第6章 图形的相似（高效培优单元测试·提升卷）数学苏科版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第6章图形的相似（高效培优单元测试提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律.如图，已 知点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),若AB的长为8，则AP的长为() B A.45+1 B.8-4V5 C.12-45 D.4V5-4 【答案】D 【分析】 【详解】解：P是AB的黄金分割点(AP>BP),AB=8, 4P=5-x8=45-4: 2 故选D. 2.在平面直角坐标系中，已知点E(-6,3),F(-3,-3),以原点O为位似中心把△OEF缩小得到△OEF, 使OE':OE=1:3,则点E的对应点E的坐标是() A.(-2,1 B.-8,4) C.（-8,4)或(8，-4)D.（-2,1或2，-1 【答案】D 【详解】：以原点O为位似中心把aOEF缩小得到△OEF,使0E':OE=1:3, 点E的坐标为 6×对6》（别 即(-2,1或(2，-1. 故选：D 3.如图，己知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC与ADE相似的是() 1/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.AB BC D. AB AC AD DE AD AE 【答案】C 【分析】 【详解】解：：∠1=∠2， .∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即LDAE=∠BAC, 选项A中，∠DAE=∠BAC,∠C=LAED,两个对应角相等，：△ABC∽△ADE, 选项B中，∠DAE=∠BAC,∠B=∠D,两个对应角相等，：△ABC∽△ADE, 选项C中， AB BC ,∠DAE=∠BAC,不是夹这两个角的边，所以不相似 AD DE 选项D中， AB AC AD AE ,∠DAE=∠BAC,两条对应边的比相等，且夹角相等，：△ABC∽△ADE. 故选C 4.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.折叠该矩形纸片，使AB边落在AD边上，点B的对应点为点F, 折痕为AE,展平后连接EF;继续折叠该纸片，使FD落在FE上，点D的对应点为点H,折痕为FG,展 平后连接HG.若矩形HECG∽矩形ABCD,AD=2,则CD的长为() F B A.1 B.2V5-2 C.5-1 D.5+1 【答案】C 【详解】解：在矩形ABCD中，设CD=x, 则AB=CD=x,AD=BC=2, 由翻折得AB=AF=x,∠AFE=∠B=LBAF=90°， ·四边形ABEF是正方形， 同理，四边形DFHG是正方形， 2/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE AB=x,DF=DG=2-x, .CE=2-x,CG=x-2-x=2x-2, :矩形HECG∽矩形ABCD, CCG,即2-x=2x-2 BC CD 解得：x=√5-1（负值舍去）， 经检验，x=√5-1是原方程的解， CD=V5-1. 故选：C 5.如图，己知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE,AC相交于点F,过F作AD的 平行线交AB于点G,若FG=2,则AE的长是() E G A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【详解】解：：E是AD的中点， E-40 :四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC, AE-IBC. 2 :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, AD∥FG, .AD∥FG∥BC, ∴.△AFGn△ACB,ABFG∽△BEA, .AG=FG BG_FG AB BC'AB AE 3/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2= AG BG=1 解得：BC=6, .AE=BC=3 故选：B. 6.如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光 位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，现 测得AG=1.2米，CD=5米，AC=5.4米，CF=1.5米，已知图中点A,B,C,D在同一水平面上（物理学中 入射角等于反射角，即LABG=∠DBE),ED⊥AD,FC⊥AD,GA⊥AD,则ED的长为() E 墙 木板 、B 地面D 平面镜A A.6米 B.5米 C.4米 D.3米 【答案】C 【分析】 【详解】解： ∠ABG=∠DBE,∠BAG=∠BCF=90°， △ABG∽△CBF, :.AG:CF=AB:CB. 设AB=x米，则BC=5.4-x米. AG=1.2米，CF=1.5米， 1.2:1.5=x:5.4-x, 整理得1.5x=6.48-1.2x, 解得x=2.4, BC=5.4-2.4=3(米)， :BD=5+3=8(米)， :∠ABG=∠DBE,∠BAG=∠ADE=90°， .△ABG∽△DBE, :AG DE=AB:BD, 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1.2:DE=2.4:8, DE=4米 故选：C 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7亲号子则片产的值是一 【答案】月 【分析】 【详解】解：a+b-9+2-8+1, 因为“=3 b 令所以原式=。+18 1-5 故答案为：5 8 8.如图，在口ABCD中，F是AD上一点，且AF=3DF,BF与CD的延长线交点E.若△DEF的面积为I, 则口ABCD的面积是」 B 【答案】24 【分析】 【详解】解：解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AB∥CD,AD∥BC, .△ABF∽△DEF,△DEF∽△CEB, AF 2 S.ACE= BC SADEF DE S.DEF DF :AF=3DF,△DEF的面积为1， ·SABF=9,AD=BC=4DF, .S.cBE=16, ABCD的面积是S.cBE-S.DEF+SABr=16-1+9=24. 故答案为：24 5/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M为BC的中点，点N在CD上，且∠AMN=90,则 CN= B 【省】月 【详解】解：：矩形ABCD中，AB=3,BC=4, .∠B=∠C=90°， :点M为BC的中点， BM=MC-TBC=2 :∠AMN=90, .∠AMB+∠NMC=90, 又：∠AMB+∠BAM=90, .∠BAM=∠NMC, .ABM -AMCN AB BM ·McCN' :AB=3,MC=2,BM=2, 品 Cw= 3, 故答案为号 10.照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数 及实地测量测算某不可及景物的高度.如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机 摄像头到成像面的距离)CE为50mm,测得像高（成像面上成像的高度）MN为35mm.若测得物距（景 物到相机摄像头的距离)DE为100m,则景物AB的高度为 m 6/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】70 【分析】 【详解】解：由题意得：MN∥AB, .△MNE∽△BAE,△MCE∽△BDE，, MN ME MC CE ME AB BE' BD DE BE MN CE ABDE' :调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）CE为50mm,测得像高（成像面上成像的高度）MN为 35mm,若测得物距（景物到相机摄像头的距离）DE为100m, 35=50 AB100 .AB=70m, 故答案为：70. 11.如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的 线的交点都是黄金分割点).若正方形习字格的边长为lcm,则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为 cm2,(结果保留根号) 左线右线 上线 黄金分割 下线 【答案】(9-4V5 【详解】解：如图：点C、D是线段AB的两个黄金分割点， 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 左线右线 上线 p黄金盼割 下线 --- C B :正方形习字格的边长为lcm, .AC=BD= 5-x1-5-1。 -cm, 2 c0-0(0-40c-51{5'5-小m,年小正方形的边长5-m, “四个黄金分割点组成的小正方形的面积为(5-2=5+4-45-(9-4v5)cm2, 故答案为：(9-4v5). 12.如图，在菱形ABCD中，LABC=60°，AB=a,点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重 合)，分别连接AE、EC、AF、CF,若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似菱形，那么菱形AECF的 边长是」 ·（用a的代数式表示). A C 【路案】 3 【详解】解：连接AC, D C :四边形ABCD为菱形，LABC=60°，AB=a, .∠1=三×60°=30°，BD1AC, 2 8/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40=B 1 2 :菱形AECF与菱形ABCD相似， ∠EAF=LABC=60°， 1 ∠2=二×60°=30°， 2 :E02M5, 根据勾股定理可得：AO2+E02=AE2, 月(=，解得：E= -a. 3 故答案为： -a 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多 边形对应角相等。 13.如图，在ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC,则AC的 长为 B 【答案】3 【详解】证明：过点D作DM∥AB交AC于点M· :DM∥AB, D ∠BAD=∠ADM=75; 又：∠ADM+∠AMD+∠DAM=180°，∠CAD=30 .∠AMD=75°， ·∠AMD=∠ADM, ·.AD=AM=2. :DM∥AB, 9/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM BD AC BC 又：BD=2DC, :BD-AM=2 BC AC 3 :AC=3. 故答案为：3. 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OB,CD的中点，连接EF交 AC于点G.若AB=4,∠ABC=60°，则GF的长为 0 A B 【答案】 2 【分析】 【详解】解：如图，过点F作FH⊥BD于点H, D C E A B :四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠0DC=∠0BC=30°，AB=BC=CD=AD=4,∠D0C=LB0C=90°， :F为CD的中点， .DF=-CD=2, 2 :.FH=IDF=1, 2 1 .OC=5CD=2, 由勾股定理得DH=√DF2-FH=√5，OD=VCD2-OC2=2√3， :OH=OD-DH=√5， 10/26 第6章 图形的相似（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小得到，使，则点E的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点处，手电筒的光从平面镜上的点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，现测得米，米，米，米，已知图中点在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即），，，则的长为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．若，则的值是 ． 8．如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是 ． 9．如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则 ． 10．照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为．若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为，则景物的高度为 m． 11．如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为 ．（结果保留根号） 12．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 13．如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ． 14．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接交于点．若，，则的长为 ． 15．如图，内接于，，为弧上一点，连结，交于点E，连结，若，，则的长为 ． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图，四边形四边形，，，，，，，． (1)______ ； (2)求边，的长度． 18．（8分）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 19．（8分）如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点B处竖立一根长的标杆，并调整自己的位置站在点D处，此时他的眼睛C，标杆顶点A和大楼顶点M三点共线．已知点D，B，N在同一水平线上，，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 20．（8分）如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，位似比为； (3)与的周长比是________． 22．（8分）如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若P为中点，且，，求长． 23．（8分）如图，已知中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，圆心点在上，且圆经过，两点与交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)在（1）的条件下，连接．若，则______．（如需画草图，请使用备用图） 24．（8分）如图，在菱形中，点、点分别在边、上，、的交点为点，且满足． (1)求证：； (2)求证：． 25．（8分）【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 26．（8分）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 27．（10分）如图，在四边形中，，点在边上，点在边上，、相交于点，连接，且，． (1)求证：； (2)若． ①求证：点是的中点； ②求边的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $