精品解析：上海市嘉定区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上海市嘉定二中高二年级上学期 期中数学试卷 2025.11 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 2. 已知，，是和的等差中项，则的值等于______. 3. 平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 4. 已知点，则该点关于平面的对称点坐标为_______________. 5. 已知，，若与共线，则_________. 6. 计算______. 7. 一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 8. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大. 11. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 12. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 14. 下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 16. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱 上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 与是异面直线； B. 三棱锥的体积跟的取值无关； C. 当时，； D. 当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 正方体，E，F分别是棱，的中点． （1）直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小； 18. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式： （2）求其前n项和取最大值时n的值． 19. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 20. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． （1）求二面角的大小； （2）直线到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 21. 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市嘉定二中高二年级上学期 期中数学试卷 2025.11 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线的位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 2. 已知，，是和的等差中项，则的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项的定义，建立方程，解出即可. 【详解】因为是和的等差中项， 故 则， 故答案为： 3. 平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 4. 已知点，则该点关于平面的对称点坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求一个点关于平面的对称点坐标，就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变，由计算即可得. 【详解】求一个点关于平面的对称点坐标， 就是将轴的分量取相反数，而轴和轴的分量不变， 故点关于平面的对称点坐标为. 故答案为：. 5. 已知，，若与共线，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示得出的值. 【详解】因为与共线，所以，所以，，则. 故答案为： 6. 计算______. 【答案】2046 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式求得结果. 【详解】. 故答案为：2046. 7. 一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，利用圆锥的侧面积公式及弧度数的定义，得，可求出，再利用圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题知，解得，所以， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 8. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 10. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大. 【答案】## 【解析】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知， 设，，根据正弦定理 当时遮阴影面面积最大，此时 故答案为： 11. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 12. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 14. 下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断 【详解】对于A，由题意得，，而，， 平面，平面，平面，平面， 故平面平面，而平面，故平面，故A正确， 对于B，取的中点，底面中心，则，故与相交，故B错误， 对于C，，故平面，则平面，故C错误， 对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误， 故选：A 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可. 【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱 上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 与是异面直线； B. 三棱锥的体积跟的取值无关； C. 当时，； D. 当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为． 【答案】BD 【解析】 【分析】由为的中点，得到，可判断A；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据可判断B；当时，根据可判断C；由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形可判断D． 【详解】在中，因为为的中点，所以， 所以与共面，所以A错误； 由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值， 根据可知三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确； 当时，可得为的中点，为的中点， ， 则，所以不成立，所以C不正确； 当时，在上取点E，使，连接， 根据正方体的性质可知，，故过，，三点的平面截正方体所得截面为， 由知截面是等腰梯形，      所以平面截正方体所得截面的周长为， 所以D正确． 故选：BD 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 正方体，E，F分别是棱，的中点． （1）直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小； 【答案】（1）证明：取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为. 【点睛】 18. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式： （2）求其前n项和取最大值时n的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）用通项公式表示出，，三项，再由等比中项建立方程，解得公差，写出数列的通项公式； （2）列出数列的前n项和，由二次函数的性质找到最大值时n的值 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 19. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】（1）陀螺体积、表面积分别为，； （2）(). 【解析】 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【小问1详解】 令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. 【小问2详解】 令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 20. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． （1）求二面角的大小； （2）直线到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点为靠近的三等分点处，使得. 【解析】 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. 【小问2详解】 因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. 【小问3详解】 设，，，， 因为，所以，解得. 即. 因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得. 21. 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 【答案】（1），，，或，，，或，，，. （2）不存在，理由为： 因为， 所以，或， 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 或， 所以； 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 所以或（舍）， 综上，， 所以，，. 综上，不存在正整数，满足. （3）51 【解析】 【分析】（1）根据题意得或，再直接求解即可； （2）根据或，再证明，即可证明结论‘； （3）根据①或②得对于任意的，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记且，可得且，进而得，再根据特例说明即可得答案. 【小问1详解】 解：由得或， 所以或， 因为足，， 所以或， 所以，当时，或； 当时，或 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以舍， 所以，数列前4项的所有可能取法有，，，或，，，或，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由， 所以，①或②， 对于任意的，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推； 若，显然，下次只能用①递推，即 所以，②不能连续使用. 记且， 若，则； 若，则，所以， 所以且， 所以，中至少有共51项，即. 举例如下： 所以，此时， 所以，的最小值为51. 【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造且，推理得到且，，进而结合题意说明最小值可以取到即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $