第5章一元一次方程提优测评卷B卷-2025-2026学年人教版数学七年级上学期压轴题考点考法专题集训及单元期中期末培优试卷

第5章一元一次方程提优测评卷B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025秋•琼海期末）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．±3 D．﹣3 2．（2025秋•临河区校级期末）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．9a＝6b+15 D． 3．（2024秋•安徽期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 4．（2023•阳东区二模）已知，每本练习本比每根水性笔便宜2元，小刚买了6本练习本和4根水性笔正好用去18元，设水性笔的单价为x元，下列方程正确的是（　　） A．6（x+2）+4x＝18 B．6（x﹣2）+4x＝18 C．6x+4（x+2）＝18 D．6x+4（x﹣2）＝18 5．（2025秋•江夏区校级期末）在今年的“双十一”活动中，中百超市对某种商品作调价，按原价的77折出售，此时商品的利润率是10%，该商品的进价为1400元，则此商品的原价是（　　） A．1680元 B．2000元 C．2160元 D．2320元 6．（2024•市中区模拟）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（　　） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300步才能追上 7．（2024秋•秦安县期末）如图，在探究“幻方”“幻圆”的活动课上，同学们感受到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使每一条直线上四个圆圈中的四个数之和都相等，部分数已填入圆圈中，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 8．（2024秋•西湖区校级期末）已知关于x的一元一次方程5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程5＝2019（5﹣y）﹣m的解为（　　） A．2013 B．﹣2013 C．2023 D．﹣2023 9．（2025秋•江北区校级期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．15 B．14 C．12 D．10 10．（2024秋•长沙期中）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2024次相遇是在（　　） A．AD边上 B．A点 C．BC边上 D．B点 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．） 11．（2023秋•嘉祥县月考）已知整数a使关于x的方程x1有整数解，则所有符合条件的a的值的和为 　 　 ． 12．（2024秋•吐鲁番市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 　 　 ． 13．（2024秋•吉林期末）若x＝﹣5是方程a﹣3x＝16的解，则a的值等于 　 　 ． 14．（2025秋•黄山期末）有一个一位数和一个两位数，其中两位数是一位数的3倍，如果将一位数写到两位数左边所得到的三位数比将两位数写到一位数的左边所得到的三位数的3倍还大90，则这个一位数是 　 　 ． 15．（2024秋•崇川区校级月考）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时，则 　 小时后水开始溢出水池． 16．（2024秋•海安市期中）关于x的方程kx﹣3＝2x的解是负整数，则整数k的值是　 　 ． 17．（2023秋•新抚区月考）已知关于x的绝对值方程2||x﹣1|﹣3|＝a只有三个解，则a＝　 　 ． 18．（2024•九龙坡区自主招生）一只船在河上开，某一时刻，船上的人掉了一顶草帽在水里，直到15分钟后才被发现，于是立刻开船回去追草帽，他追上草帽的时间是 　 　 分钟． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19．（2025秋•南岗区校级期中）计算下列各题： （1）4x+1＝6x+8； （2）3[2x﹣4（x﹣1）]＝5x+18； （3）． （4）． 20．当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程x（m+1）＝m（1+x）的解大2？ 21．（2024秋•泰兴市期中）已知当x＝﹣1时，代数式2mx3﹣3mx+6的值为7． （1）若关于y的方程2my+n＝11﹣ny﹣m的解为y＝2，求n的值； （2）在（1）的条件下，若规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[2.3]＝2，请在此规定下求[mn]的值． 22．（2024秋•临漳县期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，满足．如， （1）计算：2*（﹣1）； （2）若x*3＝5，求有理数x的值． 23．（2023秋•梁溪区期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． （1）该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 25．（2024秋•潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x0的解为x，而1； 2x0的解为x，而2． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b）y． 26．（2023秋•藁城区期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 27．（2025•渝中区校级开学）在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，轨道左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为30cm，B到右挡板的距离为60cm，A、B两球相距40cm，A、C两球相距50cm．现以轨道所在直线为数轴，假定A球在原点，其余各点表示的数如图2所示，解答下列问题： 碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． （1）①现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，则A球第二次到达B球所在位置时用了　40　 秒；． ②经过63秒时，A、B、C三球在数轴上所对应的数分是　 　 、　 　 、　 　 ； （2）如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒10cm，B球速度是每秒20cm，当A、B两球相撞时停止运动．试探究：在运动过程中各个时间段2AD+BE是否为定值？请说明理由．（AD表示数轴上点A，点D间的距离） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章一元一次方程提优测评卷B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B B B B C A B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025秋•琼海期末）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．±3 D．﹣3 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： |m|﹣2＝1且m﹣3≠0， ∴m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2．（2025秋•临河区校级期末）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．9a＝6b+15 D． 【分析】利用等式的基本性质判断得出即可． 【详解】解：A．把3a＝2b+5的两边都减5得3a﹣5＝2b，成立，故不符合题意； B．把3a＝2b+5的两边都加1得3a+1＝2b+6，成立，故不符合题意； C．把3a＝2b+5的两边都乘3得9a＝6b+15，成立，故不符合题意； D．当c＝0时，不成立，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 3．（2024秋•安徽期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 【分析】把x＝4代入方程3x﹣1＝2x+k求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：由条件可知：3×4﹣1＝2×4+k， 解得k＝3， 原方程为：﹣3x﹣1＝2x+3， 解这个方程，得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键． 4．（2023•阳东区二模）已知，每本练习本比每根水性笔便宜2元，小刚买了6本练习本和4根水性笔正好用去18元，设水性笔的单价为x元，下列方程正确的是（　　） A．6（x+2）+4x＝18 B．6（x﹣2）+4x＝18 C．6x+4（x+2）＝18 D．6x+4（x﹣2）＝18 【分析】等量关系为：6本练习本总价+4支水性笔总价钱＝18． 【详解】解：水性笔的单价为x元，那么练习本的单价为（x﹣2）元．则 6（x﹣2）+4x＝18， 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 5．（2025秋•江夏区校级期末）在今年的“双十一”活动中，中百超市对某种商品作调价，按原价的77折出售，此时商品的利润率是10%，该商品的进价为1400元，则此商品的原价是（　　） A．1680元 B．2000元 C．2160元 D．2320元 【分析】设此商品的原价是x元，则打77折后此商品的售价为77%x元，可列方程77%x＝1400+1400×10%，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设此商品的原价是x元， 根据题意得77%x＝1400+1400×10%， 解得x＝2000， ∴此商品的原价是2000元， 故选：B． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示该商品的售价是解题的关键． 6．（2024•市中区模拟）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（　　） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300步才能追上 【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走60， 依题意，得：60+100＝x． 解得：x＝250， 则走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步， 由题意得：x：600＝100：60， ∴x＝1000， ∴1000﹣600﹣100＝300， 则：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 7．（2024秋•秦安县期末）如图，在探究“幻方”“幻圆”的活动课上，同学们感受到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使每一条直线上四个圆圈中的四个数之和都相等，部分数已填入圆圈中，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】根据题中的规则，先求出每条线的数字的和，进行推理求解． 【详解】解：这12个数的和为：6， 这6条线上的数字和为：6×2＝12， ∴每条线上的数字和为：12÷6＝2， 根据图中的已有数字得如图所示：设其余数字为b，c，d， 则：， 且a，b，c，d四个数是﹣4，﹣3，0，6中的数， ∴d＝0，b＝6，c﹣34，a＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，找到题中的规则是解题的关键． 8．（2024秋•西湖区校级期末）已知关于x的一元一次方程5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程5＝2019（5﹣y）﹣m的解为（　　） A．2013 B．﹣2013 C．2023 D．﹣2023 【分析】观察关于x的一元一次方程5＝2019x+m和关于y的一元一次方程5＝2019（5﹣y）﹣m的结构可知：5﹣y＝2018． 【详解】解：由5＝2019（5﹣y）﹣m得到：5＝2019（y﹣5）+m． ∵关于x的一元一次方程5＝2019x+m的解为x＝2018， ∴y﹣5＝2018． ∴y＝2023． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 9．（2025秋•江北区校级期中）如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则a+b的值为（　　） A．15 B．14 C．12 D．10 【分析】先将方程的根代入原方程并化简得（12﹣b）k＝6﹣2a，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得12﹣b＝0，6﹣2a＝0，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将x＝2，代入原方程并化简得（12﹣b）k＝6﹣2a， ∴12﹣b＝0，6﹣2a＝0， ∴a＝3，b＝12， ∴a+b＝3+12＝15． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 10．（2024秋•长沙期中）如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2024次相遇是在（　　） A．AD边上 B．A点 C．BC边上 D．B点 【分析】设乙的速度为x，需要t秒第2024次相遇，根据路程＝速度×时间，即可得到关于t的一元一次方程，解得t的值，可得xt的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设乙的速度为x，则甲的速度为2x，正方形的边长为6，需要t秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为12，其余（2024﹣1）次相遇，每次相遇的路程和为24， 由题意：（x+2x）t＝（2024﹣1）×24+12， 解得：tx＝16188， 而16188＝24×674+12， 表明甲与乙第2024次相遇点为运动674圈加12，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了A点处． 故选：B． 【点睛】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；找到等量关系是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．） 11．（2023秋•嘉祥县月考）已知整数a使关于x的方程x1有整数解，则所有符合条件的a的值的和为 　﹣8　 ． 【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和a为整数得出2+a＝﹣2或﹣1或1或2，求出a的值，再求出和即可求解． 【详解】解：去分母得，4x﹣（2﹣ax）＝2（x+2）﹣4， 去括号得，4x﹣2+ax＝2x+4﹣4， 移项得，4x+ax﹣2x＝4﹣4+2， 合并同类项得，（2+a）x＝2， 系数化为1得，， ∵方程有整数解且a为整数， ∴2+a＝﹣2或﹣1或1或2， ∴a＝﹣4或﹣3或﹣1或0， ∴所有符合条件的a的值的和＝﹣4+（﹣3）+（﹣1）+0＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 12．（2024秋•吐鲁番市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 　﹣3　 ． 【分析】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，依此即可求解． 【详解】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为x﹣1，如图所示： 观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6六个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足， 则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0， 解得a＝0或a＝﹣3， 当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去）， 当a＝﹣3时，符合题意． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，难度较大． 13．（2024秋•吉林期末）若x＝﹣5是方程a﹣3x＝16的解，则a的值等于 　1　 ． 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝﹣5代入方程a﹣3x＝16中即可求出a的值． 【详解】解：把x＝﹣5代入方程a﹣3x＝16中，得a﹣3×（﹣5）＝16， 解得a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解的定义是解题的关键． 14．（2025秋•黄山期末）有一个一位数和一个两位数，其中两位数是一位数的3倍，如果将一位数写到两位数左边所得到的三位数比将两位数写到一位数的左边所得到的三位数的3倍还大90，则这个一位数是 　9　 ． 【分析】设一位数为x，则两位数为3x，根据两个新三位数关系列方程即可得到答案． 【详解】解：设一位数为x，则两位数为3x，由题意可得， 100x+3x＝3（3x×10+x）+90， 解得x＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数位关系写出新数字及找到等量关系式． 15．（2024秋•崇川区校级月考）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时，则 　20.75　 小时后水开始溢出水池． 【分析】先计算出第一次甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水，然后再计算后面的几次，直到发现这一次结束后再加下一次中先开甲多长时间后水池内水的体积超过1即可． 【详解】解：由题意可得， 打开甲水管1小时后池内的水为：， 打开乙水管1小时后池内的水为：， 打开丙水管1小时后池内的水为：， 打开丁水管1小时后池内的水为：， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第四次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第五次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 故第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：1， 设第6次，甲打开x小时，水池内的水正好满了， x＝1， 解得x＝0.75， ∵每次需要4小时， ∴水开始溢出水池的时间为：4×5+0.75＝20+0.75＝20.75（小时）， 故答案为：20.75． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 16．（2024秋•海安市期中）关于x的方程kx﹣3＝2x的解是负整数，则整数k的值是　±1　 ． 【分析】方程变形后表示出x，根据x为负整数，确定出整数k的值即可． 【详解】解：根据题意可知kx﹣2x＝3， ， 由x为负整数，可得k的值为﹣1，1． 故答案为：±1． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是关键． 17．（2023秋•新抚区月考）已知关于x的绝对值方程2||x﹣1|﹣3|＝a只有三个解，则a＝　6　 ． 【分析】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当a＝0时，方程只有两个解，不符合题意，则a＞0，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵2||x﹣1|﹣3|＝a， ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当a＝0时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴a＞0， ∴， ∵关于x的绝对值方程2||x﹣1|﹣3|＝a只有三个解， ∴， ∴a＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 18．（2024•九龙坡区校级自主招生）一只船在河上开，某一时刻，船上的人掉了一顶草帽在水里，直到15分钟后才被发现，于是立刻开船回去追草帽，他追上草帽的时间是 　15　 分钟． 【分析】先设出船在静水中的速度为a，水流的速度为b，他追上草帽的时间是x分钟，然后分类分两种情况解答，分别列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为a，水流的速度为b，他追上草帽的时间是x分钟， 当船刚开始顺水航行时，b（15+x）+（a﹣b）x＝15（a+b）， 解得x＝15； 当船刚开始逆水航行时，b（15+x）+15（a﹣b）＝（a+b）x， 解得x＝15； 由上可得，他追上草帽的时间是15分钟， 故答案为：15． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用分类讨论的方法解答． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19．（2025秋•南岗区校级期中）计算下列各题： （1）4x+1＝6x+8； （2）3[2x﹣4（x﹣1）]＝5x+18； （3）． （4）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可 （2） 根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可 （3）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． （4）先根据分数的基本性质将方程组变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：（1）4x+1＝6x+8， 移项、合并同类项，得﹣2x＝7， 将系数化为1，得； （2）3[2x﹣4（x﹣1）]＝5x+18， 去中括号，得6x﹣12（x﹣1）＝5x+18， 去括号，得6x﹣12x+12＝5x+18， 移项、合并同类项，得﹣11x＝6， 将系数化为1，得； （3）， 去分母，得3（5y﹣1）＝2（2y﹣1）﹣6， 去括号，得15y﹣3＝4y﹣2﹣6， 移项、合并同类项，得11y＝﹣5， 将系数化为1，得． （4）， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得2（4x+2）＝5（5x﹣8）+10， 去括号，得8x+4＝25x﹣40+10， 移项、合并同类项，得﹣17x＝﹣34， 将系数化为1，得x＝2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 20．当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程x（m+1）＝m（1+x）的解大2？ 【分析】先求出各个方程的解，再列出含m的方程求解． 【详解】解：解5m+3x＝1+x得x． 解x（m+1）＝m（1+x）得x＝m． 由题意得m+2． 解得m． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含m的方程求解． 21．（2024秋•泰兴市期中）已知当x＝﹣1时，代数式2mx3﹣3mx+6的值为7． （1）若关于y的方程2my+n＝11﹣ny﹣m的解为y＝2，求n的值； （2）在（1）的条件下，若规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[2.3]＝2，请在此规定下求[mn]的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入代数式求出m的值，将m与y的值代入已知方程求出n的值即可； （2）把m与n的值代入原式中计算得到结果，利用题中的新定义计算即可． 【详解】解：（1）把x＝﹣1代入得：﹣2m+3m+6＝7， 解得：m＝1， 把m＝1，y＝2代入得：4+n＝10﹣2n， 解得：n＝2； （2）把m＝1，n＝2代入得：mn＝1+3.5＝4.5， 则[mn]＝[4.5]＝4． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（2017秋•临漳县期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，满足．如， （1）计算：2*（﹣1）； （2）若x*3＝5，求有理数x的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）分类讨论x的范围，利用题中的新定义化简已知等式，求出x的值即可． 【详解】解（1）根据题中的新定义得：2*（﹣1）＝2×2﹣（﹣1）＝5； （2）由题意及x*3＝5若x≥3 则 x*3＝2x﹣3＝5 得x＝4， 若x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5 得x＝11， 由x＜3，则x＝11（舍去）， 所以x＝4． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（2023秋•梁溪区期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． （1）该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是（2x﹣10）人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答； （2）首先设应分配y名工人生产螺丝，（44﹣y）名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量×2＝螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：（1）设该车间有男生x人，则女生人数是（2x﹣10）人，则 x+（2x﹣10）＝44． 解得x＝18 则2x﹣10＝26． 答：该车间有男生18人，女生人数是26人． （2）设应分配y名工人生产螺丝，（44﹣y）名工人生产螺母，由题意得： 120（44﹣y）＝50y×2 解得：y＝24， 44﹣y＝20 答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 25．（2024秋•潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x0的解为x，而1； 2x0的解为x，而2． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b）y． 【分析】（1）把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解； （2）根据“奇异方程”定义得到a（a﹣b）＝b，方程a（a﹣b）y+2＝（b）y可化为by+2＝（b）y，解方程即可求解． 【详解】解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下： 把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b， 若为“奇异方程”，则x＝b+1， ∵b≠b+1， ∴不符合“奇异方程”定义，故不存在； （2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程， ∴x＝b﹣a， ∴a（b﹣a）+b＝0， a（b﹣a）＝﹣b， a（a﹣b）＝b， ∴方程a（a﹣b）y+2＝（b）y可化为by+2＝（b）y， ∴by+2＝byy， 2y， 解得y＝4． 【点睛】考查了解一元一次方程，关键是熟悉若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”． 26．（2023秋•藁城区期末）为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲和300本乙共需要6400元．其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/本） m m﹣2 售价（元/本） 20 13 （1）求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ （2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ （3）第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了10%，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲书刊打了几折？ 【分析】（1）根据购买400本甲和300本乙共需要6400元列方程，解方程即可求解； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲书刊打了a折，分别求解800本书的进价和售价，根据800本书的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）由题意得400m+300（m﹣2）＝6400， 解得m＝10， ∴m﹣2＝10﹣2＝8（元）， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； （2）设甲类书刊购进x本，则乙类书刊购进（800﹣x）本， 由题意得（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750， 解得x＝350， ∴800﹣x＝800﹣350＝450（本）， 答：甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本； （3）设甲书刊打了a折， 800本书的进价为（350×10+450×8）×（1﹣10%）＝6390（元）， 800本书的售价为350×20450×13＝700a+5850， 800本书的利润为700a+5850﹣6390＝5750+10， 解得a＝9， 答：甲书刊打了9折． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 27．（2025•渝中区校级开学）在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，轨道左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为30cm，B到右挡板的距离为60cm，A、B两球相距40cm，A、C两球相距50cm．现以轨道所在直线为数轴，假定A球在原点，其余各点表示的数如图2所示，解答下列问题： 碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． （1）①现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，则A球第二次到达B球所在位置时用了　40　 秒；． ②经过63秒时，A、B、C三球在数轴上所对应的数分是　﹣50　 、　40　 、　﹣70　 ； （2）如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒10cm，B球速度是每秒20cm，当A、B两球相撞时停止运动．试探究：在运动过程中各个时间段2AD+BE是否为定值？请说明理由．（AD表示数轴上点A，点D间的距离） 【分析】（1）①根据A球、B球和C球的运动速度相同，可得A球第二次到达B球所在位置所需要的时间为：，由路程＝速度×时间进行计算； ②易得出AC的距离，根据点A为原点，可得点C表示的数；进而根据AE之间的距离可得点E表示的数； （2）设经过t秒时间A、B两球相撞，根据行驶的路程列出方程计算，进一步即可求解． 【详解】解：（1）①由钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动可得： A球从原点出发，第一次到达B球位置经过的路程为40cm， 第二次到达B球位置时，A球需要先撞到C球，再从C球位置运动到B球位置， 最后从B球位置运动到C球位置，再从C球位置运动到B球位置， 总路程为40+60+60+40+50+30+30+50+40＝400cm， 已知A球速度为每秒10cm， 则时间为400÷10＝40秒； 故答案为：40秒； ②A球第二次到达B球所在位置用了40秒，之后A球继续运动，还剩下的时间为63﹣40＝23秒， ∴A球运动的路程为23×10＝230cm， 由于A球从B球位置向右运动，会先撞到右挡板，右挡板到B球的距离为60cm， ∴A球撞到右挡板后反弹，反弹后又运动了230﹣60＝170cm， ∴A球对应的数为40+60﹣170＝﹣50， ∵[63﹣40﹣（60+60）÷10]×10＝130（cm）， 且130﹣40﹣50﹣30＝10（cm）， ∴50+30﹣10＝70（cm）， 故答案为：﹣50；40；﹣70； （2）当运动时间t满足3＜t≤5时，2AD+BE是定值， 当t满足0＜t≤3或5＜t≤10.5时，2AD+BE不是定值， 设运动时间为t秒， 当0＜t≤3时，点A表示的数为﹣10t，点B表示的数为40+20t， ∴AD＝﹣10t﹣（﹣50﹣30）＝（80﹣10t）cm， BE＝100﹣（40+20t）＝（60﹣20t）cm， ∴2AD+BE＝160﹣20t+60﹣20t＝（220﹣40t）cm，不是定值； 当3＜t≤5时，点A表示的数为﹣10t，点B表示的数为100﹣20（t﹣3）＝160﹣20t， ∴AD＝﹣10t﹣（﹣50﹣30）＝（80﹣10t）cm， BE＝100﹣（160﹣20t）＝（20t﹣60）cm， ∴2AD+BE＝160﹣20t+20t﹣60＝100（cm），100是定值； 时，此时点A表示的数为﹣50，点B表示的数为160﹣20t， ∴AD＝30cm，BE＝（20t﹣60）cm， ∴2AD+BE＝60+20t﹣60＝（20t）cm，20t与t有关，所以不是定值； ∴t满足3＜t≤5时，2AD+BE是定值，当t满足0＜t≤3或5＜t≤10.5时，2AD+BE不是定值． 【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是要求一个点所表示的数，首先要分析它的绝对值，再分析它的符号． 1 学科网（北京）股份有限公司 $