1.11.1有理数的乘方 课件- 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

华东师大版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.11.1有理数的乘方 请同学们拿出一张纸进行对折，再对折……两人合作，一人对折，一人记录下表： 对折 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 纸的 层数 层数可 表示为 　 2 4 8 16 32 2×2 2×2×2 2×2×2×2 2×2×2×2×2 2 … 以下是适配七年级课堂的1.11.1有理数的乘方幻灯片分页内容，聚焦定义、符号法则、运算及易错点，贴合教学逻辑，方便学生理解运用： # 1.11.1 有理数的乘方（幻灯片分页内容） ## 第1页：课题引入——情境激趣 ### 生活情境 1. 细胞分裂：1个细胞每30分钟分裂1次变2个，分裂3次后细胞个数是2×2×2，分裂10次就是10个2相乘，这样的式子书写起来很繁琐，有没有简便写法？ 2. 正方形面积：边长为a的正方形，面积是a×a；棱长为a的正方体，体积是a×a×a，数学中对这类相同因数相乘有特殊表示方法。 ### 引出课题 今天我们就来学习这种特殊的乘法运算——有理数的乘方，它能让相同因数相乘的表达式更简洁。 ## 第2页：核心概念——乘方的定义与各部分名称 ### 定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 ### 符号表示与各部分名称 n个相同因数a相乘，即\(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{n个}\)，可记作\(a^n\)。 |组成部分|含义|示例（以\((-3)^4\)为例）| | ---- | ---- | ---- | |底数（a）|相同的因数| -3 | |指数（n）|相同因数的个数| 4 | |幂（\(a^n\)）|乘方运算的结果| \((-3)^4\)的结果16 | ### 特殊读法 指数为2时读作“平方”，如\(5^2\)读作“5的平方”；指数为3时读作“立方”，如\(2^3\)读作“2的立方”。另外，任何数的1次方就是它本身，指数1通常省略不写，如\(7^1 = 7\)。 ## 第3页：关键法则——幂的符号规律 根据有理数乘法法则，可总结出乘方运算的符号规律，这是快速判断结果正负的核心： 1. **正数的任何次幂都是正数**：例如\(2^3 = 8\)，\(3^4 = 81\)； 2. **负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数**：例如\((-2)^3=-8\)（指数3是奇数），\((-2)^4 = 16\)（指数4是偶数）； 3. **0的任何非零次幂都是0**：例如\(0^5 = 0\)，注意\(0^0\)无意义。 ## 第4页：例题解析1——基础乘方运算 ### 例题1（正数的乘方） 计算\(4^3\) 解：原式\(=4\times4\times4 = 64\) ### 例题2（负数的乘方） 计算\((-2)^5\)和\(-2^5\) 解：1. \((-2)^5\)：底数是-2，指数是5，原式\(=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)= -32\)； 2. \(-2^5\)：表示\(2^5\)的相反数，底数是2，原式\(=-(2\times2\times2\times2\times2)= -32\)。 ### 例题3（分数的乘方） 计算\((\frac{1}{2})^3\)和\((-\frac{2}{3})^2\) 解：1. \((\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)； 2. \((-\frac{2}{3})^2=(-\frac{2}{3})\times(-\frac{2}{3})=\frac{4}{9}\)。 ### 例题4（含0的乘方） 计算\(0^{10}\) 解：0的非零次幂为0，结果为0。 ## 第5页：例题解析2——稍复杂的乘方相关运算 ### 例题5（乘方与乘法混合） 计算\((-3)^2\times(-2)\) 解：1. 先算乘方：\((-3)^2 = 9\)； 2. 再算乘法：\(9\times(-2)= -18\)。 ### 例题6（乘方与加减混合） 计算\(2^3 - (-4)^2\) 解：1. 分别算乘方：\(2^3 = 8\)，\((-4)^2 = 16\)； 2. 再算减法：\(8 - 16 = -8\)。 ## 第6页：易错点辨析——避开常见陷阱 ### 易错点1：混淆\(-a^n\)与\((-a)^n\) - 错误：\(-2^4 = (-2)^4 = 16\) - 纠正：\(-2^4\)是2的4次方的相反数，结果为-16；\((-2)^4\)是-2的4次方，结果为16，两者意义不同。 ### 易错点2：底数为分数或负数时漏加括号 - 错误：\(-\frac{1}{2}^2=(-\frac{1}{2})\times(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\) - 纠正：漏加括号时底数是\(\frac{1}{2}\)，原式表示\(\frac{1}{2}^2\)的相反数，正确结果为\(-\frac{1}{4}\)。 ### 易错点3：错误判断0的乘方 - 错误：\(0^0 = 1\) - 纠正：\(0^0\)无意义，不存在结果。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（必做） 1. \(3^3 = \_\_\_\_\_\_\) 2. \((-1)^5 = \_\_\_\_\_\_\) 3. \((\frac{1}{3})^2 = \_\_\_\_\_\_\) 4. \(-5^2 = \_\_\_\_\_\_\) ### 提高题（选做） 1. 计算：\((-2)^3 + 3^2\) 2. 若\(x^2 = 16\)，求x的值。 ## 第8页：知识小结——核心要点回顾 1. 乘方是相同因数乘法的简便运算，记住\(a^n\)中底数、指数、幂的定义和意义。 2. 幂的符号规律是计算核心，尤其要区分负数的乘方和某数乘方的相反数。 3. 运算时注意：底数为分数或负数必须加括号，避免因书写不规范导致计算错误。 情景导入 纸的层数与对折次数有什么关系呢？ 对折 n 次就有 n 个 2 相乘，即： 像这样的式子表示起来很复杂，那么有没有一种简单的记法呢？ 情景导入 边长为 a cm 的正方形的面积为______cm2． 棱长为 a cm 的正方体的体积为______cm3． a a a×a a×a×a 读作： a 的平方（或 a 的 2 次方） 读作： a 的立方（或 a 的 3 次方） 探究新知 4 a·a 记作 ，读作 a 的平方（或 a 的 2 次方）； a·a·a 记作 ，读作 a 的立方（或 a 的 3 次方）． 记作 一般地，n 个相同的乘数 a 相乘： 记作 ， 读作 a 的 n 次方 n个 a·a·…·a ? a·a·…·a n个 这种求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 当把 看作是 a 的 n 次方的结果时， 也可读作 a 的 n 次幂． 探究新知 （相同的因数） （相同因数的个数） （运算结果） 底数 指数 幂 探究新知 1．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________. 2．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________. 3．在 中，底数是_____，指数是_____，表示的意义是___________. 3个 相乘 4个﹣3相乘 5 2 2个5相乘 ﹣3 4 3 探究新知 在 8 中，底数是_____，指数是_____． 8 1 一个数可以看作这个数本身的 1 次方， 就是 a，指数 1 通常省略不写． 探究新知 计算： (1) ; (2) ; (3) . （1）(-2)3=(-2)(-2)(-2) （2）(-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2) （3）(-2)5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) 例1 解 =-8. =16. =-32. (-2)3 (-2)4 (-2)5 乘方运算的步骤： 转化 乘方运算 乘法运算 ① 确定幂的符号 ② 计算幂的绝对值 不相同，括号不能省！ 探究新知 =-8. =16. =-32. (-2)3 (-2)4 (-2)5 观察上述结果的正负号，你发现了什么？ 8 16 32 根据有理数的乘法法则，我们有： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 探究新知 0 的任何正整数次幂都是 0 . 根据任何数与 0 相乘，都得 0 ，可以得出： 1 的任何次幂都是 . ﹣1 的偶次幂是 ，奇次幂是 . 1 ﹣1 1 任何数的 偶次幂都 是非负数 探究新知 有理数乘 方运算的 符号法则 正数 正数的任何次幂都是正数 负数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 0 0 的任何正整数次幂都等于 0 探究新知 你能迅速判断下列各幂的正负吗？ ＋ ＋ － ＋ － ＋ ＋ ＋ 0 ＋ ＋ 两个重要的非负数： 探究新知 巩固练习 1． 读作什么？其中底数是什么？指数 是什么？ 是正数还是负数？ 读作负 4 的 5 次方，底数是﹣4，指数是 5，它是负数． 【教材P55 练习 第1题】 课堂练习 =1000 =100000 =﹣1 =1 =﹣0.001 =﹣32 2．计算： 【教材P55 练习 第2题】 课堂练习 3．3 的平方是什么？﹣3 的平方是什么？平方得 9 的 数有几个？有没有平方得﹣9 的有理数？ 【教材P55 练习 第3题】 是 9， 是 9，平方得 9 的数有两个，没有平方得﹣9 的有理数． 课堂练习 知识点1 乘方的意义 1.（1）把 写成乘方的形式是_______； （2）把 写成几个相同乘数的积的形式是__________________. 返回 考试考法 17 2.［2025新乡月考］ 表示的意义是( ) B A.乘以6的积 B.6个 相乘的积 C.5个相乘的积 D.6个 相加的和 返回 考试考法 18 3.对于 ，下列叙述正确的是( ) C A.读作的4次幂 B.底数是 ，指数是4 C.表示4个2相乘的积的相反数 D.表示4个 相乘的积 返回 考试考法 19 知识点2 乘方的运算 4.计算： （1） __； （2） ____. 返回 考试考法 20 5.下列各数中，结果是正数的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 21 6.一个数的平方是16，则这个数是_______. 4或 返回 考试考法 22 7.（16分）［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 考试考法 23 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 课堂小结 谢谢观看！ $