第06讲 二次函数的应用（知识详解+4典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理从建立数学模型（审找列解检步骤）到解决几何图形面积最值、销售最大利润、抛物线形实际问题及动态问题的脉络，通过知识详解搭建框架，典例与变式构建梯度学习支架。 资料特色在于立足现实情境，以“日”字形窗框、销售定价等实例引导学生用数学眼光观察问题，通过典例变式训练发展数学思维，步骤化模型构建培养模型意识。课中助力分层教学，课后习题巩固帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第06讲 二次函数的应用（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用二次函数解实际问题 典例分析 （举三反三） 考点1：利用二次函数解决几何图形面积的最值问题 考点2：利用二次函数解决销售中最大利润问题 考点3：利用二次函数解决抛物线形的实际问题 考点4：利用二次函数解决动态问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】用二次函数解实际问题 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题. 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)找：找出问题中的变量和常量； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题； (4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【题型一】利用二次函数解决几何图形面积的最值问题 【典例1-1】（25-26九年级上·山西阳泉·期中）用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为 时，猪舍面积最大（为整数） 【典例1-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【变式1-1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当 时，养鸡场的面积最大． 【变式1-3】（25-26九年级上·广西贺州·期中）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【题型二】利用二次函数解决销售中最大利润问题 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 【典例2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 【典例2-3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． (1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ (2)每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【变式2-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． (1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ (2)每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【题型三】利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【典例3-1】（25-26九年级上·广西玉林·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南商丘·期中）某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． (1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？ (3)销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【变式3-1】（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度 米． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）我校在每年中考后都会为毕业生举办毕业典礼活动，现计划在毕业典礼现场设计一个如下图所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上粘贴“毕”，“业”，“典”，“礼”四个大字（分别记作 A，B，C，D），要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为如图所示： (1)请在图2上建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； (2)求点C到的距离． 【题型四】利用二次函数解决动态问题 【典例4-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，△的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（         ） A． B． C． D． 【典例4-2】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， (1)求与的函数关系． (2)求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为 ．    【变式4-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26九年级上·天津东丽·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，错误结论的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．（25-26九年级上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（    ）    A． B．   C．   D．   二、填空题 7．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．当是 时，场地的面积最大，最大面积是 ． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过 秒钟后它在离抛出点高的地方． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 10．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为 ． 11．（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 12．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 14．（25-26九年级上·云南昆明·期中）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，有关数据记录如下表． （元） 20 30 （千克） 300 280 (1)求与的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； (2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为元，求的最大值． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 16．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次函数的应用（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用二次函数解实际问题 典例分析 （举三反三） 考点1：利用二次函数解决几何图形面积的最值问题 考点2：利用二次函数解决销售中最大利润问题 考点3：利用二次函数解决抛物线形的实际问题 考点4：利用二次函数解决动态问题 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】用二次函数解实际问题 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题. 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)找：找出问题中的变量和常量； (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题； (4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 【题型一】利用二次函数解决几何图形面积的最值问题 【典例1-1】（25-26九年级上·山西阳泉·期中）用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设窗框的较长一边为，窗户的面积为，则较短一边（宽）为，据此得到窗户透光面积的表达式，根据二次函数的性质，求解最大值即可． 【详解】解：设窗框的较长一边为，窗户的面积为， 则较短一边（宽）为， 根据题意得，， ∵， ∴当，即时，y有最大值，最大值为6， ∴窗户的最大透光面积为 故选：A． 【典例1-2】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为 时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设，猪舍的面积为，则，根据矩形面积计算公式可得，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 【典例1-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 【变式1-1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值． 【详解】解：设矩形的宽为，面积为， 根据题意得：， ∴时，菜园面积最大，最大面积是． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当 时，养鸡场的面积最大． 【答案】30 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；设围成养鸡场的面积为，由题意易得矩形的另一边长为，然后可得方程，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：设围成养鸡场的面积为，由题意得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为300； 故答案为30． 【变式1-3】（25-26九年级上·广西贺州·期中）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【答案】(1) (2)当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是 (3)小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； （3）解：能． 设长方形的长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 【题型二】利用二次函数解决销售中最大利润问题 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， ∵函数的顶点横坐标为， ∴代入，得． ∴最大利润为 45 元． 故选：B． 【典例2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元． 【答案】 【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解． 本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：， 设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是： ， ∵， ∴当利润最大时，可得：， ∴此时每个售价为：（元）， 故答案为：，，． 【典例2-3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． (1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ (2)每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元 (2)每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设每件商品降价元，则销售了件，根据题意列方程求解，根据“尽快减少库存”取较大的解即可； （2）设每件商品降价元，商场每天的利润为元，求出函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每件商品降价元，则销售了件． 由题意得，， 解得，． 因为要尽快减少库存， 所以， 即降价15元． 答：若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元； （2）解：设每件商品降价元，商场每天的利润为元． 由题意知， ． 当时，有最大值，． 答：每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元． 【变式2-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的最值问题，关键是将实际问题转化成函数模型； 根据表格数据求出销售量与售价的一次函数关系，再表示出利润函数，利用二次函数性质求最大值. 【详解】解：设，代入点和， ∵， ∴解得， ∴， 设利润为：， 则， ∵， ∴有最大值，顶点横坐标， ∵， ∴每千克定价元时利润最大. 故答案选：A. 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）某商场将进价为10元的商品按40元出售时，每天可售出100件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价1元，每天可多售出20件． (1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价多少元？ (2)每件商品降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元 (2)每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设每件商品降价元，则销售了件，根据题意列方程求解，根据“尽快减少库存”取较大的解即可； （2）设每件商品降价元，商场每天的利润为元，求出函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每件商品降价元，则销售了件． 由题意得，， 解得，． 因为要尽快减少库存， 所以， 即降价15元． 答：若商场要想每天盈利6000元，每件商品应降价15元； （2）解：设每件商品降价元，商场每天的利润为元． 由题意知， ． 当时，有最大值，． 答：每件商品降价元时，商场每天盈利最大，最大盈利是6125元． 【题型三】利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【典例3-1】（25-26九年级上·广西玉林·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故选：B． 【典例3-2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南商丘·期中）某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． (1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？ (3)销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)60元或65元 (3)单价定为62元或63元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大，最大利润1560元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用－销售最值问题，根据条件建立二次函数模型是解题关键． （1）每日销售量＝，据此可进行求解． （2）总利润=销量单件利润，据此可进行求解． （3）总利润=销量单件利润，据此建立二次函数模型，结合二次函数性质求出最值． 【详解】（1）解：由题意，， ∵进价50元，获利不高于， 售价不高于元， x的取值范围是． 答：y与x之间的函数关系式为，x的取值范围为． （2）解：由题意，， 整理得， 解得，，均在取值范围内． 答：单价是60元或65元． （3）解：由题意，， ∵对称轴为，x为正整数， 或时，w最大， 最大利润为（元）． 答：单价定为62元或63元时，有最大利润1560元． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， ∵点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．根据题意可以求得抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的横坐标是1，， 设抛物线的解析式为：, ， 解得， ， 答：最高点M距离地面高度为， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）我校在每年中考后都会为毕业生举办毕业典礼活动，现计划在毕业典礼现场设计一个如下图所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上粘贴“毕”，“业”，“典”，“礼”四个大字（分别记作 A，B，C，D），要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为如图所示： (1)请在图2上建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)图见解析，抛物线的表达式： (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线解析式是解此题的关键． （1）建立坐标系，并利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示平面直角坐标系： 由图可得点的坐标为，点的坐标为，则顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点B的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）由题意得，点的横坐标为2， ∴代入得， ∴ 点C到的距离． 【题型四】利用二次函数解决动态问题 【典例4-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，△的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质可求出；再分点在上和点在上两种情况，分别求出的长，进而用含x的式子表示出y即可得到答案． 【详解】解：，， ∴， ∴； 如图所示，当点在上时， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 当点D恰好与点C重合时，则； 如图所示，当点在上时， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当时，与的函数关系的图象是开口向上的抛物线，当时，与的函数关系的图象是开口向下的抛物线， 故选：B． 【典例4-2】（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的应用，理解题意，正确表示出，是求解本题的关键． 先表示，的长，进而得到的长度，利用来表示四边形的面积即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴． 其中：， ∴． 故答案为：． 【典例4-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， (1)求与的函数关系． (2)求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)经过后，面积最大，最大值是 【分析】本题考查二次函数的动点问题； （1）现根据运动过程表示和，然后根据三角形的面积公式列函数关系式即可； （2）把二次函数配方为顶点式，然后根据顶点坐标求出最大值即可． 【详解】（1）解：运动后，，，则， ∴，其中； （2）解：， ∵， ∴， 又∵开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， 故经过后，面积最大，最大值是． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 【变式4-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．设，矩形中，可得，由勾股定理可得，再由列出二次函数求解即可． 【详解】解：设， ∵在矩形中， ， ， ， ，， ∴当时，有最小值，为， 故答案为： 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由题意可得，，从而得出，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由（1）可得，，，由三角形面积公式列出关于的二次函数，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，把一般式化为顶点式求解是解题的关键． 根据判断最值即可． 【详解】， ， 二次函数有最大值是． 故选． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 3．（25-26九年级上·天津东丽·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题． 令解方程求出t的值，即可判断①，分别求出和时的值是，即可判断②，令，即可判断③． 【详解】解：∵落地时高度， ∴ 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间为，故①正确． 当时， ； 当时， ， ∵，故②正确． 根据题意得， ， ∴， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴高度不可能达到，故③错误． 综上，正确结论为①②， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，错误结论的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系列出算式是解题的关键． 根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据利润（每间房定价每间房成本）居住的房间数，列出方程求解，结合每间房不得高于360元，即可判断②；设利润为w，列出算表达式，然后根据二次函数的性质求解即可判断③． 【详解】解：①：∵定价每增加10元，空闲房间数增加1个， ∴增加30元对应空闲3个，即居住房间数为个，故①结论正确； ②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得，， 解得或 ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元， 当时，对应定价为元， 当时，对应定价为元， ∴只有当每个房间的定价为320元时，满足该宾馆某天利润为12000元，故②结论错误； ③：设定价增加元，利润为w，根据题意得， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元，即， ∴， ∴当，w取得最大值，最大值为， ∴最大利润为元，故③结论错误． 综上，错误结论的是②③． 故选：C． 5．（25-26九年级上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数解析式与点坐标的对应关系是解题的关键． 先根据点、的高度确定其纵坐标，代入抛物线解析式求出对应的横坐标，再计算两点的水平距离． 【详解】解：∵点、距水面高为米， ∴点、的纵坐标为， 将代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴水平距离（米）， 故选：． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（    ）    A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的应用，结合实际问题与图象解决问题．分两种情况：点E在未到达C之前或点E到达C之后，利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案． 【详解】解：当点E在未到达C之前， 作于点H，   ， ， 四边形是矩形， ，， ， 点E在未到达C之前，， ，，， ， ， 且，当x从0变化到3时，y逐渐变大，当时，y有最大值，当时，y逐渐变小； 当点E到达C之后，如下图：   ， ， 综上所述，y与x间的函数关系的图象符合的只有A， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．当是 时，场地的面积最大，最大面积是 ． 【答案】 15 225 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据矩形周长公式得出另一边长，建立面积关于一边长的二次函数模型，通过配方求其最大值即可． 【详解】解：设矩形一边长为 米，则另一边长为 米，则矩形面积为 ， ∵ ∴当时，取得最大值，最大面积为平方米． 故答案为 15，225． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过 秒钟后它在离抛出点高的地方． 【答案】0.2或1.8 【分析】本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可． 【详解】解：由题意得：． 整理得， 解得． ∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方． 故答案为：0.2或1.8． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解． 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 10．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键．依据题意得，抛物线的对称轴是y轴，故可设抛物线为，再由，可得方程组，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴， 故可设抛物线为． 又∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 11．（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】设抛物线的顶点式 ，将点代入即可求解抛物线的解析式． 【详解】解：∵点是抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，设顶点式是解题的关键． 12．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点A的坐标求出a的值，即可解答； （2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线， 把点代入得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，当时，， ， 球不能射进球门． 14．（25-26九年级上·云南昆明·期中）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，有关数据记录如下表． （元） 20 30 （千克） 300 280 (1)求与的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； (2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为元，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围即可解答本题． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 根据题意，得：， 解得：， 与的函数解析式为； （2）解：由已知得： ， 当时，随的增大而增大， ∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元， ∴， 当时，最大，最大值为元． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 16．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 【答案】(1)，，； (2)当时，有最大值，最大值为； (3)或． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，则，利用勾股定理得出； （2）根据三角形面积公式得到，即可得出答案； （3）把代入，求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得： ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：当时，即， ∴， ∴， 解得：，经检验均符合题意， ∴当，或． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2) (3)不会碰到水柱．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点在图象上． 当时， ． 故答案为：， （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $