淆x轴、y轴上点的坐 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标特征，如认为x轴上点横坐标为0。 同知识点03用坐标表示地理位置 ·知识点：可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根 据坐标确定地点。 -示例：以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，单位长度1m,图书馆坐标为(2,3)，即位 于学校东2am、北3kam处。 ·易错点：建立坐标系时原点、方向选择不当，导致坐标表示错误；单位长度与实际距离换算错误。 局知识点04轴对称与坐标变化 ·知识点：图形关于x轴对称时，各点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称时，各点纵坐标不变， 横坐标变为相反数。 -示例：三角形顶点为C1,2)、D3,4)、E(5,1),关于x轴对称后的顶点为C(1,-2)、D'(3,-4)、E(5,-1)。 ·易错点：轴对称时横、纵坐标变化规律混淆，如关于x轴对称误改横坐标；未结合图形整体判断轴对称关 系，仅单一改变点坐标导致图形变形。 破·重难题型 ☑题型一判断点所在的象限 :解引题|技|巧 :1.明确象限符号规律：牢记四个象限的坐标符号特征，这是解题基础。 -第一象限：横坐标(x)>0,纵坐标(y)>0(“+,+”) ·第二象限：横坐标(x)<0,纵坐标(y)>0(“-,+”) -第三象限：横坐标(x)0,纵坐标(y)<0(“,-”) 、 第四象限：横坐标(x)>0,纵坐标(y)<0(“+,”) :2.先判符号，再对号入座：拿到点的坐标(x,y)后，先分别判断x和y的正负，再对照上述规律， 确定对应的象限。例如点(-3,2)，x=-3<0,y=2>0,对应第二象限。 3.排除特殊情况：若x=0或y=0,点在坐标轴上(x轴、y轴)，不属于任何象限，需先排除这类情况 再判断。 【典例1】(24-25七年级下·北京期末)在平面直角坐标系中，点(-2025,2026)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(23-24八年级上江苏泰州期末)在平面直角坐标系中，点Pm2+2024,-1一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(24-25八年级下山东淄博·期末)已知点P(x,y)在第三象限内，化简√3的结果是() A.yv-xy B.-yx炒 C.yy D.-yxy 立题型二平面直角坐标系中点的特征 解|题|技|巧 1.抓坐标符号定位置：核心是判断横(x)、纵坐标(y)的正负。四个象限按“右上为一，逆时针递 增”记符号：一(+，+)、二(-，+)、三(-，-)、四(+，-)，非正负(x=0或y=0)则在坐标轴 上。 :2.记坐标轴特殊特征：x轴上点y0,向右x增大；y轴上点x0,向上y增大；原点坐标(0,0)， 是两轴交点，需优先排除这类非象限点。 3.用对称关系快速推导：关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点 对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征。 【典例2】(24-25八年级上·宁夏固原期末)已知点A2a-1,a-1),根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点P(-4,2)且与x轴平行的直线上，求线段AP的长度 【变式1】(24-25七年级下·吉林白山期末)己知点P(6-2m,m+3). (I)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点Q(2,1,PQ∥y轴，求线段PQ的长度. 【变式2】(24-25七年级下·陕西榆林期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m+1,3m+2). (I)若点P在过点A(-3,)且与y轴平行的直线上，求点P的坐标： (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M,若点M在第三象限，且点M到y轴的 距离为7，求m的值. 巴题型三已知平面直角坐标系中的对称点求参数 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解|题|技|巧 1.牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 。关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变为相反数。 ·关于y轴对称：纵坐标)不变，横坐标(x)变为相反数。 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 2.按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规 律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3.用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图 准确。 【典例3】(24-25八年级下.甘肃张掖期末)若点Ma,-2022和N(3,b关于x轴对称，则a+b的值 是 【变式1】(24-25八年级上·全国期末)在平面直角坐标系中，点A(a,-6)与点B(2,b)关于y轴对称，则 ab = 【变式2】(24-25八年级上青海期末)已知点P(a-1,5)和点P,(2,b+3)关于y轴对称，则(a+b)224的值 是 立题型四平面直角坐标系中作轴对称图形 解|题|技巧 :1.牢记三类对称的坐标规律：这是核心，直接用规律推导坐标更高效。 :。关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变为相反数。 关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变为相反数。 ·关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数。 :2.按“找关键点→求对称点→连点成图”步骤作图：针对图形，先找顶点、交点等关键点，用上述规 律算对称点坐标，最后顺次连接对称点，即可得到轴对称图形。 3.用坐标验证对称性：作出图形后，可随机选一点，检查其与对称点的坐标是否符合规律，确保作图 准确。 【典例4】(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图所示，ABC在正方形网格中，若点A,C的坐标分 别为(0,3)，(1,1)，按要求回答下列问题： 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'; (3)求ABC的面积 【变式1】(24-25八年级上·四川达州期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为 A(-3,2)B(-4,-3),C(-1,-1). 2 3-210 2345x 3 B (I)画出ABC关于y轴对称的△A,BC,; (2)写出点A,B,C的坐标： (3)求ABC的面积. 【变式2】(24-25八年级上·甘肃武威期末)如图，在平面直角坐标系x0y中， A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-10 -4-3-2-1 O12345x 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求出ABC的面积； (2)在图中作出ABC关于x轴的对称图形△A,B,C; (3)写出点A,B,C的坐标. 它题型五平面直角坐标系中的面积问题 解|题|技|巧 ;1.“补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去 周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标己知的图形。 2.“分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形（三角形、矩形），分别用公式（如 三角形面积=底×高÷2)计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算。 3.利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为 纵坐标差的绝对值。非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度。 【典例5】(24-25七年级下.内蒙古赤峰期末)如图，已知点Aa,0),B(b,0),满足(3a+b)+√b-3=0, 将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD,并连接AC,BD. R 备用图 (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少 时，ODM的面积是12平方单位？ 【变式1】(24-25八年级上黑龙江七台河·期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点 的坐标分别为A(0,m)、B(n,0),且m-n-3+n2-6n+9=0,点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射 线A0匀速运动，设点P的运动时间为t秒 6/14 厨学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求OA、OB的长： (②)连接PB,设POB的面积为S,用含t的式子表示S; (3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中，是否存在这样的 点P,使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】(24-25七年级下·湖北荆州期末)如图，在平面直角坐标系中，线段AB、BC交于第一象限的 点B,B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4，点A,C均在x轴上，C点坐标为5,0)，线段AC=6 备用图 (1)4点坐标为，B点坐标为 ； (2)若线段BC上存在一点D,使SAOCD= 5 12 SABC(O为原点)，求D点纵坐标； (3)点E(a,-3)是坐标平面内的动点，若满足S。≤ SA4c,求a的取值范围。 4 它题型六平面直角坐标系中新定义型问题 解|题|技巧 :1.精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则（如“新距离”“特殊点”），将抽象描 :述转化为数学关系（如坐标公式、位置条件），避免理解偏差。 :2.结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规 律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念。 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3.用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用 特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误。 【典例6】(24-25七年级上·吉林期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的 较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”， (1)点A-3,5)的长距”为； (②)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由. 【变式1】(25-26八年级上·全国期末)新定义：对于平面直角坐标系x0y中的点P(a,b),若点P的坐标 为a+b,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P为点P的“k属派生点”. 例如：P1,4)的2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6. (1)点P(-1,6)的2属派生点”P的坐标为 (②)若点P的3属派生点”P的坐标为6,2)，则点P的坐标为 (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P,且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的 值。 【变式2】(24-25七年级下.宁夏固原期末)综合与实践 在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶派生点” (其中a为常数，且a≠0).例如：点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9). (1)若点P的坐标为(-1,5)，则它的3阶派生点的坐标为 (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(-9,3)，求点P的坐标； (3)若点P(c+1,2c-)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点.点？的“4阶派生点” P位于坐标轴上，求点B的坐标. 题型七平面直角坐标系中规律探究问题 解|题|技|巧 1.“列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号(1、2、3)，列出“序号横坐标纵坐标”表格， 观察横、纵坐标随序号变化的规律（如倍数、加减、循环），例如序号对应横坐标为，纵坐标为 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现（如绕原点旋转、在象限间移动），记录点所在 象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标。 3.用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反 向检查是否满足坐标系中的位置特征（如对称、象限分布），确保规律正确。 【典例7】(24-25七年级上·黑龙江牡丹江期末)如图，在平面直角坐标系中，一质点自P(1,0)处向上运 动1个单位长度至P1,1,然后向左运动2个单位长度至P处，再向下运动3个单位长度至P处，再向右 运动4个单位长度至P处，再向上运动5个单位长度至P处，.，按此规律继续运动，则P2s的坐标是() VA P P A.（-1013,-1012)B.(-1012,-1013C.(1012,-1013)D.1013,-1012 【变式1】(24-25七年级下·山东德州期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A从(1,0)出发，向上运动 1个单位长度到达点B(1,1,分裂为两个点，分别沿BC,BD向左、右分别运动到点C(0,2)点D(2,2),此时 称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G(-1,4),H(1,4),1(3,4) ，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是() G -2 D -4-3-2-101234567x A.(-2021,4051)B.(-2024,4050) C.(-2024,4051) D.(-2022,4051) 【变式2】(24-25七年级下·黑龙江佳木斯期末)探索规律：点P1,1),P(2,4),P(3,9),P(4,16),, 按此规律，求： 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()点P的坐标： (②)点P的坐标(n为正整数)： (3)若点P到x轴的距离为625，求的值. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.(24-25七年级下·河北承德期末)点P(2,-√5)在第()象限. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(24-25七年级下山东德州期末)在平面直角坐标系中，点M(m+1,m+2n)在x轴上，点 N(m-2,n-m在y轴上，则m+n的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 3.（24-25七年级下·全国期末)己知点P位于x轴上方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则点P的 坐标为( A.（2,5 B.(5,2 C.（2,5或(-2,5) D.(5,2)或(-5,2 二、填空题 4.(24-25七年级下·上海宝山期末)与A-2,-√5关于x轴对称的点的坐标为 5.(24-25八年级下.四川成都期末)己知点(a,-3)向左平移4个单位后，到y轴的距离为2，则a的值为】 10/14