专题04 一次函数（必备知识+8大题型+分层训练）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学一次函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分模块呈现函数概念、表达式、图象性质及实际应用知识点，每个模块配套典型示例与易错点提示，清晰构建知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计练习与方法指导，基础通关练与重难突破练覆盖不同层次需求，题型中融入解题技巧（如待定系数法求表达式、两点法画图象），结合一次函数实际应用（如行程问题、方案选择）培养模型意识与推理能力，助力学生掌握方法、突破难点，教师可据此实施精准化复习教学。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04一次函数（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数的 基础必考点，常出现在选择题、填空题 定义及三要素 一次函数的表达 能根据实际情境或己知条件确定一次函数的 高频考点，在解答题中常与其他知识点 式 表达式 结合考查 一次函数的图象 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的 重点难点，易出现在综合题，考查对图 与性质 形状、位置与、的关系，利用性质解决问题 象和性质的综合运用 一次函数的实际 能运用一次函数解决实际问题中的方案选 高频考点，常以应用题形式出现，分值 应用 择、最值、行程等问题 占比较大 记·必备知识 同知识点01函数的概念 ·知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 ·示例：判断下列关系是否为函数：①汽车以60mh的速度行驶，行驶路程s与时间：②-±区（之0）。 分析：①中对于每一个时间k,路程s=60都有唯一值，是函数；②中对于x=4,y=±2，不是唯一值， 不是函数。 ·易错点：忽略“y有唯一值对应”这一关键条件，误将一对多的关系判定为函数。 局知识点02一次函数的表达式 -知识点：形如y=a+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=x(k≠0)叫做正 比例函数。 ·示例：已知一次函数的图象过点(1,3)和(2,5)，求其表达式。 解：设表达式为y=+b,代入得k+b=3;2k+b=5,解得k=2;b=1,表达式为y=2x+1。 ·易错点：求表达式时忘记k≠0的限制，或代入点坐标计算时出现计算错误。 局知识点03一次函数的图象与性质 1/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -知识点：一次函数y=+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0，b)和(b,0)画出。当心0时，y 随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 -示例：分析y=-3x+2的图象和性质。 分析：k=3<0,b=2>0,图象过一、二、四象限，y随x的增大而减小，与y轴交于(0,2)，与x轴交于（号，0）。 ·易错点：混淆k、b对图象位置的影响，尤其是当k或b为负数时，判断图象象限出错。 局知识点04一次函数的实际应用 。知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型， 再结合图象或性质求解。 -示例：某快递公司收费：首重1g内10元，续重每g2元（不足1g按1g算）。设快递重量为xg(x geql),费用为y元，求y与x的函数关系。 解：y=10+2c-1)=2x+8。若快递重3.5kg,按4g算，y=2×4+8=16元。 ~易错点：实际问题中忽略自变量的取值范围（如销量、成本不能为负），导致函数应用不符合实际；或建 立函数模型时数量关系分析错误。 破·重难题型 题型一一次函数的识别 解引题|技巧 *一次函数识别核心*：形如**y=kx+b*(k、b为常数，且k≠0)的函数，图像是一条直线。 解题技巧 ;1.*看形式*：先整理表达式，若能化为y=kx+b(k≠0)，即为一次函数；b=0时是特殊的正比例函 数（过原点）。 2.*定参数*：遇含参数的式子（如y=(m-1)x+2),需满足“x系数≠0”（即m-1≠0一→m≠1），同 时x的次数为1。 :3.*联图像*：直线过两点可求解析式，用“待定系数法”代入两点坐标，解方程组求k和b。 -- 【典例1】(24-25八年级下·湖北襄阳·期末)下列关于x的函数中，是一次函数的是() A.y=2x2+2B.y= C.y=x2 D.y=x+2 【变式1】(24-25八年级下·海南省直辖县级单位期末)下列函数中，y是x的一次函数的是( 2/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=x-1 B.y=x2-1 C.y=3 D.y=2x2+3x-1 【变式2】(24-25八年级下·广西钦州期末)下列函数是一次函数的是() A.y=3x2+2B.y=3x+2 C.y= 3 D.y=3+2 它题型二一次函数的图象和性质 解|题|技|巧 解题时，先明确一次函数表达式y=+b(k≠0)。画图象用两点法，取(O,b)和(b,0)快速描点连 线。分析性质时，关注k和b:k决定增减性(0递增，k<0递减)，b决定与y轴交点(O,b)。 判断图象象限，结合k、b符号：如心0、b>0,图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范 围，再结合这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 【典例2】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)关于一次函数y=-3x+6,下列结论错误的是() A.若A-2,y),B(0y2)在函数上，则片>y2 B.图象与y轴交于正半轴 C.图象经过第一，二，四象限 D.与两坐标轴围成的三角形面积为4 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)关于一次函数y=2x-1,下列结论中正确的是() A.图象必经过(0,1 B.图象经过第一、二、三象限 C.若A-3),B(2,y2)在图象上，则y>y2 D.图象向上平移1个单位长度得解析式为y=2x 【变式2】(23-24八年级下·全国期末)关于直线1：y=kx+k(k≠0)，下列说法不正确的是（) A.点(0，k)在直线1上 B.直线1经过点(-1,0 C.直线1经过第一、二、三象限 D.当k>0时，y随x的增大而增大 3/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三 利用一次函数的增减性求解 解|题技巧 核心技巧*：一次函数增减性由*k值符号*决定一一k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增 大而减小，解题需“先定k,再用增减性列关系”。 1.*判断增减性*：先确定解析式中k的正负，明确y与x的变化方向。 2.*找自变量范围*：根据题目给的x取值范围（如X1≤x≤x?),结合增减性确定y的最值对应 的x值。 3.*列方程/不等式*：若已知最值求参数，将对应x、y值代入解析式；若比较大小，直接用增减性 转化x的关系为y的关系。 【典例3】(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)若一次函数y=-3x+b图象上有两个点P(1,m, Q-2,n,则m,n的大小关系是：mn(填“>”，“=”或“<”) 【变式1】(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)已知一次函数y=一4x+1,若-2≤x≤1，则y的最小值 为」 【变式2】(24-25八年级下海南期末)已知函数y=}x-5,当自变量x的取值范围是-3≤x≤5时，y的 最大值为 【变式3】(24-25八年级下山东日照期末)一次函数y=x+3(k为常数，且k≠0)，当-3≤x≤4时，y 的最大值是〉，则k的值是」 巴题型四 一次函数图象的共存问题 解|题|技|巧 *核心*：一次函数图象共存，本质是判断多组**、b值是否一致*，即不同表达式推导的k、b需 完全相同。 解题技巧 1.*列k、b关系*：从每个条件（如过某点、与另一函数平行）分别列出k、b的方程，比如两函数 : 平行则k相等。 2*解方程组*：联立所有k、b的方程，求解参数值。 3.*验证一致性*：若解得的参数能让所有函数的k、b均满足条件，则图象共存；若无解或矛盾（如 4/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k既等于2又等于3)，则不共存。 【典例4】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)下列图形中，表示一次函数y=x+b与正比例函数 (k,b为常数，且b≠0)的图象是( 【变式1】(24-25八年级上·上海期末)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-k和y=x的图 象可能是() 【变式2】(24-25八年级下.云南丽江·期末)下列表示一次函数y=x+b(k,b是常数，且kb≠0)的图象 与正比例函数y=bx的图象可能的是() 它题型五求一次函数的表达式 解题|技|巧 :先明确一次函数形式为y=+b(k≠0)。若已知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方 5/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用， 先分析变量间的线性关系，确定k(斜率，如变化率)和b(初始值)，再代入验证。解题时注意k≠0 的限制，计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 【典例5】(24-25八年级下·河北沧州期末)己知y与x成正比例，当x=-1时，y=4. (I)求y与x之间的函数关系式： (2)请判断点A-2,6)是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果Pm,y),Q(m+1,y2)是这个函数图像上的两点，请比较与的大小. 【变式1】(24-25八年级下·广西来宾期末)已知y+2与x成正比，且x=2时，y=6. (I)求y关于x的函数表达式： (2)当x=-一时，求y的值； 4 (3)将所得函数的图象平移，使它过点(-2,1)，求平移后图象的表达式。 【变式2】(23-24八年级上甘肃兰州期末)如图所示，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为0,4). B (I)求过A,B两点直线的函数表达式： (2)过点B作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积. 【变式3】(23-24八年级下·河北石家庄期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=4x-5上， 过点A的另一条直线交y轴于点B(0,6). y 4x-5 B 6/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求直线AB的函数表达式. (2)求ABC的面积. (3)若点P(t,)在线段AB上（可与点A,B重合），点Q1-1,y2)在直线y=4x-5上，求-y2的最小值. 题型六 画一次函数的图象 解引题|技巧 画一次函数y=a+b(nq0)的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1.找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单一一与y轴交点为0，)（直接代入x=0求y);与x 轴交点为(，0)（代入y0解）。若两点重合（如b=-0的正比例函数），再额外取一个易算点，比 如(1，月。 2.描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延 伸的性质)。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质 特征。 【典例6】(24-25八年级下，福建泉州期末)在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+4,完成下列问 题： y 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-10 1 2345x =1 2 4 (1)画出一次函数y=-2x+4的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是： (3)将直线y=-2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标， 【变式1】(25-26八年级上全国期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A,B的坐标分别是 (2,-2),-1,3),作点A关于x轴的对称点A,点B关于y轴的对称点B. 7/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 4 3 2 4-3-2-1 1 2 3 4 =4 (1)请按要求作点A,B,并直接写出点A,B,的坐标： (2)顺次连接A,B,O三点，得到△A,B,0,求出△AB,O的面积； (3)在x轴上找一点M,使得AM+BM的值最小，请在图中标出点M,并求出点M的坐标. 【变式2】(24-25八年级下广东惠州期末)实践与研究： -2 1 2 y=2x -2 -1 0 2 3 y=2(x-1 r- 543219 1 23456 (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数y=2x和y=2(x-1)的图象. (②)观察两个函数图象，y=2(x-)的图象可以由y=2x的图象怎么变换得到？ (③)当直线y=-2x+b向右平移1个单位与直线y=-)x 今x+3重合，试确定b的值 4 -2 3 8/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 v=2x - -2 -2 -1 0 2 3 y=2(x-1 -6 4 -2 2 4 6 【变式3】(24-25八年级下·河南安阳·期末)问题：探究函数y=-x+4的图象与性质.数学兴趣小组根据 学习一次函数的经验，对函数y=-x+4的图象与性质进行了探究， (1)在函数y=-x+4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值 3 0 ①表格中a的值为 ②若(b,-6)为该函数图象上的点，则b= (②)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象. 2 5-4-3-2-10 2345元 2 (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为 ②写出该函数的一条性质： 巴题型七 一次函数的实际应用 解|题|技|巧 解此类问题核心是“建模型、用性质”，分三步高效突破： 1.找变量，定关系：先明确题目中两个变量（如“销量”与“利润”、“时间”与“路程”），判断 是否为线性关系（变量变化量成固定比例），确定用y=+b(k为变化率，b为初始值)建模。 9/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.求参数，列表达式：通过题干给出的两组对应值（如“当x=1时y5”),用待定系数法算k和b, ! 写出函数式，同时标注自变量取值范围（如“人数不能为负”）。 3.用性质，解问题：根据k的正负判断增减性（心0则y随x增大而增大），结合取值范围求最值、方 案等，最后验证结果是否符合实际情境。 【典例7】(24-25八年级上·陕西西安期末)某教育科技公司销售A,B两种多媒体，这两种多媒体的进 价与售价如表所示： B 进价（万元/套） 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A,B两 种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套10≤m≤20)，设将购进的两 种多媒体全部售出的利润为w,请求出w与m之间的函数关系式，并求出利润的最大值. 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两地同时相向 出发，甲车到达8地，停留1小时后，返回4地，返回时速度是原速的臂倍，乙车匀速从8地装往4地。如 图表示甲、乙两车距B地的路程y(千米)与两车行驶时间x(小时)的函数关系 y(千米) 3601C G D八E/ 0 456 x(小时) (1)乙车的速度是 千米时，甲车返回时的速度是 千米时： (2)求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案. 【变式2】(24-25八年级下·福建厦门期末)【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度 【项目情境曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把浮力 秤 10/19 专题04 一次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的概念 能准确判断一个关系是否为函数，理解函数的定义及三要素 基础必考点，常出现在选择题、填空题 一次函数的表达式 能根据实际情境或已知条件确定一次函数的表达式 高频考点，在解答题中常与其他知识点结合考查 一次函数的图象与性质 能画出一次函数的图象，掌握一次函数图象的形状、位置与、的关系，利用性质解决问题 重点难点，易出现在综合题，考查对图象和性质的综合运用 一次函数的实际应用 能运用一次函数解决实际问题中的方案选择、最值、行程等问题 高频考点，常以应用题形式出现，分值占比较大 知识点01 函数的概念 - 知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 - 示例：判断下列关系是否为函数：①汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程s与时间t；②y = （x≥0）。 分析：①中对于每一个时间t，路程s = 60t都有唯一值，是函数；②中对于x = 4，y = 2，不是唯一值，不是函数。 - 易错点：忽略“y有唯一值对应”这一关键条件，误将一对多的关系判定为函数。 知识点02 一次函数的表达式 - 知识点：形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 - 示例：已知一次函数的图象过点(1,3)和(2,5)，求其表达式。 解：设表达式为y = kx + b，代入得k + b = 3；2k + b = 5，解得k = 2；b = 1，表达式为y = 2x + 1。 - 易错点：求表达式时忘记k≠0的限制，或代入点坐标计算时出现计算错误。 知识点03 一次函数的图象与性质 - 知识点：一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 - 示例：分析y = -3x + 2的图象和性质。 分析：k = -3<0，b = 2>0，图象过一、二、四象限，y随x的增大而减小，与y轴交于(0,2)，与x轴交于(,0)。 - 易错点：混淆k、b对图象位置的影响，尤其是当k或b为负数时，判断图象象限出错。 知识点04 一次函数的实际应用 - 知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 - 示例：某快递公司收费：首重1kg内10元，续重每kg2元（不足1kg按1kg算）。设快递重量为xkg（x\geq1），费用为y元，求y与x的函数关系。 解：y = 10 + 2(x - 1) = 2x + 8。若快递重3.5kg，按4kg算，y = 2×4 + 8 = 16元。 - 易错点：实际问题中忽略自变量的取值范围（如销量、成本不能为负），导致函数应用不符合实际；或建立函数模型时数量关系分析错误。 题型一 一次函数的识别 解｜题｜技｜巧 **一次函数识别核心**：形如 **y = kx + b**（k、b为常数，且k≠0）的函数，图像是一条直线。 解题技巧 1. **看形式**：先整理表达式，若能化为y=kx+b（k≠0），即为一次函数；b=0时是特殊的正比例函数（过原点）。 2. **定参数**：遇含参数的式子（如y=(m-1)x+2），需满足“x系数≠0”（即m-1≠0→m≠1），同时x的次数为1。 3. **联图像**：直线过两点可求解析式，用“待定系数法”代入两点坐标，解方程组求k和b。 【典例1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； B、中，不是整式函数，不符合一次函数定义，故不符合题意； C、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列函数中，是x的一次函数的是 （            ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握形如（）的函数为一次函数．根据一次函数的定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A、可整理为，符合的形式，其中，故为一次函数，选项正确； B、含项，最高次数为2，不符合一次函数定义，选项错误； C、可写为，含的负一次项，不符合一次函数的整式要求，选项错误； D、含项，最高次数为2，不符合一次函数定义，选项错误； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·广西钦州·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项B：，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意． 选项C：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：B 题型二 一次函数的图象和性质 解｜题｜技｜巧 解题时，先明确一次函数表达式y = kx + b（k≠0）。画图象用两点法，取(0, b)和(- ,, 0)快速描点连线。分析性质时，关注k和b：k决定增减性（k>0递增，k<0递减），b决定与y轴交点（(0, b)）。判断图象象限，结合k、b符号：如k>0、b>0，图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范围，再结合这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 【典例2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．若，在函数上，则 B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一，二，四象限 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，通过计算函数值、交点坐标和图象性质，逐一验证各选项的正误． 【详解】A、∵当时，；当时，，，正确，不符合题意； B、当时，，∴图象与y轴交于正半轴，正确，不符合题意； C、，∴图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； D、当时，由得，当时，， ∴图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴围成的三角形面积，错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，包括点是否在图象上、图象所经过的象限、函数的单调性以及图象的平移，根据一次函数的定义和性质逐一判断各选项． 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）关于直线l：，下列说法不正确的是（   ） A．点在直线l上 B．直线l经过点 C．直线l经过第一、二、三象限 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查一次函数性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，根据一次函数性质进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，即点在直线l上，故此选项不符合题意； B．当时，，即直线l经过点  ，故此选项不符合题意； C．不能确定l经过第一、二、三象限，此选项符合题意； D．当时，y随x的增大而增大，此选项不符合题意； 故选：C． 题型三 利用一次函数的增减性求解 解｜题｜技｜巧 核心技巧**：一次函数增减性由**k值符号**决定——k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小，解题需“先定k，再用增减性列关系”。 1. **判断增减性**：先确定解析式中k的正负，明确y与x的变化方向。 2. **找自变量范围**：根据题目给的x取值范围（如x₁≤x≤x₂），结合增减性确定y的最值对应的x值。 3. **列方程/不等式**：若已知最值求参数，将对应x、y值代入解析式；若比较大小，直接用增减性转化x的关系为y的关系。 【典例3】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）若一次函数图象上有两个点，，则m，n的大小关系是：m （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又一次函数图象上有两个点，，且， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增减小．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由解析式可得，则随着的增大而增大，则当，函数取得最大值，代入求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 题型四 一次函数图象的共存问题 解｜题｜技｜巧 **核心**：一次函数图象共存，本质是判断多组 **k、b值是否一致**，即不同表达式推导的k、b需完全相同。 解题技巧 1. **列k、b关系**：从每个条件（如过某点、与另一函数平行）分别列出k、b的方程，比如两函数平行则k相等。 2. **解方程组**：联立所有k、b的方程，求解参数值。 3. **验证一致性**：若解得的参数能让所有函数的k、b均满足条件，则图象共存；若无解或矛盾（如k既等于2又等于3），则不共存。 【典例4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，再由的图象可得的符号，比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由正比例函数的图象可知，故此选项正确； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 题型五 求一次函数的表达式 解｜题｜技｜巧 先明确一次函数形式为y = kx + b（k≠0）。若已知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方程组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用，先分析变量间的线性关系，确定k（斜率，如变化率）和b（初始值），再代入验证。解题时注意k≠0的限制，计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 【典例5】（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为． (1)求过A，两点直线的函数表达式； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为， 将，代入得： ，解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为． （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上，的面积为2或6． 【变式3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． (3)若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为4 【分析】本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ； （3）解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 题型六 画一次函数的图象 解｜题｜技｜巧 画一次函数y = kx + b（k eq0）的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1. 找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单——与y轴交点为(0, b)（直接代入x=0求y）；与x轴交点为(- , 0)（代入y=0解x）。若两点重合（如b=0的正比例函数），再额外取一个易算点，比如(1, k)。 2. 描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延伸的性质）。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质特征。 【典例6】（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别是，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点． (1)请按要求作点，并直接写出点的坐标； (2)顺次连接三点，得到，求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请在图中标出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)见解析，的坐标为，点的坐标为 (2)2 (3)见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等； （2）按要求作出，用割补法求出面积即可； （3）连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值，求出所在直线的函数表达式为，进而求出结论． 【详解】（1）解：作点如图所示． 由作图可知，点的坐标为，点的坐标为． （2）如图所示， ． （3）因为点与点关于轴对称，点在轴上， 所以点到点的距离和到点的距离相等，即， 所以． 如图，连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值． 设所在直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 则所在直线的函数表达式为． 将代入， 得， 所以点的坐标为． 【变式2】（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 【答案】(1)见解析 (2)的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据计算即可列表，进而描点即可作图得解； （2）依据题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，进而可以判断得解； （3）依据题意，由直线向右平移1个单位，可得平移后的直线为，结合平移后的直线与重合，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：完成表格如下： x … 1 2 3 … … 2 4 6 … x … 0 2 3 4 … … 2 4 6 … 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如下： （2）解：由题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象， ∴的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到． （3）解：∵直线向右平移1个单位， ∴平移后的直线为，即． 又∵平移后的直线与重合， ∴． ∴． 【变式3】（24-25八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)在函数中，自变量可以是任意实数，如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 1 2 3 4 2 1 0 ．．． ①表格中的值为___________； ②若为该函数图象上的点，则___________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为___________； ②写出该函数的一条性质：___________． 【答案】(1)①3；② (2)图见解析 (3)①4，②关于轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①代入的值计算即可得出的值；②把代入函数解析式计算即可得解； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象即可得解；②根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：①当时，，即； ②∵为该函数图象上的点， ∴， 解得：； （2）解：描点，画出函数的图象如图： （3）解：①由函数图象可得：函数的最大值为4； ②由函数图象可得：该函数的一条性质：关于轴对称（答案不唯一）． 题型七 一次函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 解此类问题核心是“建模型、用性质”，分三步高效突破： 1. 找变量，定关系：先明确题目中两个变量（如“销量”与“利润”、“时间”与“路程”），判断是否为线性关系（变量变化量成固定比例），确定用y = kx + b（k为变化率，b为初始值）建模。 2. 求参数，列表达式：通过题干给出的两组对应值（如“当x=1时y=5”），用待定系数法算k和b，写出函数式，同时标注自变量取值范围（如“人数不能为负”）。 3. 用性质，解问题：根据k的正负判断增减性（k>0则y随x增大而增大），结合取值范围求最值、方案等，最后验证结果是否符合实际情境。 【典例7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值． 【答案】(1)该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； (2)，利润的最大值为万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用． 设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套，根据共需资金万元，可列一元一次方程求解； 根据表中每种型号的多媒体的利润可以得到与之间的函数关系式，根据函数关系式和的取值范围求出利润最大值． 【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套， 根据题意可得：， 解方程得：， 则(套)， 答：该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； （2）解：根据题意可得：， 整理得：， ， 随着的增大而减小， 又， 当时，利润有最大值， 最大值为， 答：利润的最大值为万元． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度． 【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下： 【实验数据】 物体质量/kg 0 浸入水中深度/m 【问题解决】设放进杯中的物体质量为，杯子浸入水中的深度为． (1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象； (2)求放入杯中物体质量在范围内时，杯子浸入水中的深度y与放入物体质量x之间的函数表达式； (3)若量杯的高度为，此“浮力秤”可以称质量为的物体吗? 【答案】(1)见解析 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，描点法画一次函数图象，待定系数法求解函数解析式等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）利用描点法画出函数图像即可； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系，设y关于x的函数表达式为，利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）当时，求出，根据，超过了此浮力称的最大量程，即可做出判断． 【详解】（1）解：描出相应点及画出函数图象如解图所示； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系， 设y关于x的函数表达式为， 将；代入， ， 解得， 关于x的函数表达式为； （3）当时，， 解得， ，超过了此浮力称的最大量程， 若量杯的高度为，此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 题型八 一次函数与几何图形的综合 解｜题｜技｜巧 解此类题关键是“联坐标，找桥梁”，分三步突破： 1. 转几何条件为坐标：先确定几何图形关键点的坐标（如线段端点、交点），比如由“点在直线上”代入一次函数式求坐标，或由“轴对称”“垂直”等性质算坐标（如关于x轴对称点横坐标不变）。 2. 用函数算关系：若图形边长、面积等需计算，通过坐标求线段长度（横向距离算x差，纵向算y差），再结合几何公式（如三角形面积=底×高÷2），或利用两直线交点求图形顶点。 3. 验合理性：结合一次函数增减性、几何图形边长非负等条件，验证结果是否符合图形特征，避免因坐标计算错误导致几何量出错。 【典例8】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图1，已知直线：交轴于，交轴于． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象过点 B．它的图象与直线平行 C．随的增大而增大 D．当时，总有 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，逐项判断即可，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象不过点，原选项说法错误，不符合题意； 、的图象与直线不平行，原选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，总有，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 二、填空题 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点，都在直线上，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于，函数值随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，点，都在直线上， 由于， 则该直线经过二、四象限，函数值随增大而减小， 由于， 则 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江西·期末）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解，根据一次函数的图像与轴的交点坐标为，故的解为，即可作答． 【详解】解：∵直线的图象经过点， 则， ∴的解为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 三、解答题 7．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 8．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲骑自行车从A地出发匀速向C地骑行，1分钟后，乙骑摩托车从B地出发，匀速驶向C地，到达C地后停留1分钟，掉头按原速经B地驶向A地，乙比甲早1分钟到达目的地．甲、乙距A地的路程y(单位∶米)与时间x(单位∶分钟)之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题∶ (1)A，B两地之间的路程是 米，甲骑自行车的行驶速度是 米/分钟，直接在图中的括号内填上正确的数； (2)求乙骑摩托车从C地驶向A地的过程中，y与x之间的函数关系式(不需要写出自变量x的取值范围)； (3)乙出发后多少分钟，两人距各自出发地的路程相等？请直接写出答案． 【答案】(1)800，300，1 (2) (3)分钟或分钟 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由函数图象结合题意即可求解； （2）先根据图象求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （3）设出发分钟后，两人距各自出发地的路程相等，分两种情况列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，A，B两地之间的路程是米； 甲骑自行车的行驶速度是：米/分钟； ∵1分钟后，乙骑摩托车从B地出发，匀速驶向C地， ∴括号内数字为1， 故答案为：800，300，1； （2）解：设直线解析式为：， ∵（分钟）， （米/分钟）， （分钟）， ∴，， ∴， 解得：， ∴乙骑摩托车从C地驶向A地的过程中，y与x之间的函数关系式为：； （3）解：设出发分钟后，两人距各自出发地的路程相等， 当乙在段时，则， 解得：（分钟）； 当乙在段时，则， 解得：（分钟）， 综上：出发分钟或分钟后，两人距各自出发地的路程相等． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·期末）点，点都在一次函数的图象上，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，点都在一次函数的图象上， 且， ∴． 故选：A 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数与正比例函数（其中为常数，且）在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断正比例函数的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知，；即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 4．（24-25八年级上·全国·期末）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东滨州·期末）函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义得出，求解可得答案． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数， 得：， 解得： 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N．现以点N为圆心，长为半径画弧，与y轴正半轴交于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的性质、勾股定理以及作图基本作图，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点M，N的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理，可求出的长，结合作图可求出的长，再结合点P所在位置，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∵以点N为圆心，长为半径画弧，与y轴正半轴交于点P， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点和点，点是平面内一点，且．若△的面积等于6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由直线与坐标轴交于点和点，则不妨设于轴的交点为，与轴的交点为，从而，，又，故可令，，则，即，设直线与轴交点为，则，可得，又，且，从而，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，直线与坐标轴交于点和点， 不妨设于轴的交点为，与轴的交点为． ，． ， 令，，则，即． 作图如下． 设直线与轴交点为， ． ． ，且， ． ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在直线上第一象限内的一个动点，当为等腰三角形时，则点的坐标可以是 ． 【答案】、或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理求得两点距离，设，，根据两点距离公式分别求得，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图 ∵点，点， ∴ ∵点在直线上第一象限内的一个动点， 设， ∴ ①当时， 解得：， ∴点的坐标， ②当时， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标， ③当时， 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标， 综上所述，点的坐标为、或 故答案为：、或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）平面直角坐标系内，一次函数经过点和． (1)求，的值； (2)求该直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与坐标轴的交点坐标， 对于（1），将点的坐标代入关系式求出解即可； 对于（2），令求出解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴直线与y轴交点坐标为； 当时，， ∴直线与x轴交点坐标为. 10．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小陇家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．通过查阅相关资料，这两款车在相同路段行驶，A款车所需总行驶费用为7.5元，B款车所需总行驶费用为18.75元．假如小陇一家年平均行驶里程为，其他费用如下表所示： A款车 保险 6500元/年 车机服务 1230元/年 B款车 保险 2900元/年 保养 元 (1)A款车每千米所需行驶费用为______元，B款车每千米所需行驶费用为______元； (2)请综合考虑行驶费用和其他费用，根据年平均行驶里程x，帮小陇家确定购车方案． 【答案】(1)A款车每千米所需行驶费用为0.3元，B款车每千米所需行驶费用为0.75元； (2)当时，选择A款和B款都可以；当时，选择A款；当时，选择B款． 【分析】本题考查了有理数的除法应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，列式（元），（元），即可作答． （2）先分别表示出，再进行讨论，即可作答． 【详解】（1）解：∵这两款车在相同路段行驶，A款车所需总行驶费用为7.5元，B款车所需总行驶费用为18.75元 ∴（元），（元） ∴A款车每千米所需行驶费用为0.3元，B款车每千米所需行驶费用为0.75元； （2）解：依题意，设A款纯电动汽车和B款燃油车的总费用为元， 则行驶费用＋其他费用，行驶费用＋其他费用， ∴， 依题意，当时，则， 解得， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 综上：当时，选择A款和B款都可以；当时，选择A款；当时，选择B款． 11．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： (1)直接写出a的值，______； (2)求与t的函数关系式及t的取值范围； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 【答案】(1)280 (2) (3)6小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括从函数图象中获取信息，一次函数解析式的求解，由图象上的点求解出甲和乙的工作效率并由待定系数法求解一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先求解出调试前设备工作效率，再由调试后工作效率不变即可求解a的值； （2）根据乙的函数图象可知，是t的一次函数，设出一次函数解析式，将点和代入解析式即可求解； （3）先计算出乙的工作效率，设甲组加工时间为m小时，再根据甲乙合作零件的总数为320个列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：甲组调试前的工作效率为（个/时）， 因为调试后工作效率不变， ∴当时，个， ∴， 故答案为：280； （2）解：设， 将和代入解析式得： ，解得， ∴； （3）解：乙组的工作效率为（个/时）， 设甲组加工时间为m小时， ∵， 根据题意列方程，得：． 解得：． 答：甲组加工6小时，甲、乙两组加工零件总数为320个． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示． (1)请问 ， ， ； (2)图2中(？)处该填 ； (3)当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，得出，根据当点运动到点点时，，取得最大值，求得，进而勾股定理求得，即可求解； （2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即， 当点运动到点点时，，取得最大值，此时 在中， ∴； 故答案为：，，． （2）解：由（1）可得， ∴当时，取得最小值，此时运动到点，则 故答案为：． （3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则 ∴ 13．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； (2)【综合解决】求点 C、D的坐标； (3)【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据一次函数的解析式为，令求解可得点A的坐标，令求解可得点B的坐标； （2）作轴，轴，由正方形的性质和等角的余角相等可证，进而可求点 C、D的坐标； （3）作点关于轴的对称点，，由中点坐标公式可得点的坐标，进而可得点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，令求解可得点P的坐标； 【详解】（1）解：令，， 解得， ∴点； 令，， ∴点； 故答案为：． （2）如图，作轴，轴，垂足分别是E、F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （3）存在，点M、点P的位置如图所示，点P的坐标为． 作点关于轴的对称点，， ∴，， 连接与轴交于点，此时且值最小， 设直线的解析式为， 将点代入解析式得， ∴解得， ， 令，解得， ∴点P的坐标为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $