精品解析：广东省惠州市华罗庚中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

惠州市华罗庚中学2025-2026学年高二第一学期11月质量期中检测 数 学 试 题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点.写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.选对得5分，选错得0分. 1. 若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面的法向量为，根据得到之间的等量关系，分别令与即可求解. 【详解】设平面的法向量为, 则, 令，可得，故为平面的一个法向量. 令，可得，故为平面的一个法向量. 故选:C. 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内点的特征列方程求得，然后利用空间距离公式求解即可. 【详解】因为点在平面内，所以，即， 所以． 故选：B. 3. 若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再利用点在直线上即可判断得解. 【详解】直线的斜率，直线方程为，即， 由点共线，得在直线上，所以. 故选：A 4. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 6. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 7. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B. 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ） A. 焦点在轴上的双曲线 B. 圆心为坐标原点的圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 长轴长为的椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案. 【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，无解，选项A错误； 对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆， 则，解得，选项B正确； 对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，所以或，选项C正确； 对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆， 则，， 则或， 无解，选项D错误. 故选：BC. 10. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面，所成锐角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论. 【详解】对于A：若，则直线平面或在平面内，故选项A不正确； 对于B：若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项B正确； 对于C：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若，则直线与平面所成角的大小为，故选项C正确； 对于D：若，则平面，所成锐角的大小为，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________ . 【答案】## 【解析】 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 13. 已知圆，当圆的面积最小时，直线被圆截得的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆面积最小时的圆心和半径，再根据半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理即可求得弦长. 【详解】 圆即， 故当圆的面积最小时，即圆的半径最小，即， 此时圆方程为，圆心为半径为， 圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的面积、直线与圆的位置关系.由圆的方程求出面积最小时的圆，以及弦长的求法，利用半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理，是基础题. 14. 已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M：，则，圆心为，半径， 如图，连接，四边形的面积为，要使最小，则需四边形的面积最小， 即只需的面积最小，因为，所以只需 最小，又， 所以只需直线上的动点到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时 所以直线的方程为由，解得，所以， 所以点四点共圆，所以以点PM为直径的圆的方程为，即，联立两个圆的方程得直线AB的方程为：. 故答案为：. 【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两点. （1）求直线AB的方程; （2）直线与直线交于点C， 求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据直线的点斜式方程列出即可； （2）根据两点之间距离公式计算的长，再根据两直线相交得到交点，进而利用点到直线距离公式计算点到直线的距离，最后计算三角形面积. 【小问1详解】 因为两点，所以直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程可得直线AB的方程为，即 【小问2详解】 由题可知， 因为两直线相交于点C，联立，解得，所以点， 点到直线：的距离为， 所以△ABC的面积为 16. 如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. （1）求证： 平面EDB； （2）求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于，连接，由正方形的性质可知为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得出线线平行，结合线面平行的判定定理可证结论； （2）建立坐标系，利用垂直关系求出的位置，求法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，. 设，则， ， 因为，所以，即， 解得，所以. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，易知平面的一个法向量为， 设平面DEF与平面ABCD的夹角为，则. 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为8，面积为 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ， ， 椭圆 【小问2详解】 根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 19. 已知动圆与圆内切，与圆外切. （1）求圆的圆心的轨迹方程； （2）曲线与轴交于，两点，是上除点和以外一点，试判断直线，的斜率之积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）已知直线恒过定点， 且与相交于，两点， 若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系得到为定值，再根据椭圆的定义得到方程； （2）设点，根据是上除点和以外一点，得到的关系，再计算直线，的斜率之积，判断是否为定值即可； （3）设点，根据得到，联立椭圆于直线方程，利用韦达定理表示出，再计算求出范围即可. 【小问1详解】 圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径； 圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径； 设，动圆的半径为， 因为动圆与圆内切，与圆外切， 所以， 所以， 所以的轨迹为椭圆，，所以， 所以圆的圆心的轨迹方程为：， 【小问2详解】 由题可知， 设点，显然直线，的斜率肯定存在， ， 又是上除点和以外一点，所以，即， 所以， 故直线，的斜率之积为定值，为； 【小问3详解】 因为直线恒过定点， 所以，设点， 由得，即， 联立，消去得：， 由韦达定理：， ， 因为，所以，所以，，， 所以， 故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市华罗庚中学2025-2026学年高二第一学期11月质量期中检测 数 学 试 题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点.写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.选对得5分，选错得0分. 1. 若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 7. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ） A. 焦点在轴上的双曲线 B. 圆心为坐标原点的圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 长轴长为的椭圆 10. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面，所成锐角的大小为 11. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________ . 13. 已知圆，当圆的面积最小时，直线被圆截得的弦长为__________． 14. 已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两点. （1）求直线AB的方程; （2）直线与直线交于点C， 求△ABC的面积. 16. 如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. （1）求证： 平面EDB； （2）求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 19. 已知动圆与圆内切，与圆外切. （1）求圆的圆心的轨迹方程； （2）曲线与轴交于，两点，是上除点和以外一点，试判断直线，的斜率之积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）已知直线恒过定点， 且与相交于，两点， 若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $