精品解析：湖北省蕲春县第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学周测七（9.22）

高三数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为8 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令. （1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由; （2）求面积的最小值. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 17. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 18. 已知函数. （1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解. （2）若函数，，，，求m的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案. 【详解】. 故选：C 2. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，求出集合，代入公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，共4个元素， 所以集合真子集的个数为. 故选：D 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 4. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 5. 已知，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得，，然后根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 或， 因为，所以， 所以的值为或. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用单调性并结合零点存在性定理确定的大小关系，再利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】令函数， 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 同理函数在R上单调递增，而，， 则；，，则， 即，所以. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断A；令，求出对应最小的10个正零点的和可判断B；利用周期定义可判断C；求出，求出在处的切线方程可判断D． 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，令，得，即， 所以或或或， 即，当时，对应最小的10个正零点为 ， 它们的和为，故B正确； 对于C，由于，故C正确； 对于D，，，，所以在处的切线方程为，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若，则的面积为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式依次判断各选项. 【详解】对于A，由，可得，， 所以，故A正确； 对于B，由于，结合正弦定理可得， 即，所以，故B正确； 对于C，由，则， ，解得，故C错误； 对于D，由，得，解得， 则，由正弦定理得，解得， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A先求，再将问题转化为的解集为，利用韦达定理即可；先研究的单调性，得出即可判断BC选项；D先求证，再利用倒序相加法即可求得. 【详解】由得，，则的定义域为， 又当且仅当时，导函数成立， 则的解集为， 即的解集为， 则，，，则，故A正确； ， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则，故B正确；C错误； 因，则， 则， 记， 则， 两式相加得， 则，记，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值． 【详解】由，得， 函数在处有极小值，所以， 解得或， 当时，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以是的极小值，符合题意. 当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是的极大值，不符合题意. 综上所述，实数a的值为. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，等差数列下标和的性质可得，利用等比数列的通项公式结合求出公比，继而可得，再根据对数运算即可求解. 【详解】设数列的公比为， 由可得，所以， 故，则， 故， 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令. （1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由; （2）求面积的最小值. 【答案】（1）是正三角形，； （2）. 【解析】 【分析】（1）过作，过作，利用直角三角形边角关系求出，则等边三角形建立方程求解即得. （2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 过作，过作，垂足分别为，如图， 由，，得， 在中，，在中，， 由是正三角形，则，即， 整理得，又，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 而， 由，得，则当，即时，取最大值， 所以时，取得最小值. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1） 由已知得， 所以， 又，或， 因由可得，则得，不合题意， 故得； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换、同角三角函数关系式化简可得，结合角度关系即可得证； （2）根据正弦定理、余弦定理，结合二倍角公式化简求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由正弦定理，，即， 则，化简得， 由余弦定理， ， 故得，即， 因，故，解得，或（舍去）， 故. 17. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明：令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 18. 已知函数. （1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解. （2）若函数，，，，求m的取值范围. 【答案】（1）证明：的定义域为. . 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明； （2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 【答案】（1）； （2）； （3）由（2）可知，当时，， 设， 则； 令， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以． 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则 . 【解析】 【分析】（1）直接求导，再令，解出即可； （2）求导得，注意，再利用必要性探路得到的范围，最后证明其充分性成立即可； （3）根据（2）结论得，再设新函数，求导得当时，，最后放缩累加求和即可. 【小问1详解】 当时，，对求导得 ， 令，即，解得； 故函数的单调递增区间为， 【小问2详解】 对求导得， 注意到，可得，解得， 当时，，可得在区间上单调递减， 所以； 当时，存在且， 当时，，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件矛盾； 当时，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件矛盾； 故实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $