专题6.4 平行线（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练

专题6.4 平行线 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角 2 知识点梳理02：平行线的概念与表示 2 知识点梳理03：平行线的判定方法 2 优选题型 考点讲练 4 考点1 平面内两直线的位置关系 4 考点2 用直尺、三角板画平行线 5 考点3 平行公理的应用 7 考点3 平行公理推论的应用 10 考点4 同位角相等两直线平行 13 考点5 内错角相等两直线平行 15 考点6 同旁内角互补两直线平行 18 考点7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 20 考点9 两直线平行同位角相等 22 考点10 两直线平行内错角相等 24 考点11 两直线平行同旁内角互补 26 考点12 根据平行线的性质探究角的关系 28 考点13 根据平行线的性质求角的度数 32 考点14 平行线的性质在生活中的应用 34 考点15 根据平行线判定与性质求角度 38 考点16 根据平行线判定与性质证明 41 考点17 求平行线间的距离 45 考点18 利用平行线间距离解决问题 47 考点19 同位角、内错角、同旁内角 50 中考真题 实战演练 53 难度分层 拔尖冲刺 57 基础夯实 57 培优拔高 67 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点梳理02：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点梳理03：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 易错点拨 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 考点1 平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）以下说法：①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行；②互相平行的两条直线没有公共点；③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交；④内错角的角平分线互相平行；其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平面内两直线的位置关系，平行线的性质；根据平面内两直线的位置关系，平行线的性质逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行,故①正确； ②互相平行的两条直线没有公共点，故②正确； ③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交，故③正确； ④内错角的角平分线不一定互相平行，故④错误； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 考点2 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【规范解答】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上． (1)如图①作图：①过点画直线的平行线； ②过点画直线垂线，垂足为； (2)如图②作图：已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了网格图——作平行线，垂线；尺规作图——作一个角等于已知角：熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可， ②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据作一个角等于已知角的尺规作图的方法在下方作出即可． 【规范解答】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，直线即为所求． （2）解：如图，射线为所求． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 考点3 平行公理的应用 3【典例精讲】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【规范解答】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作 ， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【规范解答】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 考点3 平行公理推论的应用 【典例精讲】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【规范解答】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式训练】如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的性质与判定，平行的传递性一一填空即可． 【规范解答】解：过C点作的平行线． 则，（两直线平行，内错角相等） 又因为，（已知） 所以（等量减等量差相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以．（平行于同一直线的两直线平行） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 考点4 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（21-22七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【规范解答】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 【变式训练】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是 填所有正确条件的序号 【答案】 【思路引导】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【规范解答】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 考点5 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）将转化为，依据“内错角相等两直线平行”，证得； （2）先根据平行线的性质得出，结合角平分线的意义得出，再证明，从而可得； （3）先求得，再利用平行线的性质求得，，然后结合角平分线的意义与，求得的大小． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分，平分，直线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又， ∴，， 又平分， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了角平分线的有关计算，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知直线，，过点C作交于点P，点M在直线上，如图1． (1)求证：平分． (2)点Q是线段上一动点，连接． ①当平分时，如图2，求证：； ②如图3，若点Q在线段上，且，点H在射线上，连接，当时，试判断此时与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【思路引导】（1）证明，结合，结合，可得答案； （2）①证明，结合角平分线可得，可得； ②证明，可得，，可得，，证明，从而可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点6 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【变式训练】（21-22七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，平分． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，如果，问平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平行线的性质可得：，再利用角平分线的定义可得：，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答； （2）利用同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 平分， ， ， ． ． （2），理由如下 ∵，， ， ． 考点7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定，垂线的定义；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； （1）根据垂直于同一直线的两直线平行，即可求解； （2）延长交于点P．根据垂直的定义与角平分线的定义可得，进而得出，根据同位角相等两直线平，即可得证． 【规范解答】解：（1）∵ ∴． （2），理由如下： 示意图如图，延长交于点P． 因为， 所以． 因为平分平分， 所以． 因为，所以， 所以． 【变式训练】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【思路引导】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【规范解答】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 考点9 两直线平行同位角相等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知B，E分别是，上的点，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2)与相等，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，解答的关键是找同位角、内错角和同旁内角证明直线平行及直线平行性质的运用． （1）根据内错角相等，，从而判定，再根据两直线平行同位角相等即可得证； （2）根据两直线平行内错角相等，得到，从而根据内错角相等两直线平行，得到，再根据两直线平行内错角相等即可得证． 【规范解答】（1）解：与相等． 理由：， ， ． （2）与相等． 理由：由（1）知， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【思路引导】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 考点10 两直线平行内错角相等 【典例精讲】（2024七年级下·山东临沂·竞赛）如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为 ． 【答案】/79度 【思路引导】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【规范解答】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 考点11 两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，当和满足 时，． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据对顶角相等得出根据平行线的性质得出即可求解． 【规范解答】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点12 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【规范解答】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 【变式训练】已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)不变 (3)；． 【思路引导】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定及性质即可解答； （2）点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在射线上时，②点P在射线上时，同（1）思路即可求解． 【规范解答】（1）证明：过点P作 ∵（已作） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴； 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． （2）解：如果点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得 ，关系不变． 故答案为：不变； （3）解：①当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即；； 当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即． 综上所述，当点P在A、B两点外侧运动时或． 故答案为：；． 考点13 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，，直线分别与、交于点、点，连接，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．见解析 (3)．见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，进而根据计算即可； （2）根据平行线的性质得到，进而可知，即可得到； （3）根据平行线的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，可知． 【规范解答】（1）， ． 又， ； （2）． 理由：， ． 又， ， ； （3）与的数量关系为：． 理由：， ，，． 平分，平分， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【规范解答】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 考点14 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【规范解答】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 考点15 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，即可判断①；由，得到，即可判断③；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平行线的性质求出的度数，即可判断②；由即可判断④． 【规范解答】解：， ，故①正确； ， ，故③不正确； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故④正确． ∴正确的有3个，不正确的有1个， 故选：B． 【变式训练】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【规范解答】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 考点16 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查角的和差，平行线的判定与性质； （1）根据，得到，即； （2）由得到，结合，，得到，即可证明； （3）由平分，得到，设，由，得到，代入后得，，由，得到，，则，整体代入计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由代入进行计算即可得到答案； （2）由角平分线的性质可得，，从而得到，由可得，由（1）可得，从而得到，最后由，即可得证； （3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，垂足为点， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴，                    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点17 求平行线间的距离 【典例精讲】（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 【变式训练】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【规范解答】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 考点18 利用平行线间距离解决问题 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【规范解答】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【变式训练】（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 考点19 同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【思路引导】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【规范解答】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 1．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【规范解答】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 2．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【规范解答】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【规范解答】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路引导】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 基础夯实 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查平行线的性质的应用，平行公理的推论，过点E作，则，由两直线平行、同旁内角互补，可得，，由此可解． 【规范解答】解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选A． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【规范解答】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸画平行线的（图①～④）： 有下列说法：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．其中，是小敏画平行线的依据的有 （填序号） 【答案】③④ 【思路引导】根据折叠可直接得到折痕与直线m之间的位置关系是垂直，折痕与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得，由可得；由，可得；由，可得． 【规范解答】 解：第一次折叠后，得到的折痕与直线m之间的位置关系是垂直； 将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图所示），得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是垂直； 同位角相等，两直线平行）， （内错角相等，两直线平行）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：． 【考点剖析】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【思路引导】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （2）根据两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 【规范解答】解：（1）若，则，理由是内错角相等，两直线平行． （2）若，则，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【规范解答】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，直线分别与直线、相交于点G、H，已知，平分交直线于点M，则的度数． 【答案】/65度 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的判定可得，根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 10．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)灯A旋转的时间为秒或秒； (3)和关系不会发生变化，． 【思路引导】本题考查邻补角，平行线的性质，一元一次方程的实际应用． （1）由邻补角互补，结合已知，即可得的度数； （2）分情况讨论，当时，由平行线的性质可得，即，求解即可；当时，由平行线的性质可得，即，求解即可； （3）由平行线的性质，结合角的和差关系，可得，，从而可得与的数量关系，根据数量关系是否与有关，即可判断与的数量关系是否发生变化． 【规范解答】（1）解：如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（秒），（秒） 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴灯A旋转的时间为秒或秒． （3）解：如图4，设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴和关系不会发生变化，． 培优拔高 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【规范解答】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【规范解答】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 3．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【规范解答】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 6.如图，，平分，，，．则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点分别作的平行线，，设，则，根据平行线的性质，分别求得，根据，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点分别作的平行线，， ∵平分， ∴ 设，则 ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线，点E，F在上，点M，N在上，已知平分平分，记的度数分别为，则的值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，垂线定义理解，根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，利用平行线的性质得到，，再利用即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 8．如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质、三角形内角和等于180度，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，得到，则，再根据等量代换得到，得出，即可得出结论． 【规范解答】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 10.已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证，则，再由即可求解． 【规范解答】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平行线 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角 2 知识点梳理02：平行线的概念与表示 2 知识点梳理03：平行线的判定方法 2 优选题型 考点讲练 4 考点1 平面内两直线的位置关系 4 考点2 用直尺、三角板画平行线 4 考点3 平行公理的应用 5 考点3 平行公理推论的应用 7 考点4 同位角相等两直线平行 8 考点5 内错角相等两直线平行 9 考点6 同旁内角互补两直线平行 10 考点7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 11 考点9 两直线平行同位角相等 12 考点10 两直线平行内错角相等 13 考点11 两直线平行同旁内角互补 13 考点12 根据平行线的性质探究角的关系 14 考点13 根据平行线的性质求角的度数 16 考点14 平行线的性质在生活中的应用 16 考点15 根据平行线判定与性质求角度 18 考点16 根据平行线判定与性质证明 19 考点17 求平行线间的距离 20 考点18 利用平行线间距离解决问题 20 考点19 同位角、内错角、同旁内角 22 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 24 基础夯实 24 培优拔高 28 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 类似于大写字母F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 类似于大写字母Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 类似于大写字母U 知识点梳理02：平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 知识点梳理03：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 易错点拨 (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 考点1 平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）以下说法：①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行；②互相平行的两条直线没有公共点；③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交；④内错角的角平分线互相平行；其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 考点2 用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上． (1)如图①作图：①过点画直线的平行线； ②过点画直线垂线，垂足为； (2)如图②作图：已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 考点3 平行公理的应用 3【典例精讲】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作 ， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 考点3 平行公理推论的应用 【典例精讲】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【变式训练】如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 考点4 同位角相等两直线平行 【典例精讲】（21-22七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【变式训练】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定 的条件是 填所有正确条件的序号 考点5 内错角相等两直线平行 【典例精讲】（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知． (1)试判断直线与的位置关系； (2)如图2，如果平分，平分，直线相交于点，过点作交直线于点，试证明； (3)在（2）的条件下，若，求的大小． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知直线，，过点C作交于点P，点M在直线上，如图1． (1)求证：平分． (2)点Q是线段上一动点，连接． ①当平分时，如图2，求证：； ②如图3，若点Q在线段上，且，点H在射线上，连接，当时，试判断此时与的位置关系，并说明理由． 考点6 同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【变式训练】（21-22七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，平分． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，如果，问平行吗？为什么？ 考点7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式训练】（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 考点9 两直线平行同位角相等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知B，E分别是，上的点，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林·期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 考点10 两直线平行内错角相等 【典例精讲】（2024七年级下·山东临沂·竞赛）如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为 ． 考点11 两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，当和满足 时，． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 考点12 根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【变式训练】已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 考点13 根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，，直线分别与、交于点、点，连接，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为 ． 考点14 平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 考点15 根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 考点16 根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 【变式训练】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 考点17 求平行线间的距离 【典例精讲】（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【变式训练】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点18 利用平行线间距离解决问题 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【变式训练】（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 考点19 同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 1．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 基础夯实 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸画平行线的（图①～④）： 有下列说法：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．其中，是小敏画平行线的依据的有 （填序号） 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，，则 度， 度． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，直线分别与直线、相交于点G、H，已知，平分交直线于点M，则的度数． 9．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 10．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之最，被称为“神洲第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知，且，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）． (1)求的度数； (2)若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作交于点N且．请探究：与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 培优拔高 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 2．（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 6.如图，，平分，，，．则 ． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线，点E，F在上，点M，N在上，已知平分平分，记的度数分别为，则的值为 ． 8．如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由． 9．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 10.已知，点A、点B分别在线段上，． (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点F和点E，则_________．（直接写出角度和） (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．（补充说明：本题三角形内角和，四边形内角和可直接用） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $