精品解析：山东省枣庄市薛城区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

2025～2026学年度高一年级第一学期期中质量检测 数学试题 2025.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，认真核对条形码上姓名考号等信息无误后将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，考生用0.5毫米黑色签字笔按答题要求将答案、计算步骤、过程填写在答题卡相应位置上，写在试卷上无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为： ，； 故选：C. 2. 下列哪一组中的函数与是同一个函数（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，从而判断是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故A不符合； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故B不符合； 对于C，的定义域均为，又，故函数与是同一个函数，故C符合； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故D不符合. 故选：C. 3. 如图①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 4. 已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断的单调性，然后由奇函数得到，最后解不等式即可. 【详解】当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又因为为奇函数且定义域为，所以， 所以不等式，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除A、C选项， 当时，，所以B项符合题意. 故选：B. 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的定义域为，再由求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以的定义域为， 则函数有意义， 有，得，得， 则函数的定义域为：， 故选：D 7. 函数f（x）＝的单调递减区间是（ ） A. B. C. [1,4] D. [－2,1] 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 8. 若，记，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 当时，在上单调递减，， 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐个验证各选项的条件下结论是否成立. 【详解】对于A，时，满足，此时，A选项错误； 对于B，且，则，即，B选项正确； 对于C，时，有，又，所以，C选项正确； 对于D，，则，所以，D选项错误. 故选：BC. 10. 甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，甲每一小时以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑．其中，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意分别计算出，，的值，利用基本不等式可以判断出A，B；代入计算化简对于C，D验证即可. 【详解】由题意知： 所以,, , 由基本不等式知， 所以, 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故B正确，A错误； ，则D正确； 又, , 取,此时，故C错误， 故选：BD 11. 已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，所以，所以或， 由有，，解得，即，故A正确； 所以有3个不等的实根， 作出的函数图像： 由图可知：，故B正确；，故C正确；由， ，所以， 由，所以，故D错误， 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果. 【详解】由，得，则或， 当时，得，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 当时，解得或， 若，则，，合题意； 若，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 综上，. 故答案为：2. 13. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式以及一元二次不等式结合题目条件即可得解. 【详解】因为，，所以由基本不等式可得， 即，令，则不等式变为， 解得或（舍去），即， 所以，即的最小值为9. 故答案为：9. 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算可得，令，求解，可得的所有可能取值，再分类讨论，求出所有符合要求的的值即可得. 【详解】， 令，则令， 则当时，则，解得， 由，故舍去，故； 当时，，解得或； 即有三解，分别为、与； 而， 由时，， 则当时，与无解， 由时，， 则当时，无解； 当，令，即，解得或； 当时，令，即，解得； 令，即，解得， 由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当m＝2时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）直接代入求出两集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为集合A是集合B的真子集，从而得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 把代入B得，解得， 故集合，或 又集合， 故， 【小问2详解】 ，且，得集合， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件，故集合A是集合B的真子集， 则有，解得，故实数m的取值范围是． 16. 已知函数， （1）若不等式的解集为，求实数b，c的值； （2）若，解关于x的不等式； （3）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）13． 【解析】 【分析】（1）由2和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）通过讨论的大小关系，即可求解； （3）由，得到，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以2和3是方程的两个根， ； 【小问2详解】 若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 【小问3详解】 因为恒成立， 即对恒成立 所以，即， 所以， 即， 所以5b－2c的最小值为13． 17. 设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知函数在是下凸函数（即凹函数）．求证：； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分别求出和，两个式子作差代入整理即可证明结论； （2）综合幂函数在内是凹函数及在内是增函数，即可证明结论. 【详解】因为， ， 且， 所以，当且仅当时，等号成立 即不等式得证 （2）因为幂函数在内是凹函数． 所以，即，当且仅当a=b时，等号成立． 又因为幂函数在内是增函数， 所以．当且仅当a=b时，等号成立． 同理可证：，当且仅当b=c时，等号成立． ，当且仅当c=a时，等号成立． 三式相加得：， 又a＋b＋c＞0， 所以当且仅当a=b=c时，等号成立． 不等式得证． 18. 悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，如果令则为双曲正切函数．（注：常数是自然对数的底数，，且） （1）判断双曲正切函数的奇偶性和单调性，并用定义证明； （2）若关于x的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） 奇函数，双曲正切函数是R上的增函数，证明如下： 因为的定义域为R，且， 所以是奇函数. 因， 所以任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，，， 即，所以， 所以函数在R上是单调递增函数； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得，因此该函数是奇函数；求出，任取，且，计算，通过整理后讨论范围得到，从而得到函数是R上的增函数； （2）由是奇函数且在R上是单调递增函数得到，将不等式整理得到，令，易证在上单调递增，可知，又在上单调递减，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 根据奇函数性质可得， 又在R上是单调递增函数，， ，，因此， ， 即， 令， 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， 且，，所以， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， ． 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）如果已知函数，求函数的对称中心； （2）如果已知函数的定义域为R，且图象关于点中心对称，求的值； （3）如果已知函数（）的图象关于点中心对称． （i）求实数的值； （ii）设函数，其中，若正数s，t满足下面的不等式，试证明：． 【答案】（1） （2） （3）（i） （ii）由（i）知， 所以， 所以， 所以关于中心对称 因为， 所以， 两式相加得，即，不等式得证. 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，即可求解； （2）根据函数的对称性可求出的值； （3）（i）根据函数对称性的定义得出，根据等式恒成立可得出关于、的方程组，结合可得结果；（ii）推导出，利用倒序相加法即可求证. 【小问1详解】 依题意令为奇函数，则， 即， 亦即，对任意都成立． 所以对任意都成立，所以， 于是函数的对称中心为 【小问2详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. 【小问3详解】 （ⅰ）由题意可得为奇函数， 所以，则， 所以，有， 所以恒成立， 所以，解得或， 因为，所以，； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高一年级第一学期期中质量检测 数学试题 2025.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，认真核对条形码上姓名考号等信息无误后将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，考生用0.5毫米黑色签字笔按答题要求将答案、计算步骤、过程填写在答题卡相应位置上，写在试卷上无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列哪一组中的函数与是同一个函数（ ） A. ， B. C. D. 3. 如图①②③④中不属于函数的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 已知函数为奇函数，且对任意的，当时，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 函数f（x）＝的单调递减区间是（ ） A. B. C. [1,4] D. [－2,1] 8. 若，记，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，甲每一小时以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑．其中，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有四个实数根，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______ 13. 已知，，且，则的最小值为__________． 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当m＝2时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知函数， （1）若不等式的解集为，求实数b，c的值； （2）若，解关于x的不等式； （3）若对于恒成立，求的最小值． 17. 设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）. （1）已知函数在是下凸函数（即凹函数）．求证：； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：． 18. 悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，如果令则为双曲正切函数．（注：常数是自然对数的底数，，且） （1）判断双曲正切函数的奇偶性和单调性，并用定义证明； （2）若关于x的方程在上有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）如果已知函数，求函数的对称中心； （2）如果已知函数的定义域为R，且图象关于点中心对称，求的值； （3）如果已知函数（）的图象关于点中心对称． （i）求实数的值； （ii）设函数，其中，若正数s，t满足下面的不等式，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $