第17讲 平行线的定义与判定讲义（知识清单+3易错+9必考题型）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

第17讲 平行线的定义与判定 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆两个角的位置关系导致出错 易错点二 几何题无图易忘记分类讨论 易错点三 误认为只要是同位角、内错角、同旁内角就会存在数量关系 题型方法 题型一 平行的定义 题型二 平行线的画法 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 内错角相等，两直线平行 题型五 内错角相等，两直线平行 题型六 同旁内角互补，两直线平行 题型七 两直线平行，同位角相等 题型八 一两直线平行，内错角相等 题型九 两直线平行，同旁内角互补 知识清单 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 易错分析 【易错点一】混淆两个角的位置关系导致出错 （22-23七年级下·江苏苏州·期中）在四边形中，，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】由平行线的性质得到，再等量代换得到，由此即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键 【举一反三】【变式1】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．判断BE、DF是否平行，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据角平分线的计算得出∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，再由等角的余角相等得出∠AFD=∠ABE，利用平行线的判定即可证明． 【详解】解：BEDF，理由为： 四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ADC＋∠ABC=180°，∠ADF＋∠AFD=90°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE＋∠ADF=90°， ∵∠AFD＋∠ADF=90°， ∴∠AFD=∠ABE， ∴BEDF． 【点睛】题目主要考查平行线的判定定理及角平分线的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得． 【详解】解：，理由如下： 分别平分， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 【变式3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等； （2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：与平行，理由见解析； ， ， ， ， ； （2）解：由三角板可知，， ， 平分， ， ， ． 【易错点二】几何题无图易忘记分类讨论 【例2】若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据题意先证明若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，可得或，即可求解． 【详解】解：如图1，， ∴， ∴； 如图2，， ∴， ∴； ∴若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 即或． ∵比的2倍少， ∴， ∴或． 故选C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和垂直的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意得，再根据在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，因此有以下两种情况：①当为锐角时，②当为钝角时，依题意画出图形，根据平行线的性质及垂直的定义即可得出的度数． 【详解】解：比的3倍少， ， 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直， 有以下两种情况： ①当为锐角时，如图1所示：，， ， ， ， 解得：， ②当为钝角时，如图2所示：，， ， ， ， ， 解得：． 综上所述：的度数为或． 故选：C 【变式2】若的两边分别与的两边平行，且比的2倍少，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，分两角相等和两角互补，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：解：如图1，当， ∴， ∴， 如图2，由平行线的性质可得： ， ∴， 设的度数为，则的度数为， 当时，即， 解得， ， 当时，即， 解得， ， 的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（21-22七年级下·江苏南通·阶段练习）同－平面内，∠1的两边平行于∠2的两边，且∠1比∠2的倍少70°，则∠1的度数为 【答案】140°或80° 【分析】分图1和图2两种情况，利用平行线的性质进行讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，由题意得， ∴∠BCD=∠2，∠BCD=∠1， ∴∠1=∠2， ∵∠1比∠2的倍少70°， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，由题意得， ∴∠AED+∠2=180°，∠AED=∠1， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1比∠2的倍少70°， ∴， ∴， ∴； ∴∠2=100°， ∴∠1=80°， 故答案为：140°或80°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【易错点三】误认为只要是同位角、内错角、同旁内角就会存在数量关系 【例3】两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（    ） A．150° B．30° C．30° 或150° D．无法确定 【答案】D 【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立． 【详解】解：因为两条直线的位置关系不明确， 所以无法判断∠1和∠2大小关系， 即∠2为不能确定． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质． 题型方法 【题型一】平行的定义 【例1】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的定义、垂直的定义及垂线的唯一性、对顶角的含义即可判断． 【详解】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故说法①错误；说法②正确；两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，当这两个相等的角是对顶角时则不垂直，故说法③错误；根据对顶角的定义知，说法④错误；故正确的说法有1个； 故选：A 【点睛】本题考查了两条直线的位置关系中的相关概念及性质，掌握这些概念是关键． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）下列说法正确的是（  ） A．具有公共顶点的两个角是对顶角 B．两点之间的距离就是线段 C．两点之间，线段最短 D．不相交的两条直线叫做平行线 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，线段的定义及性质，平行线的定义进行判断 【详解】解：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，故A选项不符合题意； 两点之间的距离就是线段的长度，故B选项不符合题意； 两点之间，线段最短，故C选项符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故D选项不符合题意 故选：C 【点睛】此题考查对顶角、线段定义及性质已经平行线的概念，正确理解概念是解题关键． 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故答案为：平行或相交． 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线上的点，如果，则点C为的中点．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据平面内，两条直线的位置关系可判断①，根据两点确定一条直线可判断②，根据对顶角的含义可判断③，根据中点的定义可判断④． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；故①符合题意． ②当三点共线时，经过三点能画出1条直线，三点不共线时，同时经过三点不能画直线，故②不符合题意． ③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，描述错误，相等的两个角不一定是对顶角，故③不符合题意． ④点C是直线上的点，当点C不在线段上时，也可以满足，但点C不是的中点．故④不符合题意． 故答案为①． 【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系，两点确定一条直线，对顶角的含义，线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握基本定义及性质． 【题型二】平行线的画法 【例2】（21-22七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上． (1)如图①作图：①过点画直线的平行线； ②过点画直线垂线，垂足为； (2)如图②作图：已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格图——作平行线，垂线；尺规作图——作一个角等于已知角：熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可， ②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据作一个角等于已知角的尺规作图的方法在下方作出即可． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，直线即为所求． （2）解：如图，射线为所求． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)；垂线段最短 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据线段的比较结合题意填空即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【题型三】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）如图和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的定义．根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：A．与是同位角，符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与不是同位角，不符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，被所截，那么（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形． 本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断． 【详解】解：A. 的两条边为和，的两条边为和，它们不是同位角，故此选项不符合题意； B. 和是直线和直线被直线所截产生的同位角，故此选项符合题意； C. 和是直线和直线被直线所截产生的同位角，故此选项不符合题意； D. 的两条边为和，的两条边为和，它们不是同旁内角，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 【答案】 / 同位 / / 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图． (1)当直线、被直线所截时，的内错角是 ； (2)的同位角是 ； (3)的同旁内角是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，解题的关键是熟练掌握定义，同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角；内错角：在截线两旁，被截线之内的两角；同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角． （1）根据内错角的定义进行解答即可； （2）根据同位角的定义进行解答即可； （3）根据同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）当直线、被直线所截时，的内错角是． 故答案为：． （2）的同位角是． 故答案为：． （3）的同旁内角是． 故答案为：． 【题型四】同位角相等，两直线平行 【例4】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 由作图可得， 根据同位角相等，两直线平行得到所作的为已知直线的平行线． 故选：A 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，平面内有三个点A、B、C． (1)读句画图： ①画线段、射线、直线； ②在线段上任取一点D（不与A、B重合）； ③作，作，垂足分别是E、F； (2)请判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线以及垂线的定义，平行线的判定等知识． （1）根据线段，射线，直线以及垂线的定义画出图形即可． （2）根据垂直的定义，平行线的判定一一判定即可． 【详解】（1）解：如图 （2）解： ，（垂直的定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）尺规作图：如图，作与相等的；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图，直线，被所截，，以下是证明的过程，请补充完成． 证明： （已知），（_____________） ________________（等量代换） （_____________________） 【答案】（1）见解析；（2）对顶角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据对顶角的性质和等量代换得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】解∶（1）如图，即为所求， （2）证明：（已知），（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行． 【题型五】内错角相等，两直线平行 【例5】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行进行判定即可． 【详解】解：A、，不能判定，本选项不符合题意； B、，不能判定，本选项不符合题意； C、，可以判定，不能判定，本选项不符合题意； D、，能判定，本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，①；②；③；④．以上条件能得出的是 ． 【答案】② 【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 本题考查了平行线的判定， 掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键． 【详解】①∵， ∴，不能证明； ②∵， ∴； ③∵， ∴不能证明； ④∵， ∴，不能证明； ∴能得到的条件是②． 故答案为：②． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角的定义、垂直的定义、平行线的判定等知识点，掌握同位角相等、两直线平行成为解题的关键． 由余角的定义可得，再根据等量代换以及角的和差可得，然后结合垂直的定义可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，． 求证：． 证明：（ ）， （    ）， 即 ． （    ）． 【答案】已知；等式的性质；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．先利用，得出，再利用“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，（已知）， （等式的性质）， 即． （内错角相等，两直线平行） 故答案为：已知；等式的性质；；内错角相等，两直线平行 【题型六】同旁内角互补，两直线平行 【例6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图所示，∠1是直角，量出下列角的度数后仍无法判断直线a与直线b平行的是(   ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐一分析测量每个角后能否判断直线与直线平行，平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解： A：是直角，与组成平角， ，仅知道的度数，无法依据平行线判断定理判断直线与直线是否平行； B：与是同位角，若量出，因为，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断； C：的对顶角与是同位角，的对顶角也是，若是出，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断； D：的对顶角与是同旁内角，的对顶角为，若量出，则的对顶角与互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断. 故选：A． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）如图，因为 ，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，结合图形找到同旁内角，即可求解． 【详解】解：因为，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在五边形中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，同旁内角互补两直线平行， 先根据多边形内角和定理求出内角和，进而求出，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：∵五边形的内角和等于， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由如下： ∵，， ∴， 即； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴， ∴． 【题型七】两直线平行，同位角相等 【例7】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角大于这个角 C．同位角相等 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义和定理．利用对顶角的定义、互补的定义、平行线的性质及等式的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、一个角的补角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如果，，那么，正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，，若，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等．根据平行线的性质和对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，先由点C是的中点得到，再由得到，即可通过“”证明． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型八】两直线平行，内错角相等 【例8】（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）结合如图，用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式：， ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式： ∵， ， 故答案为： 【变式2】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点、平分，如果，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形内角和定理推出，由角平分线定义，平行线的性质推出，由三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【变式3】（23-24七年级下·江苏南京·期中）完成下面的证明过程． 已知：如图，，求证：平分． 证明：（已知）， （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， 平分（ ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行同位角，内错角相等，通过等量代换可得，根据角平分线定义即可得出结论． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线定义）， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线定义． 【题型九】两直线平行，同旁内角互补 【例9】（22-23七年级下·江苏泰州·周测）如图，，且，则图中与相等的角共有（    ）个．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与相等的角共有5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据对顶角相等得出根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质 （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不相交的两条直线是平行线．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角性质及平行公理，需逐一分析各说法的准确性． 【详解】解：①同位角相等：仅在两条直线平行时成立，题目未说明此条件，故错误； ②对顶角相等：对顶角相等，无需附加条件，故正确； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行：需强调“直线外一点”，否则若点在直线上则无平行线，故错误； ④不相交的两条直线是平行线：缺少“同一平面内”的前提，可能为异面直线，故错误； 综上，仅②正确，正确个数为1， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定条件，熟知判定两直线平行的条件是解题的关键． 根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】A. ，能证明； B. ，不能证明； C. ，能证明； D. ，能证明 故选：B 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，直线a、b被直线所截，、为其中一组同旁内角的角平分线．若，则与的位置关系是（    ）    A．垂直 B．平行 C．相交 D．不确定 【答案】A 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵ ∴ ∵分别平分 ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点．掌握相关结论是解题关键． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定，故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①③④， 故答案为：①③④． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 ． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）填写下列推理中的空格． 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， ______（ ）， 又， ______（ ）， （ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等是解答此题的关键． 由得出，再由已知得出，然后即可求解． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 12．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）（1）如图，在的边的上方作，在射线上截取，连接；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，作一条线段等于已知线段，解题的关键是熟练掌握平行线的判定． （1）根据作一个角等于已知角的方法和作一条线段等于已知线段进行作图即可； （2）根据，，得出，根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，、、即为所求作的图形． （2）证明：∵，， 又∵，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 平行线的定义与判定 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆两个角的位置关系导致出错 易错点二 几何题无图易忘记分类讨论 易错点三 误认为只要是同位角、内错角、同旁内角就会存在数量关系 题型方法 题型一 平行的定义 题型二 平行线的画法 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 内错角相等，两直线平行 题型五 内错角相等，两直线平行 题型六 同旁内角互补，两直线平行 题型七 两直线平行，同位角相等 题型八 一两直线平行，内错角相等 题型九 两直线平行，同旁内角互补 知识清单 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 易错分析 【易错点一】混淆两个角的位置关系导致出错 （22-23七年级下·江苏苏州·期中）在四边形中，，判断与是否平行，并说明理由． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．判断BE、DF是否平行，并说明理由． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【易错点二】几何题无图易忘记分类讨论 【例2】若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（　　） A． B． C．或 D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式2】若的两边分别与的两边平行，且比的2倍少，则 ． 【变式3】（21-22七年级下·江苏南通·阶段练习）同－平面内，∠1的两边平行于∠2的两边，且∠1比∠2的倍少70°，则∠1的度数为 【易错点三】误认为只要是同位角、内错角、同旁内角就会存在数量关系 【例3】两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（    ） A．150° B．30° C．30° 或150° D．无法确定 题型方法 【题型一】平行的定义 【例1】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）下列说法正确的是（  ） A．具有公共顶点的两个角是对顶角 B．两点之间的距离就是线段 C．两点之间，线段最短 D．不相交的两条直线叫做平行线 【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线上的点，如果，则点C为的中点．其中正确的有 ．（填序号） 【题型二】平行线的画法 【例2】（21-22七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上． (1)如图①作图：①过点画直线的平行线； ②过点画直线垂线，垂足为； (2)如图②作图：已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． (3)点D是线段与网格线的交点，连结，，比较线段，，的大小： ，理由是 ． 【题型三】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（20-21七年级下·江苏徐州·期中）如图和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，被所截，那么（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 【变式3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图． (1)当直线、被直线所截时，的内错角是 ； (2)的同位角是 ； (3)的同旁内角是 ． 【题型四】同位角相等，两直线平行 【例4】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，平面内有三个点A、B、C． (1)读句画图： ①画线段、射线、直线； ②在线段上任取一点D（不与A、B重合）； ③作，作，垂足分别是E、F； (2)请判断与的关系，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）尺规作图：如图，作与相等的；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图，直线，被所截，，以下是证明的过程，请补充完成． 证明： （已知），（_____________） ________________（等量代换） （_____________________） 【题型五】内错角相等，两直线平行 【例5】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，①；②；③；④．以上条件能得出的是 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，． 求证：． 证明：（ ）， （    ）， 即 ． （    ）． 【题型六】同旁内角互补，两直线平行 【例6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图所示，∠1是直角，量出下列角的度数后仍无法判断直线a与直线b平行的是(   ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【举一反三】【变式1】（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）如图，因为 ，所以，理由是“同旁内角互补，两直线平行”． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在五边形中，．求证：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型七】两直线平行，同位角相等 【例7】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角大于这个角 C．同位角相等 D．如果，，那么 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，，若，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 【变式3】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，，，求的度数． 【题型八】两直线平行，内错角相等 【例8】（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）结合如图，用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式：， ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点、平分，如果，，求的度数．    【变式3】（23-24七年级下·江苏南京·期中）完成下面的证明过程． 已知：如图，，求证：平分． 证明：（已知）， （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， 平分（ ） 【题型九】两直线平行，同旁内角互补 【例9】（22-23七年级下·江苏泰州·周测）如图，，且，则图中与相等的角共有（    ）个．    A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 【变式3】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，于M，于N，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不相交的两条直线是平行线．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，直线a、b被直线所截，、为其中一组同旁内角的角平分线．若，则与的位置关系是（    ）    A．垂直 B．平行 C．相交 D．不确定 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 ． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）填写下列推理中的空格． 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， ______（ ）， 又， ______（ ）， （ ）． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 12．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）（1）如图，在的边的上方作，在射线上截取，连接；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $